2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学理及答案解析.docx

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1、1 本 试 题 包 括 选 择 题 ， 填 空 题 和 解 答 题 三 部 分 ， 共 6 页 ， 时 间 120分 钟 ， 满 分 150 分 .一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 50分 ， 贼 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 复 合 题目 要 求 的 .1.已 知 21 1i iz （ i 为 虚 数 单 位 ） ， 则 复 数 z =（ ）A.1 iB.1 iC. 1 i D. 1 i 答 案 ： D解 析 ： 由 题 意 得 ， iiiiiz 11 21 )1( 2 ， 故 选 D.考 点 ： 复 数

2、 的 计 算 .2.设 A,B 是 两 个 集 合 ， 则 ” A B A ” 是 “ A B ” 的 （ ）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 答 案 ： C解 析 ：考 点 ： 集 合 的 关 系 .3.执 行 如 图 1 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 3n ， 则 输 出 的 S ( )A.67B.37C.89 D.49 2 答 案 ： B解 析 ：考 点 ： 1 程 序 框 图 ； 2.裂 项 相 消 法 求 数 列 的 和 .4.若 变 量 ,x y满 足 约 束 条 件 12

3、 11x yx yy ， 则 3z x y 的 最 小 值 为 （ ）A.-7B.-1 C.1D.2答 案 ： A解 析 ： 如 下 图 所 示 ， 画 出 线 性 约 束 条 件 所 表 示 的 区 域 ， 即 可 行 域 ， 从 而 可 知 当 2x ， 1y 时 ，yxz 3 的 最 小 值 是 7 ， 故 选 A. 3 考 点 ： 线 性 规 划 .5.设 函 数 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x ， 则 ( )f x 是 （ ）A.奇 函 数 ， 且 在 (0,1)上 是 增 函 数B.奇 函 数 ， 且 在 (0,1)上 是 减 函 数C.偶 函 数 ， 且 在 (

4、0,1)上 是 增 函 数D.偶 函 数 ， 且 在 (0,1)上 是 减 函 数答 案 ： A 解 析 ：考 点 ： 函 数 的 性 质 .6.已 知 5ax x 的 展 开 式 中 含 32x 的 项 的 系 数 为 30， 则 a （ ） 来 源 :Zxxk.ComA. 3 B.B. 3C.C.6D.D-6答 案 ： D 4 解 析 ： rrrrr xaCT 2551 )1( ， 令 1r ， 可 得 6305 aa ， 故 选 D.考 点 ： 二 项 式 定 理 .7.在 如 图 2 所 示 的 正 方 形 中 随 机 投 掷 10000 个 点 ， 则 落 入 阴 影 部 分 （ 曲

5、 线 C 为 正 态 分 布 N(0,1)的 密 度 曲 线 ）的 点 的 个 数 的 估 计 值 为 （ ） A.2386B.2718C.3413D.4772答 案 ： C解 析 ：考 点 ： 正 态 分 布 . 8.已 知 点 A,B,C 在 圆 2 2 1x y 上 运 动 ， 且 AB BC .若 点 P 的 坐 标 为 （ 2,0） ， 则 PA PB PC 的 最 大值 为 （ ）A.6B.7C.8D.9答 案 ： B解 析 ： 由 题 意 得 ， AC为 圆 的 直 径 ， 故 可 设 ),( nmA ， ),( nmC ， ),( yxB ， ( 6, )PA PB PC x

6、y ， 5 而 491237)6( 22 xyx ， PA PB PC 的 最 大 值 为 7， 故 选 B.考 点 ： 1.圆 的 性 质 ； 2.平 面 向 量 数 量 积 .9.将 函 数 ( ) sin2f x x 的 图 像 向 右 平 移 (0 )2 个 单 位 后 得 到 函 数 ( )g x 的 图 像 ， 若 对 满 足1 2( ) ( ) 2f x g x 的 1 2,x x ， 有 1 2 min 3x x ， 则 （ ）A.512B. 3C. 4 D. 6答 案 ： D解 析 ： 向 右 平 移 个 单 位 后 ， 得 到 )22sin()( xxg ，又 2|)()(

7、| 21 xgxf ， 不 妨 kx 222 1 ， mx 2222 2 ， )(221 mkxx ， 又 1 2 min 3x x ， 632 ， 故 选 D.考 点 ： 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质 .10.某 工 件 的 三 视 图 如 图 3 所 示 ， 现 将 该 工 件 通 过 切 割 ， 加 工 成 一 个 体 积 尽 可 能 大 的 长 方 体 新 工 件 ， 并 使 新工 件 的 一 个 面 落 在 原 工 件 的 一 个 面 内 ， 则 原 工 件 材 料 的 利 用 率 为 （ 材 料 利 用 率 =新 工 件 的 体 积原 工 件 的 体 积 ） （ ） 6

8、A. 89B.169C. 34( 2 1)D. 312( 2 1) 答 案 ： A 7 考 点 ： 1.圆 锥 的 内 接 长 方 体 ； 2.基 本 不 等 式 求 最 值 .二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .11. 20( 1)x dx .答 案 ： 0解 析 ：考 点 ： 定 积 分 的 计 算 .12.在 一 次 马 拉 松 比 赛 中 ， 35名 运 动 员 的 成 绩 （ 单 位 ： 分 钟 ） 的 茎 叶 图 如 图 4 所 示 . 若 将 运 动 员 按 成 绩 由 好 到 差 编 为 1 35 号 ， 再 用 系 统

9、 抽 样 方 法 从 中 抽 取 7 人 ， 则 其 中 成 绩 在 区 间 139,151上 的 运 动 员 人 数 是 .答 案 ： 4解 析 ： 由 茎 叶 图 可 知 ， 在 区 间 151,139 的 人 数 为 20， 再 由 系 统 抽 样 的 性 质 可 知 人 数 为 435720 人 . 考 点 ： 1.系 统 抽 样 ； 2.茎 叶 图 .13.设 F 是 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b 的 一 个 焦 点 ， 若 C上 存 在 点 P， 使 线 段 PF 的 中 点 恰 为 其 虚 轴 的 一个 端 点 ， 则 C 的 离 心 率 为 .答 案 ： 5解

10、 析 ： 考 点 ： 双 曲 线 的 标 准 方 程 及 其 性 质 .14.设 nS 为 等 比 数 列 na 的 前 n 项 和 ， 若 1 1a ， 且 1 2 33 ,2 ,S S S 成 等 差 数 列 ， 则 na .答 案 ： 13 n 8 解 析 ： 13S ， 22S ， 3S 成 等 差 数 列 ， 333)(22 23321121 qaaaaaaaa ，又 等 比 数 列 na ， 111 3 nnn qaa .考 点 ： 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 性 质 .15.已 知 32,( ) ,x x af x x x a ， 若 存 在 实 数 b ， 使 函

11、数 ( ) ( )g x f x b 有 两 个 零 点 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 .答 案 ： ),1()0,( .解 析 ： 分 析 题 意 可 知 ， 问 题 等 价 于 方 程 )(3 axbx 与 方 程 )(2 axbx 的 根 的 个 数 和 为 2，若 两 个 方 程 各 有 一 个 根 ： 则 可 知 关 于 b 的 不 等 式 组 ab ab ab31 有 解 ， 从 而 1a ； 若 方 程 )(3 axbx 无 解 ， 方 程 )(2 axbx 有 2 个 根 ： 则 可 知 关 于 b 的 不 等 式 组 abab31 有 解 ， 从 而0a ； ， 综 上

12、 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ),1()0,( .考 点 ： 1.函 数 与 方 程 ； 2.分 类 讨 论 的 数 学 思 想 .三 、 解 答 题16.( )如 图 ， 在 圆 O 中 ， 相 交 于 点 E的 两 弦 AB、 CD的 中 点 分 别 是 M、 N， 直 线 MO 与 直 线 CD相 交 于 点 F，证 明 ：(1) 0180MEN NOM ； (2)FE FN FM FO 9 答 案 ：(1) (2)考 点 ： 1.垂 径 定 理 ； 2.四 点 共 圆 ； 3.割 线 定 理 .（ ） 已 知 直 线 35 2: 13 2x tl y t （ t为 参 数

13、） ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2cos .(1)将 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ； (2)设 点 M的 直 角 坐 标 为 (5, 3)， 直 线 l 与 曲 线 C 的 交 点 为 A， B， 求 | | | |MA MB 的 值 .解 析 ： 10 (1)(2)答 案 ：(1) (2)考 点 ： 1.极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 相 转 化 ； 2.直 线 与 圆 的 位 置 关 系 .（ ） 设 0, 0a b ， 且 1

14、1a b a b .(1) 2a b ；(2) 2 2a a 与 2 2b b 不 可 能 同 时 成 立 .解 析 ： (1)将 已 知 条 件 中 的 式 子 可 等 价 变 形 为 1ab ， 再 由 基 本 不 等 式 即 可 得 证 ；(2)利 用 反 证 法 ， 假 设 假 设 22 aa 与 22 bb 同 时 成 立 ， 可 求 得 10 a ， 10 b ， 从 而 与 1ab 矛盾 ， 即 可 得 证答 案 ： 由 abbababa 11 ， 0a ， 0b ， 得 1ab ，(1)由 基 本 不 等 式 及 1ab ， 有 22 abba ， 即 2ba ；(2)假 设

15、22 aa 与 22 bb 同 时 成 立 ， 则 由 22 aa 及 0a 得 10 a ， 同 理 10 b ， 从 而 1ab ，这 与 1ab 矛 盾 ， 故 22 aa 与 22 bb 不 可 能 成 立 . 考 点 ： 1.基 本 不 等 式 ； 2.一 元 二 次 不 等 式 ； 3.反 证 法 .17.设 ABC 的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， tana b A ， 且 B为 钝 角 (1)证 明 ： 2B A 11 (2)求 sin sinA C 的 取 值 范 围解 析 ：(1)利 用 正 弦 定 理 ， 将 条 件 中 的 式 子 等

16、价 变 形 为 inB=sin（ 2 +A） ， 从 而 得 证 ；(2)利 用 (1)中 的 结 论 ， 以 及 三 角 恒 等 变 形 ， 将 CA sinsin 转 化 为 只 与 A有 关 的 表 达 式 ， 再 利 用 三 角 函 数的 性 质 即 可 求 解 .答 案 ：(1)由 a=btanA及 正 弦 定 理 ， 得 sin sincos cosA b BA a B ,所 以 sinB=cosA， 即 sinB=sin（ 2 +A） .又 B 为 钝 角 ， 因 此 2 +A（ 2 ， A） ， 故 B= 2 +A， 即 B-A= 2 ；(2)由 （ I） 知 ， C= -（

17、A+B） = -(2A+ 2 )= 2 -2A0， 所 以 A 0, 4 ， 于 是 sinA+sinC=sinA+sin（ 2 -2A） =sinA+cos2A=-2 2sin A+sinA+1=-2（ sinA-14 ） 2 +98， 因 为 0A 4 ,所 以 0sinA 22 ,因 此 22 -2 21 9 9sin 4 8 8A 由 此 可 知 sinA+sinC 的 取 值 范 围 是 （ 22 ， 98.考 点 ： 1.正 弦 定 理 ； 2.三 角 恒 等 变 形 ； 3.三 角 函 数 的 性 质 .18.某 商 场 举 行 有 奖 促 销 活 动 ， 顾 客 购 买 一 定

18、 金 额 商 品 后 即 可 抽 奖 ， 每 次 抽 奖 都 从 装 有 4个 红 球 、 6 个 白 球的 甲 箱 和 装 有 5 个 红 球 、 5 个 白 球 的 乙 箱 中 ， 各 随 机 摸 出 1 个 球 ， 在 摸 出 的 2个 球 中 ， 若 都 是 红 球 ， 则 获 一 等 奖 ； 若 只 有 1 个 红 球 ， 则 获 二 等 奖 ； 若 没 有 红 球 ， 则 不 获 奖 .(1)求 顾 客 抽 奖 1 次 能 获 奖 的 概 率 ；(2)若 某 顾 客 有 3 次 抽 奖 机 会 ， 记 该 顾 客 在 3 次 抽 奖 中 获 一 等 奖 的 次 数 为 X， 求 X

19、 的 分 布 列 和 数 学 期 望 .解 析 ：(1)记 事 件 1A = 从 甲 箱 中 摸 出 的 1 个 球 是 红 球 ， 2A = 从 乙 箱 中 摸 出 的 1 个 球 是 红 球 1B = 顾 客 抽 奖 1次 获 一 等 奖 2B = 顾 客 抽 奖 1 次 获 二 等 奖 ， C= 顾 客 抽 奖 1 次 能 获 奖 ， 则 可 知 1A 与2A 相 互 独 立 ， 1 2A A 与 1 2A A 互 斥 ， 1B 与 2B 互 斥 ， 且 1B = 1 2A A ， 2B = 1 2A A + 1 2A A ， C= 1B + 2B ， 再 利 用 概 率 的 加 法 公

20、 式 即 可 求 解 .(2)分 析 题 意 可 知 XB（ 3， 15） ， 分 别 求 得 P(X=0)= 0 0 33 1 4( ) ( )5 5C = 64125，P(X=1)= 1 1 23 1 4( ) ( )5 5C = 48125， P(X=2)= 2 2 13 1 4( ) ( )5 5C = 12125， 即 可 知 X 的 概 率 分 布 及 其 期 望 . 12 答 案 ：(1)记 事 件 1A = 从 甲 箱 中 摸 出 的 1 个 球 是 红 球 ， 2A = 从 乙 箱 中 摸 出 的 1 个 球 是 红 球 1B = 顾 客 抽 奖 1 次 获 一 等 奖 2B

21、 = 顾 客 抽 奖 1 次 获 二 等 奖 ， C= 顾 客 抽 奖 1 次 能 获 奖 .由 题 意 ， 1A与 2A 相 互 独 立 ， 1 2A A 与 1 2A A 互 斥 ， 1B 与 2B 互 斥 ， 且 1B = 1 2A A ， 2B = 1 2A A + 1 2A A ， C= 1B + 2B .因 P（ 1A ） = 410=25 ， P( 2A )= 510=12 ， 所 以 P（ 1B ） =P( 1 2A A )=P( 1A )P( 2A )=25 12 =15，P（ 2B ） =P（ 1 2A A + 1 2A A ） =P（ 1 2A A ） +P（ 1 2A

22、A ） =P（ 1A ） (1- P( 2A )+(1- P（ 1A ） )P( 2A ) =25 (1-12 )+(1-25 ) 12 =12 ， 故 所 求 概 率 为 P(C)= P( 1B + 2B )=P（ 1B ） + P（ 2B ） =15+12 = 710.(2)顾 客 抽 奖 3次 独 立 重 复 试 验 ， 由 （ I） 知 ， 顾 客 抽 奖 1 次 获 一 等 奖 的 概 率 为 15， 所 以 XB（ 3， 15） .于 是 P(X=0)= 0 0 33 1 4( ) ( )5 5C = 64125， P(X=1)= 1 1 23 1 4( ) ( )5 5C = 4

23、8125， P(X=2)= 2 2 13 1 4( ) ( )5 5C = 12125，P(X=3)= 3 3 03 1 4( ) ( )5 5C = 1125故 X 的 分 布 列 为X 0 1 来源 :Z_xx_k.Com 2 3P 64125 48125 12125 1125 X的 数 学 期 望 为 E（ X） =3 15=35.考 点 ： 1.概 率 的 加 法 公 式 ； 2.离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 与 期 望19.如 图 ， 已 知 四 棱 台 1 1 1 1ABCD ABC D 上 、 下 底 面 分 别 是 边 长 为 3 和 6 的 正 方 形 ，

24、1 6AA ， 且1AA 底 面 ABCD， 点 P、 Q 分 别 在 棱 1DD 、 BC上 .(1)若 P 是 1DD 的 中 点 ， 证 明 ： 1AB PQ ；(2)若 PQ/平 面 1 1ABB A ， 二 面 角 P-QD-A的 余 弦 值 为 37 ， 求 四 面 体 ADPQ的 体 积 . 13 解 析 ：(1)建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 得 相 关 点 的 坐 标 可 知 问 题 等 价 于 证 明 1 =0AB PQ ；(2)根 据 条 件 二 面 角 P-QD-A 的 余 弦 值 为 37 ， 利 用 空 间 向 量 可 将 四 面 体 ADPQ视 为 以

25、 ADQ为 底 面 的 三 棱 锥P-ADQ， 其 高 h=4， 从 而 求 解答 案 ： 解 法 一 由 题 设 知 ， 1AA ,AB,AD 两 两 垂 直 ， 以 A 为 坐 标 原 点 ， AB， AD, 1AA 所 在 直 线 分 别 为 x 轴 ， y轴 ， z轴 ， 建 立 如 图 b 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 相 关 各 点 的 坐 标 为 A(0,0,0)， 1B (3， 0， 6)，D(0， 6， 0)， 1D (0， 3， 6) ， Q(6， m,0)， 其 中 m=BQ， 0 6m ， (1)若 P 是 1DD 的 中 点 ， 则 P（ 0,92

26、， 3） ， 1AB =(3,0,6)， 于 是 1AB PQ =18-18=0， 所 以 1AB PQ， 即1AB PQ ；(2)由 题 设 知 ， DQ =(6， m-6,0), 1DD =(0,-3,6)是 平 面 PQD 内 的 两 个 不 共 线 向 量 .设 1n =（ x， y， z） 是 平 面 PQD 的 一 个 法 向 量 ， 则 11 1 00n DQn DD ， 即 6 ( 6) 03 6 0 x m yy z ，取 y=6， 得 1n =（ 6-m， 6,3） .又 平 面 AQD的 一 个 法 向 量 是 2n =（ 0， 0， 1） ， 所 以cos= 1 21

27、2| | | |n nn n = 2 2 2 23 3(6 ) 6 3 (6 ) 45m m 而 二 面 角 P-QD-A的 余 弦 值 为 37 ， 因 此 23(6 ) 45m =37 ， 解 得 m=4， 或 者 m=8（ 舍 去 ） ， 此 时 Q（ 6,4,0） 14 设 DP= 1DD (00， 因 此 AFM是 锐 角 ， 从 而 180oMFD AFM 是 钝 角 ， 即 可 得 证答 案 ：(1)由 1C : 2 4x y 知 其 焦 点 F 的 坐 标 为 （ 0,1） ， 因 为 F 也 是 椭 圆 2C 的 一 焦 点 ，所 以 2 2 1a b 1又 1C 与 2C

28、的 公 共 弦 的 长 为 2 6 ， 1C 与 2C 都 关 于 y 轴 对 称 ， 且 1C 的 方 程 为 2 4x y ，由 此 易 知 1C 与 2C 的 公 共 点 的 坐 标 为 （ 36,2 ） ， 所 以 2 29 6 14a b 2 ， 联 立 1 ， 2 得 2a =9， 2b =8， 故 2C 的 方 程 为 2 2 19 8x y 3 ；(2)如 图 f ， 设 A（ 1 1,x y ） B（ 2 2,x y ） C（ 3 3,x y ） D（ 4 4,x y ） . 16 （ i） 因 AC 与 BD同 向 ， 且 |AC|=|BD|,所 以 AC =BD， 从 而

29、 3 1x x = 4 2x x ， 即1 2x x = 3 4x x ， 于 是 21 2x x -4 1 2x x = 23 4x x -4 3 4x x 3设 直 线 l 的 斜 率 为 k， 则 l 的 方 程 为 y=kx+1.由 2 14y kxx y 得 2x +16kx-64=0.而 1x ， 2x 是 这 个 方 程 的 两 根 .所 以 1 2x x =4k， 1 2x x =-4 4 ， 由 2 2 118 9y kxx y 得 （ 9+8 2k ） 2x +16kx-64=0.而 3x ， 4x 是 这 个 方 程 的 两 根 .所 以 3 4x x =- 2169 8

30、kk ， 3 4x x =- 2649 8k 5 ， 将 4 5 带 入 3 ， 得 16（ 2k +1） = 22169 8kk + 24 649 8k ,即16（ 2k +1） = 2 2 2216 9( 1)9 8kk ， 所 以 229 8k =16 9 ， 解 得 k= 64 ， 即 直 线 l的 斜 率 为 64 . （ ii） 由 2 4x y 得 y =2x ， 所 以 1C 在 点 A 处 的 切 线 方 程 为 y- 1y = 12x （ x- 1x ） ， 即y= 1x x- 124x .令 y=0 得 x= 12x ， 即 M（ 12x ,0） ,所 以 FM =( 1

31、2x ,-1).而 FA=( 1 1, 1x y ).于 是FA FM = 122x - 1 1y = 124x +10， 因 此 AFM 是 锐 角 ， 从 而 180oMFD AFM 是 钝 角 .故 直 线 l 绕 点 F 旋 转 时 ， MFD总 是 钝 角 三 角 形 . 17 考 点 ： 1.椭 圆 的 标 准 方 程 及 其 性 质 ； 2.直 线 与 椭 圆 位 置 关 系 .21.已 知 0a ， 函 数 ( ) sin ( 0, )axf x e x x . 记 nx 为 ( )f x 的 从 小 到 大 的 第 n *( )n N 个 极 值 点 ,证明 ：(1)数 列

32、( )nf x 是 等 比 数 列(2)若 21 1a e ， 则 对 一 切 *n N ， | ( )|n nx f x 恒 成 立 .解 析 ： (1)求 导 ， 可 知 ( ) sin cosax axf x ae x e x ( sin cos )axe a x x 2 1 sin( )axa e x ， 求得 )(xf 的 极 值 点 诶 *( ) nx n n N ， 即 可 得 证 ；(2)分 析 题 意 可 知 ， 问 题 等 价 于 2 1 a na ea a n 恒 成 立 ， 构 造 函 数 g（ t） = tet ， 利 用 导 数 判 断 其 单 调性 即 可 得 证

33、答 案 ：(1) ( ) sin cosax axf x ae x e x ( sin cos )axe a x x 2 1 sin( )axa e x 其 中 tan =1a ， 0 2 .令 ( )f x =0， 由 x 0 得 x+ =mx, 即 x=m - ， m *N . 对 kN， 若 2k x+ (2k+1) ,即 2k - x0；若 （ 2k+1） x+ (2k+2) ,即 （ 2k+1） - x(2k+2) - ， 则 ( )f x 0.因 此 ， 在 区 间 （ （ m-1） ， m - ） 与 （ m - ， m ） 上 ， ( )f x 的 符 号 总 相 反 .于 是

34、当 x= m - (m *N )时 ， ( )f x 取 得 极 值 ， 所 以 *( ) nx n n N .此 时 ， 1 sin( )( ) ( 1) sin .a n a nnnx e nf e 易 知 ( )nf x 0， 而 11 2 1( ) ( 1)( ) ( 1 s n in) isan axn nn a nnf ef x ex e 是 常 数 ， 故 数 列 ( )nf x 是 首 项 为 1( )f x = sina ne ， 公 比 为 axe 的 等 比 数 列 ；(2)由 （ I） 知 ， sin = 21 1a ， 于 是 对 一 切 *n N , nx 0） ，

35、设 g（ t） = tet （ t） 0） ， 则 2 ( 1)tg t e tt（ ） = .令 g t（ ） =0得 t=1，当 0t1 时 ， g t（ ） 1时 ， g t（ ） 0 ， 所 以 g（ t） 在 区 间 （ 0,1） 上 单 调 递 增 .从 而 当 t=1时 ， 函 数 g（ t） 取 得 最 小 值 g（ 1） =e因 此 ， 要 是 （ ） 式 恒 成 立 ， 只 需 2 ( )1 1ga ea ， 即 只 需 21 1a e . 而 当 a= 21 1e 时 ， tan =1a = 2 1e 3 且 0 2 .于 是22 13 e ， 且 当 n 2 时 ， 22 132 en .因 此 对 一 切*n N , 2 11n nax e ， 所 以 g（ nax ） 2 1(1) ag e a .故 （ ） 式 亦 恒 成 立 .综 上 所 述 ， 若 a 21 1e ， 则 对 一 切 *n N ， ( )|n nx xf 恒 成 立 .考 点 ： 1.三 角 函 数 的 性 质 ； 2.导 数 的 运 用 ； 3.恒 成 立 问 题 .