2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学文及答案解析.docx
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1、第1页 ( 共13页 ) 2015年 湖 南 省 高 考 数 学 试 卷 (文 科 )一 、 选 择 题 (每 小 题 5 分 , 共 50分 )1.(5分 )(2015湖 南 )已 知 =1+i(i为 虚 数 单 位 ), 则 复 数 z=( )A.1+iB.1 iC.-1+iD.-1 i解 析 已 知 =1+i(i为 虚 数 单 位 ), z= = = 1 i.答 案 : D2.(5分 )(2015湖 南 )在 一 次 马 拉 松 比 赛 中 , 35 名 运 动 员 的 成 绩 (单 位 : 分 钟 )的 茎 叶 图 如 图所 示 .若 将 运 动 员 按 成 绩 由 好 到 差 编 为
2、 1 35号 , 再 用 系 数 抽 样 方 法 从 中 抽 取 7 人 , 则 其 中成 绩 在 区 间 139, 151上 的 运 动 员 人 数 是 ( ) A.3B.4C.5D.6解 析 : 由 已 知 , 将 个 数 据 分 为 三 个 层 次 是 130, 138, 139, 151, 152, 153, 根 据 系 数抽 样 方 法 从 中 抽 取 7人 , 得 到 抽 取 比 例 为 ,所 以 成 绩 在 区 间 139, 151中 共 有 20 名 运 动 员 , 抽 取 人 数 为 20 =4;答 案 B3.(5分 )(2015湖 南 )设 x R, 则 “ x 1“ 是
3、“ x 3 1” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 第2页 ( 共13页 ) 解 析 : 因 为 x R, “ x 1“ “ x3 1” , 所 以 “ x 1“ 是 “ x3 1” 的 充 要 条 件 .答 案 : C4.(5分 )(2015湖 南 )若 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 , 则 z=2x y 的 最 小 值 为 ( )A.-1B.0C.1D.2 解 析 : 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 , 由 图 可 知 , 最 优 解 为 A, 联 立 , 解 得
4、A(0, 1). z=2x y的 最 小 值 为 2 0 1= 1.答 案 : A5.(5分 )(2015湖 南 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 如 果 输 入 n=3, 则 输 出 的 S=( ) 第3页 ( 共13页 ) A.B.C.D.解 析 : 判 断 前 i=1, n=3, s=0,第 1 次 循 环 , S= , i=2,第 2 次 循 环 , S= , i=3, 第 3 次 循 环 , S= , i=4,此 时 , i n, 满 足 判 断 框 的 条 件 , 结 束 循 环 , 输 出 结 果 :S= = =答 案 : B6.(5分 )(2015湖 南 )若
5、双 曲 线 =1的 一 条 渐 近 线 经 过 点 (3, 4), 则 此 双 曲 线 的 离心 率 为 ( )A. B. 第4页 ( 共13页 ) C.D.解 析 : 双 曲 线 =1 的 一 条 渐 近 线 经 过 点 (3, 4), 可 得 3b=4a, 即 9(c2 a2)=16a2,解 得 = .答 案 : D7.(5分 )(2015湖 南 )若 实 数 a, b满 足 + = , 则 ab 的 最 小 值 为 ( ) A.B.2C.2D.4解 析 : + = , a 0, b 0, (当 且 仅 当 b=2a时 取 等 号 ), ,解 可 得 , ab , 即 ab的 最 小 值
6、为 2 ,答 案 : C 8.(5分 )(2015湖 南 )设 函 数 f(x)=ln(1+x) ln(1 x), 则 f(x)是 ( )A.奇 函 数 , 且 在 (0, 1)上 是 增 函 数B.奇 函 数 , 且 在 (0, 1)上 是 减 函 数C.偶 函 数 , 且 在 (0, 1)上 是 增 函 数D.偶 函 数 , 且 在 (0, 1)上 是 减 函 数解 析 : 函 数 f(x)=ln(1+x) ln(1 x), 函 数 的 定 义 域 为 ( 1, 1),函 数 f( x)=ln(1 x) ln(1+x)= ln(1+x) ln(1 x)= f(x), 所 以 函 数 是 奇
7、 函 数 .排除 C, D, 正 确 结 果 在 A, B, 只 需 判 断 特 殊 值 的 大 小 , 即 可 推 出 选 项 , x=0时 , f(0)=0; x=时 , f( )=ln(1+ ) ln(1 )=ln3 1, 显 然 f(0) f( ), 函 数 是 增 函 数 , 所 以 B 错 误 ,A正 确 .答 案 : A 9.(5分 )(2015湖 南 )已 知 A, B, C 在 圆 x2+y2=1上 运 动 , 且 AB BC, 若 点 P 的 坐 标 为 (2, 0),则 | |的 最 大 值 为 ( ) 第5页 ( 共13页 ) A.6B.7C.8D.9解 析 : 由 题
8、 意 , AC 为 直 径 , 所 以 | |=|2 + |=|4+ |.所 以 B为 ( 1, 0)时 , |4+ | 7.所 以 | |的 最 大 值 为 7.答 案 : B10.(5分 )(2015湖 南 )某 工 件 的 三 视 图 如 图 所 示 , 现 将 该 工 件 通 过 切 削 , 加 工 成 一 个 体 积 尽可 能 大 的 正 方 体 新 工 件 , 并 使 新 工 件 的 一 个 面 落 在 原 工 件 的 一 个 面 内 , 则 原 工 件 材 料 的 利 用 率 为 (材 料 利 用 率 = )( ) A.B.C.D.解 析 : 由 题 意 , 由 工 件 的 三
9、视 图 得 到 原 材 料 是 圆 锥 , 底 面 是 直 径 为 2 的 圆 , 母 线 长 为 3, 所以 圆 锥 的 高 为 2 , 圆 锥 是 体 积 为 ; 其 内 接 正 方 体 的 棱 长 为 x, 则 , 解 得 x= , 所 以 正 方 体 的 体 积 为 , 所 以 原 工 件 材料 的 利 用 率 为 : = ;答 案 : A 第6页 ( 共13页 ) 二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 25分 )11.(5分 )(2015湖 南 )已 知 集 合 U=1, 2, 3, 4, A=1, 3, B=1, 3, 4, 则 A (U
10、B)=1, 2, 3 .解 析 : 集 合 U=1, 2, 3, 4, A=1, 3, B=1, 3, 4,所 以 UB=2, 所 以 A (UB)=1, 2, 3.答 案 : 1, 2, 312.(5分 )(2015湖 南 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 , 以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立极 坐 标 系 , 若 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 =2sn , 则 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 为 x 2+(y1)2=1 .解 析 : 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 =2sn , 即 2=2 sn , 它 的 直 角 坐
11、标 方 程 为 : x2+y2=2y,即 x2+(y 1)2=1.答 案 : x2+(y 1)2=113.(5分 )(2015湖 南 )若 直 线 3x 4y+5=0 与 圆 x 2+y2=r2(r 0)相 交 于 A, B 两 点 , 且 AOB=120 , (O为 坐 标 原 点 ), 则 r= 2 .解 析 : 若 直 线 3x 4y+5=0与 圆 x2+y2=r2(r 0)交 于 A、 B 两 点 , O 为 坐 标 原 点 ,且 AOB=120 , 则 圆 心 (0, 0)到 直 线 3x 4y+5=0 的 距 离 d=rcos = r,即 = r, 解 得 r=2,答 案 : 21
12、4.(5分 )(2015湖 南 )若 函 数 f(x)=|2 x 2| b 有 两 个 零 点 , 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 0 b 2 .解 析 : 由 函 数 f(x)=|2x 2| b 有 两 个 零 点 , 可 得 |2x 2|=b有 两 个 零 点 ,从 而 可 得 函 数 y=|2x 2|函 数 y=b 的 图 象 有 两 个 交 点 ,结 合 函 数 的 图 象 可 得 , 0 b 2 时 符 合 条 件 ,故 答 案 为 : 0 b 2 第7页 ( 共13页 ) 15.(5分 )(2015湖 南 )已 知 0, 在 函 数 y=2sin x与 y=2cos x的
13、图 象 的 交 点 中 , 距 离最 短 的 两 个 交 点 的 距 离 为 2 , 则 = .解 析 : 函 数 y=2sin x与 y=2cos x的 图 象 的 交 点 , 根 据 三 角 函 数 线 可 得 出 交 点 ( (k1 , ), ( (k2 , ), k1, k2都 为整 数 , 距 离 最 短 的 两 个 交 点 的 距 离 为 2 , 这 两 个 交 点 在 同 一 个 周 期 内 , 12= ( ) 2+( )2, = 答 案 :三 、 解 答 题16.(12分 )(2015湖 南 )某 商 场 举 行 有 奖 促 销 活 动 , 顾 客 购 买 一 定 金 额 的
14、商 品 后 即 可 抽 奖 ,抽 奖 方 法 是 : 从 装 有 2 个 红 球 A1, A2和 1个 白 球 B的 甲 箱 与 装 有 2 个 红 球 a1, a2和 2 个 白 球b1, b2的 乙 箱 中 , 各 随 机 摸 出 1 个 球 , 若 摸 出 的 2 个 球 都 是 红 球 则 中 奖 , 否 则 不 中 奖 .( )用 球 的 标 号 列 出 所 有 可 能 的 摸 出 结 果 ;( )有 人 认 为 : 两 个 箱 子 中 的 红 球 比 白 球 多 , 所 以 中 奖 的 概 率 大 于 不 中 奖 的 概 率 , 你 认 为 正确 吗 ? 请 说 明 理 由 .解
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