1、第1页 （ 共13页 ） 2015年 湖 南 省 高 考 数 学 试 卷 (文 科 )一 、 选 择 题 (每 小 题 5 分 ， 共 50分 )1.(5分 )(2015湖 南 )已 知 =1+i(i为 虚 数 单 位 )， 则 复 数 z=( )A.1+iB.1 iC.-1+iD.-1 i解 析 已 知 =1+i(i为 虚 数 单 位 )， z= = = 1 i.答 案 ： D2.(5分 )(2015湖 南 )在 一 次 马 拉 松 比 赛 中 ， 35 名 运 动 员 的 成 绩 (单 位 ： 分 钟 )的 茎 叶 图 如 图所 示 .若 将 运 动 员 按 成 绩 由 好 到 差 编 为
2、 1 35号 ， 再 用 系 数 抽 样 方 法 从 中 抽 取 7 人 ， 则 其 中成 绩 在 区 间 139， 151上 的 运 动 员 人 数 是 ( ) A.3B.4C.5D.6解 析 ： 由 已 知 ， 将 个 数 据 分 为 三 个 层 次 是 130， 138， 139， 151， 152， 153， 根 据 系 数抽 样 方 法 从 中 抽 取 7人 ， 得 到 抽 取 比 例 为 ，所 以 成 绩 在 区 间 139， 151中 共 有 20 名 运 动 员 ， 抽 取 人 数 为 20 =4；答 案 B3.(5分 )(2015湖 南 )设 x R， 则 “ x 1“ 是
3、“ x 3 1” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 第2页 （ 共13页 ） 解 析 ： 因 为 x R， “ x 1“ “ x3 1” ， 所 以 “ x 1“ 是 “ x3 1” 的 充 要 条 件 .答 案 ： C4.(5分 )(2015湖 南 )若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=2x y 的 最 小 值 为 ( )A.-1B.0C.1D.2 解 析 ： 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 ， 由 图 可 知 ， 最 优 解 为 A， 联 立 ， 解 得
4、A(0， 1). z=2x y的 最 小 值 为 2 0 1= 1.答 案 ： A5.(5分 )(2015湖 南 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 n=3， 则 输 出 的 S=( ) 第3页 （ 共13页 ） A.B.C.D.解 析 ： 判 断 前 i=1， n=3， s=0，第 1 次 循 环 ， S= ， i=2，第 2 次 循 环 ， S= ， i=3， 第 3 次 循 环 ， S= ， i=4，此 时 ， i n， 满 足 判 断 框 的 条 件 ， 结 束 循 环 ， 输 出 结 果 ：S= = =答 案 ： B6.(5分 )(2015湖 南 )若
5、双 曲 线 =1的 一 条 渐 近 线 经 过 点 (3， 4)， 则 此 双 曲 线 的 离心 率 为 ( )A. B. 第4页 （ 共13页 ） C.D.解 析 ： 双 曲 线 =1 的 一 条 渐 近 线 经 过 点 (3， 4)， 可 得 3b=4a， 即 9(c2 a2)=16a2，解 得 = .答 案 ： D7.(5分 )(2015湖 南 )若 实 数 a， b满 足 + = ， 则 ab 的 最 小 值 为 ( ) A.B.2C.2D.4解 析 ： + = ， a 0， b 0， (当 且 仅 当 b=2a时 取 等 号 )， ，解 可 得 ， ab ， 即 ab的 最 小 值
6、为 2 ，答 案 ： C 8.(5分 )(2015湖 南 )设 函 数 f(x)=ln(1+x) ln(1 x)， 则 f(x)是 ( )A.奇 函 数 ， 且 在 (0， 1)上 是 增 函 数B.奇 函 数 ， 且 在 (0， 1)上 是 减 函 数C.偶 函 数 ， 且 在 (0， 1)上 是 增 函 数D.偶 函 数 ， 且 在 (0， 1)上 是 减 函 数解 析 ： 函 数 f(x)=ln(1+x) ln(1 x)， 函 数 的 定 义 域 为 ( 1， 1)，函 数 f( x)=ln(1 x) ln(1+x)= ln(1+x) ln(1 x)= f(x)， 所 以 函 数 是 奇
7、 函 数 .排除 C， D， 正 确 结 果 在 A， B， 只 需 判 断 特 殊 值 的 大 小 ， 即 可 推 出 选 项 ， x=0时 ， f(0)=0； x=时 ， f( )=ln(1+ ) ln(1 )=ln3 1， 显 然 f(0) f( )， 函 数 是 增 函 数 ， 所 以 B 错 误 ，A正 确 .答 案 ： A 9.(5分 )(2015湖 南 )已 知 A， B， C 在 圆 x2+y2=1上 运 动 ， 且 AB BC， 若 点 P 的 坐 标 为 (2， 0)，则 | |的 最 大 值 为 ( ) 第5页 （ 共13页 ） A.6B.7C.8D.9解 析 ： 由 题
8、 意 ， AC 为 直 径 ， 所 以 | |=|2 + |=|4+ |.所 以 B为 ( 1， 0)时 ， |4+ | 7.所 以 | |的 最 大 值 为 7.答 案 ： B10.(5分 )(2015湖 南 )某 工 件 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 现 将 该 工 件 通 过 切 削 ， 加 工 成 一 个 体 积 尽可 能 大 的 正 方 体 新 工 件 ， 并 使 新 工 件 的 一 个 面 落 在 原 工 件 的 一 个 面 内 ， 则 原 工 件 材 料 的 利 用 率 为 (材 料 利 用 率 = )( ) A.B.C.D.解 析 ： 由 题 意 ， 由 工 件 的 三
9、视 图 得 到 原 材 料 是 圆 锥 ， 底 面 是 直 径 为 2 的 圆 ， 母 线 长 为 3， 所以 圆 锥 的 高 为 2 ， 圆 锥 是 体 积 为 ； 其 内 接 正 方 体 的 棱 长 为 x， 则 ， 解 得 x= ， 所 以 正 方 体 的 体 积 为 ， 所 以 原 工 件 材料 的 利 用 率 为 ： = ；答 案 ： A 第6页 （ 共13页 ） 二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 )11.(5分 )(2015湖 南 )已 知 集 合 U=1， 2， 3， 4， A=1， 3， B=1， 3， 4， 则 A (U
10、B)=1， 2， 3 .解 析 ： 集 合 U=1， 2， 3， 4， A=1， 3， B=1， 3， 4，所 以 UB=2， 所 以 A (UB)=1， 2， 3.答 案 ： 1， 2， 312.(5分 )(2015湖 南 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立极 坐 标 系 ， 若 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 =2sn ， 则 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 为 x 2+(y1)2=1 .解 析 ： 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 =2sn ， 即 2=2 sn ， 它 的 直 角 坐
11、标 方 程 为 ： x2+y2=2y，即 x2+(y 1)2=1.答 案 ： x2+(y 1)2=113.(5分 )(2015湖 南 )若 直 线 3x 4y+5=0 与 圆 x 2+y2=r2(r 0)相 交 于 A， B 两 点 ， 且 AOB=120 ， (O为 坐 标 原 点 )， 则 r= 2 .解 析 ： 若 直 线 3x 4y+5=0与 圆 x2+y2=r2(r 0)交 于 A、 B 两 点 ， O 为 坐 标 原 点 ，且 AOB=120 ， 则 圆 心 (0， 0)到 直 线 3x 4y+5=0 的 距 离 d=rcos = r，即 = r， 解 得 r=2，答 案 ： 21
12、4.(5分 )(2015湖 南 )若 函 数 f(x)=|2 x 2| b 有 两 个 零 点 ， 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 0 b 2 .解 析 ： 由 函 数 f(x)=|2x 2| b 有 两 个 零 点 ， 可 得 |2x 2|=b有 两 个 零 点 ，从 而 可 得 函 数 y=|2x 2|函 数 y=b 的 图 象 有 两 个 交 点 ，结 合 函 数 的 图 象 可 得 ， 0 b 2 时 符 合 条 件 ，故 答 案 为 ： 0 b 2 第7页 （ 共13页 ） 15.(5分 )(2015湖 南 )已 知 0， 在 函 数 y=2sin x与 y=2cos x的
13、图 象 的 交 点 中 ， 距 离最 短 的 两 个 交 点 的 距 离 为 2 ， 则 = .解 析 ： 函 数 y=2sin x与 y=2cos x的 图 象 的 交 点 ， 根 据 三 角 函 数 线 可 得 出 交 点 ( (k1 ， )， ( (k2 ， )， k1， k2都 为整 数 ， 距 离 最 短 的 两 个 交 点 的 距 离 为 2 ， 这 两 个 交 点 在 同 一 个 周 期 内 ， 12= ( ) 2+( )2， = 答 案 ：三 、 解 答 题16.(12分 )(2015湖 南 )某 商 场 举 行 有 奖 促 销 活 动 ， 顾 客 购 买 一 定 金 额 的
14、商 品 后 即 可 抽 奖 ，抽 奖 方 法 是 ： 从 装 有 2 个 红 球 A1， A2和 1个 白 球 B的 甲 箱 与 装 有 2 个 红 球 a1， a2和 2 个 白 球b1， b2的 乙 箱 中 ， 各 随 机 摸 出 1 个 球 ， 若 摸 出 的 2 个 球 都 是 红 球 则 中 奖 ， 否 则 不 中 奖 .( )用 球 的 标 号 列 出 所 有 可 能 的 摸 出 结 果 ；( )有 人 认 为 ： 两 个 箱 子 中 的 红 球 比 白 球 多 ， 所 以 中 奖 的 概 率 大 于 不 中 奖 的 概 率 ， 你 认 为 正确 吗 ？ 请 说 明 理 由 .解
15、析 ：( )中 奖 利 用 枚 举 法 列 出 所 有 可 能 的 摸 出 结 果 ；( )在 ( )中 求 出 摸 出 的 2个 球 都 是 红 球 的 结 果 数 ， 然 后 利 用 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 求 得 概 率 ， 并 说 明 中 奖 的 概 率 大 于 不 中 奖 的 概 率 是 错 误 的 .答 案 ： 第8页 （ 共13页 ） ( )所 有 可 能 的 摸 出 的 结 果 是 ：A1， a1 ， A1， a2 ， A1， b1 ， A1， b2 ， A2， a1 ， A2， a2 ，A2， b1 ， A2， b2 ， B， a1 ， B， a2 ， B，
16、b1 ， B， b2；( )不 正 确 .理 由 如 下 ：由 ( )知 ， 所 有 可 能 的 摸 出 结 果 共 12 种 ， 其 中 摸 出 的 2 个 球 都 是 红 球 的 结 果 为 ：A1， a1 ， A1， a2 ， A2， a1 ， A2， a2 ， 共 4 种 ， 中 奖 的 概 率 为 .不 中 奖 的 概 率 为 ： 1 .故 这 种 说 法 不 正 确 .17.(12分 )(2015湖 南 )设 ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， a=btanA. ( )证 明 ： sinB=cosA；( )若 sinC sinAcosB= ，
17、且 B为 钝 角 ， 求 A， B， C.解 析 ：( )由 正 弦 定 理 及 已 知 可 得 = ， 由 sinA 0， 即 可 证 明 sinB=cosA.( )由 两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 化 简 已 知 可 得 sinC sinAcosB=cosAsinB= ， 由 (1)sinB=cosA，可 得 sin 2B= ， 结 合 范 围 可 求 B， 由 sinB=cosA 及 A 的 范 围 可 求 A， 由 三 角 形 内 角 和 定 理 可求 C.答 案 ：( )证 明 ： a=btanA. =tanA， 由 正 弦 定 理 ： ， 又 tanA= ， = ， si
18、nA 0， sinB=cosA.得 证 . ( ) sinC=sin (A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB， sinC sinAcosB=cosAsinB= ， 由 (1)sinB=cosA， sin2B= ， 0 B ， sinB= ， B 为 钝 角 ， 第9页 （ 共13页 ） B= ，又 cosA=sinB= ， A= ， C= A B= ，综 上 ， A=C= ， B= .18.(12分 )(2015湖 南 )如 图 ， 直 三 棱 柱 ABC A 1B1C1的 底 面 是 边 长 为 2的 正 三 角 形 ， E， F 分别 是 BC， CC1的 中 点
19、 ，( )证 明 ： 平 面 AEF 平 面 B 1BCC1；( )若 直 线 A1C与 平 面 A1ABB1所 成 的 角 为 45 ， 求 三 棱 锥 F AEC的 体 积 .解 析 ：( )证 明 AE BB1， AE BC， BC BB1=B， 推 出 AE 平 面 B1BCC1， 利 用 平 面 余 平 米 垂 直 的 判定 定 理 证 明 平 面 AEF 平 面 B1BCC1；( )取 AB的 中 点 G， 说 明 直 线 A1C 与 平 面 A1ABB1所 成 的 角 为 45 ， 就 是 CA1G， 求 出 棱 锥 的高 与 底 面 面 积 即 可 求 解 几 何 体 的 体
20、积 .答 案 ：( )证 明 ： 几 何 体 是 直 棱 柱 ， BB 1 底 面 ABC， AE底 面 ABC， AE BB1， 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， E分 别 是 BC的 中 点 ， AE BC， BC BB1=B， AE 平 面 B1BCC1， AE平 面 AEF， 平 面 AEF 平 面 B1BCC1；( )取 AB 的 中 点 G， 连 结 A 1G， CG， 由 ( )可 知 CG 平 面 A1ABB1，直 线 A1C 与 平 面 A1ABB1所 成 的 角 为 45 ， 就 是 CA1G， 则 A1G=CG=
21、， AA1= = ， CF= .三 棱 锥 F AEC 的 体 积 ： = = . 第10页 （ 共13页 ） 19.(13分 )(2015湖 南 )设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 已 知 a1=1， a2=2， an+2=3Sn Sn+1+3， n N*，( )证 明 an+2=3an；( )求 Sn.解 析 ：( )当 n 2 时 ， 通 过 an+2=3Sn Sn+1+3 与 an+1=3Sn 1 Sn+3 作 差 ， 然 后 验 证 当 n=1时 命 题 也 成立 即 可 ；( )通 过 (I)写 出 奇 数 项 、 偶 数 项 的 通 项 公 式 ， 分 奇 数 项
22、的 和 、 偶 数 项 的 和 计 算 即 可 .答 案 ：( )证 明 ： 当 n 2 时 ， 由 a n+2=3Sn Sn+1+3，可 得 an+1=3Sn 1 Sn+3，两 式 相 减 ， 得 an+2 an+1=3an an+1， an+2=3an，当 n=1时 ， 有 a3=3S1 S2+3=3 1 (1+2)+3=3， a3=a1， 命 题 也 成 立 ，综 上 所 述 ： an+2=3an；( )由 (I)可 得 ， 其 中 k 是 任 意 正 整 数 ， S 2k 1=(a1+a2)+(a3+a4)+ +(a2k 3+a2k 2)+a2k 1=3+32+ +3k 1+3k 1=
23、 +3k 1= 3k 1 ，S 2k=S2k 1+a2k= 3k 1 +2 3k 1= ，综 上 所 述 ， Sn= . 第11页 （ 共13页 ） 20.(13分 )(2015湖 南 )已 知 抛 物 线 C1： x2=4y的 焦 点 F也 是 椭 圆 C2： + =1(a b 0)的一 个 焦 点 ， C1与 C2的 公 共 弦 的 长 为 2 ， 过 点 F 的 直 线 l 与 C1相 交 于 A， B两 点 ， 与 C2相 交于 C， D 两 点 ， 且 与 同 向 .( )求 C2的 方 程 ；( )若 |AC|=|BD|， 求 直 线 l 的 斜 率 .解 析 ：( )通 过 C
24、1方 程 可 知 a2 b2=1， 通 过 C1与 C2的 公 共 弦 的 长 为 2 且 C1与 C2的 图 象 都 关 于 y轴 对 称 可 得 ， 计 算 即 得 结 论 ；( )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)， 通 过 = 可 得 (x1+x2)2 4x1x2=(x3+x4)2 4x3x4， 设 直 线 l方 程 为 y=kx+1， 分 别 联 立 直 线 与 抛 物 线 、 直 线 与 椭 圆 方 程 ， 利 用 韦 达 定理 计 算 即 可 .答 案 ：( )由 C 1方 程 可 知 F(0， 1)， F 也 是 椭 圆 C
25、2的 一 个 焦 点 ， a2 b2=1，又 C1与 C2的 公 共 弦 的 长 为 2 ， C1与 C2的 图 象 都 关 于 y 轴 对 称 ， 易 得 C1与 C2的 公 共 点 的 坐 标 为 ( ， )， ，又 a 2 b2=1， a2=9， b2=8， C2的 方 程 为 + =1；( )如 图 ， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)， 与 同 向 ， 且 |AC|=|BD|， 第12页 （ 共13页 ） = ， x1 x2=x3 x4， (x1+x2)2 4x1x2=(x3+x4)2 4x3x4，设 直 线 l 的 斜 率 为
26、 k， 则 l 方 程 ： y=kx+1，由 ， 可 得 x2 4kx 4=0，由 韦 达 定 理 可 得 x 1+x2=4k， x1x2= 4，由 ， 得 (9+8k2)x2+16kx 64=0，由 韦 达 定 理 可 得 x3+x4= ， x3x4= ，又 (x 1+x2)2 4x1x2=(x3+x4)2 4x3x4， 16(k2+1)= + ，化 简 得 16(k2+1)= ， (9+8k 2)2=16 9， 解 得 k= ，即 直 线 l的 斜 率 为 .21.(13分 )(2015湖 南 )已 知 a 0， 函 数 f(x)=aexcosx(x 0， + )， 记 xn为 f(x)的
27、 从 小到 大 的 第 n(n N*)个 极 值 点 .( )证 明 ： 数 列 f(x n)是 等 比 数 列 ；( )若 对 一 切 n N*， xn |f(xn)|恒 成 立 ， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ：( )求 出 函 数 的 导 数 ， 令 导 数 为 0， 求 得 极 值 点 ， 再 由 等 比 数 列 的 定 义 ， 即 可 得 证 ；( )由 n=1可 得 a的 范 围 ， 运 用 数 学 归 纳 法 证 8n 4n+3， 当 a 时 ， 验 证 得 |f(xn+1)| x n+1， 即 可 得 到 a的 范 围 .答 案 ：( )证 明 ： 函 数 f(x)=
28、aexcosx的 导 数 为 f (x)=aex(cosx sinx)，a 0， x 0， 则 ex 1，由 f (x)=0， 可 得 cosx=sinx， 即 tanx=1， 解 得 x=k + ， k=0， 1， 2， ， 第13页 （ 共13页 ） 当 k 为 奇 数 时 ， f (x)在 k + 附 近 左 负 右 正 ，当 k 为 偶 数 时 ， f (x)在 k + 附 近 左 正 右 负 .故 x=k + ， k=0， 1， 2， ， 均 为 极 值 点 ，xn=(n 1) + =n ，f(x n)=a cos(n )， f(xn+1)=a cos(n + )，当 n 为 偶 数
29、 时 ， f(xn+1)= e f(xn)，当 n 为 奇 数 时 ， f(xn+1)= e f(xn)，即 有 数 列 f(xn)是 等 比 数 列 ；( )由 于 x1 |f(x1)|， 则 a ，解 得 a ，下 面 证 明 8 n 4n+3.当 n=1时 ， 8 7显 然 成 立 ， 假 设 n=k时 ， 8k 4k+3，当 n=k+1 时 ， 8k+1=88k 8(4k+3)=32k+24=4(k+1)+28k+20 4(k+1)+3，即 有 n=k+1时 ， 不 等 式 成 立 .综 上 可 得 8n 4n+3(n N+)，由 e 8，当 a 时 ，由 ( )可 得 |f(x n+1)|=|( e )|n|f(x1)| 8n|f(x1)|=8nf(x1) (4n+3)x1 xn+1， n N+，综 上 可 得 a 成 立 .
