2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理及答案解析.docx

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1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 北 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1. i 为 虚 数 单 位 ， i607的 共 轭 复 数 为 ( )A.iB.-iC.1D.-1解 析 ： i 607=i604+3=i3=-i，它 的 共 轭 复 数 为 ： i.故 选 ： A.2.我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 有 “ 米 谷 粒 分 ” 题 ： 粮 仓 开 仓 收

2、 粮 ， 有 人 送 来 米 1534 石 ，验 得 米 内 夹 谷 ， 抽 样 取 米 一 把 ， 数 得 254粒 内 夹 谷 28粒 ， 则 这 批 米 内 夹 谷 约 为 ( )A.134石B.169石C.338石D.1365石解 析 ： 由 题 意 ， 这 批 米 内 夹 谷 约 为 1534 169 石 ， 故 选 ： B.3.已 知 (1+x)n的 展 开 式 中 第 4项 与 第 8项 的 二 项 式 系 数 相 等 ， 则 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 为( )A.212B.211C.210D.2 9解 析 ： 已 知 (1+x)n的 展 开 式 中 第 4项 与

3、第 8项 的 二 项 式 系 数 相 等 ，可 得 ， 可 得 n=3+7=10.(1+x)10的 展 开 式 中 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 为 ： =29.故 选 ： D.4.设 X N( 1， 12)， Y N( 2， 22)， 这 两 个 正 态 分 布 密 度 曲 线 如 图 所 示 .下 列 结 论 中 正确 的 是 ( ) A.P(Y 2) P(Y 1)B.P(X 2) P(X 1)C.对 任 意 正 数 t， P(X t) P(Y t)D.对 任 意 正 数 t， P(X t) P(Y t)解 析 ： 正 态 分 布 密 度 曲 线 图 象 关 于 x= 对 称 ，

4、 所 以 1 2， 从 图 中 容 易 得 到P(X t) P(Y t).故 选 ： C. 5.设 a1， a2， ， an R， n 3.若 p： a1， a2， ， an成 等 比 数 列 ； q：(a12+a22+ +an-12)(a22+a32+ +an2)=(a1a2+a2a3+ +an-1an)2， 则 ( )A.p是 q的 充 分 条 件 ， 但 不 是 q的 必 要 条 件B.p是 q的 必 要 条 件 ， 但 不 是 q的 充 分 条 件C.p是 q的 充 分 必 要 条 件D.p既 不 是 q的 充 分 条 件 ， 也 不 是 q的 必 要 条 件解 析 ： 由 a1， a

5、2， ， an R， n 3.运 用 柯 西 不 等 式 ， 可 得 ：(a 12+a22+ +an-12)(a22+a32+ +an2) (a1a2+a2a3+ +an-1an)2，若 a1， a2， ， an成 等 比 数 列 ， 即 有 = = = ，则 (a12+a22+ +an-12)(a22+a32+ +an2)=(a1a2+a2a3+ +an-1an)2，即 由 p推 得 q，但 由 q推 不 到 p， 比 如 a1=a2=a3= =an=0， 则 a1， a2， ， an不 成 等 比 数 列 .故 p 是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 .故 选 ： A. 6.已 知 符

6、 号 函 数 sgnx= ， f(x)是 R 上 的 增 函 数 ， g(x)=f(x)-f(ax)(a 1)， 则( )A.sgng(x)=sgnxB.sgng(x)=-sgnxC.sgng(x)=sgnf(x)D.sgng(x)=-sgnf(x)解 析 ： 由 于 本 题 是 选 择 题 ， 可 以 常 用 特 殊 法 ， 符 号 函 数 sgnx= ， f(x)是 R上的 增 函 数 ， g(x)=f(x)-f(ax)(a 1)，不 妨 令 f(x)=x， a=2， 则 g(x)=f(x)-f(ax)=-x，sgng(x)=-sgnx.所 以 A不 正 确 ， B 正 确 ，sgnf(x

7、)=sgnx， C不 正 确 ； D 正 确 ；对 于 D， 令 f(x)=x+1， a=2，则 g(x)=f(x)-f(ax)=-x-1，sgnf(x)=sgn(x+1)= ；sgng(x)=sgn(-x-1)= ， -sgnf(x)=-sgn(x+1)= ； 所 以 D 不 正 确 ；故 选 ： B.7.在 区 间 0， 1上 随 机 取 两 个 数 x， y， 记 P1为 事 件 “ x+y ” 的 概 率 ， P2为 事 件 “ |x-y| ”的 概 率 ， P3为 事 件 “ xy ” 的 概 率 ， 则 ( )A.P 1 P2 P3B.P2 P3 P1C.P3 P1 P2D.P3

8、P2 P1解 析 ： 分 别 作 出 事 件 对 应 的 图 象 如 图 (阴 影 部 分 )： P1： D(0， )， F( ， 0)， A(0， 1)， B(1， 1)， C(1， 0)，则 阴 影 部 分 的 面 积 S1=1 1- =1- = ，S2=1 1-2 =1- = ，S 3=1 + dx= + lnx| = - ln = + ln2， S2 S3 S1，即 P2 P3 P1，故 选 ： B. 8.将 离 心 率 为 e1的 双 曲 线 C1的 实 半 轴 长 a和 虚 半 轴 长 b(a b)同 时 增 加 m(m 0)个 单 位 长 度 ，得 到 离 心 率 为 e2的 双

9、 曲 线 C2， 则 ( )A.对 任 意 的 a， b， e1 e2B.当 a b 时 ， e1 e2； 当 a b 时 ， e1 e2C.对 任 意 的 a， b， e1 e2D.当 a b 时 ， e1 e2； 当 a b 时 ， e1 e2解 析 ： 由 题 意 ， 双 曲 线 C 1： c2=a2+b2， e1= ；双 曲 线 C2： c 2=(a+m)2+(b+m)2， e2= ， ， 当 a b 时 ， e 1 e2； 当 a b 时 ， e1 e2，故 选 ： D.9.已 知 集 合 A=(x， y)|x2+y2 1， x， y Z， B=(x， y)|x| 2， |y| 2，

10、 x， y Z， 定 义集 合 A B=(x1+x2， y1+y2)|(x1， y1) A， (x2， y2) B， 则 A B 中 元 素 的 个 数 为 ( )A.77B.49C.45 D.30解 析 ： A=(x， y)|x2+y2 1， x， y Z=(0， 0)， (0， 1)， (0， -1)， (1， 0)， (-1， 0)，B=(x， y)|x| 2， |y| 2， x， y Z=(0， 0)， (0， 1)， (0， 2)， (0， -1)， (0， -2)， (1，0)， (1， 1)， (1， 2)(1， -1)， (1， -2)(2， 0)， (2， 1)， (2， 2

11、)(2， -1)， (2， -2)， (-1，-2)， (-1， -1)， (-1， 0)， (-1， 1)， (-1， 2)， (-2， -2)， (-2， -1)， (-2， 0)， (-2， 1)，(-2， 2) A B=(x1+x2， y1+y2)|(x1， y1) A， (x2， y2) B， A B=(0， 0)， (0， 1)， (0， 2)， (0， -1)， (0， -2)， (1， 0)， (1， 1)， (1， 2)(1， -1)，(1， -2)(2， 0)， (2， 1)， (2， 2)， (2， -1)， (2， -2)， (-1， -2)， (-1， -1)， (-

12、1， 0)， (-1，1)， (-1， 2)， (-2， -2)， (-2， -1)， (-2， 0)， (-2， 1)， (-2， 2)，(-2， 3)， (-2， -3)， (0， -3)， (2， -3)， (-1， 3)， (-1， -3)， (1， 3)， (2， 3)， (0， 3)，(3， -1)， (3， 0)(3， 1)， (3， 2)， (3， -2)(-3， 2)(-3， 1)， (1， -3)， (-3， -1)， (-3， 0)，(-3， -2)共 45个 元 素 故 选 ： C.10.设 x R， x表 示 不 超 过 x的 最 大 整 数 .若 存 在 实 数 t

13、， 使 得 t=1， t2=2， ， tn=n同 时 成 立 ， 则 正 整 数 n 的 最 大 值 是 ( )A.3B.4C.5D.6解 析 ： t=1， t 1， 2)，又 t 2=2， t2 2， 3)， t ， )，又 t2 2， 3)， t4 4， 9)， t4=4， 正 整 数 n的 最 大 值 4故 选 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 考 生 需 作 答 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .请 将 答 案 填 在答 题 卡 对 应 题 号 的 位 置 上 .答 错 位 置 ， 书 写 不 清 ， 模 棱 两 可 均 不 得 分 .

14、11.已 知 向 量 ， | |=3， 则 =_.解 析 ： 由 ， 得 =0， 即 ( )=0， | |=3， .故 答 案 为 ： 9.12.函 数 f(x)=4cos2 cos( -x)-2sinx-|ln(x+1)|的 零 点 个 数 为 _.解 析 ： 函 数 f(x)的 定 义 域 为 ： x|x -1. f(x)=4cos2 cos( -x)-2sinx-|ln(x+1)|=2sinx -|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|，分 别 画 出 函 数 y=sin2x， y=|ln(x+1)|的 图 象 ，由 函 数 的 图 象 可 知 ， 交 点 个 数 为 2.所

15、以 函 数 的 零 点 有 2个 .故 答 案 为 ： 2. 13.如 图 ， 一 辆 汽 车 在 一 条 水 平 的 公 路 上 向 正 西 行 驶 ， 到 A 处 时 测 得 公 路 北 侧 一 山 顶 D 在 西偏 北 30 的 方 向 上 ， 行 驶 600m后 到 达 B 处 ， 测 得 此 山 顶 在 西 偏 北 75 的 方 向 上 ， 仰 角 为30 ， 则 此 山 的 高 度 CD=_m.解 析 ： 设 此 山 高 h(m)， 在 BCD中 ， 利 用 仰 角 的 正 切 表 示 出 BC， 进 而 在 ABC 中 利 用 正 弦 定理 求 得 h. 答 案 ： 设 此 山

16、高 h(m)， 则 BC= h，在 ABC中 ， BAC=30 ， CBA=105 ， BCA=45 ， AB=600.根 据 正 弦 定 理 得 ，解 得 h=100 (m)14.如 图 ， 圆 C 与 x 轴 相 切 于 点 T(1， 0)， 与 y 轴 正 半 轴 交 于 两 点 A， B(B在 A 的 上 方 )， 且|AB|=2. (1)圆 C 的 标 准 方 程 为 _；(2)过 点 A 任 作 一 条 直 线 与 圆 O： x2+y2=1相 交 于 M， N两 点 ， 下 列 三 个 结 论 ： = ； - =2； + =2 .其 中 正 确 结 论 的 序 号 是 _.(写 出

17、 所 有 正 确 结 论 的 序 号 )解 析 ： (1)取 AB的 中 点 E， 通 过 圆 C 与 x 轴 相 切 于 点 T， 利 用 弦 心 距 、 半 径 与 半 弦 长 之 间 的关 系 ， 计 算 即 可 ；(2)设 M(cos ， sin )， N(cos ， sin )， 计 算 出 、 、 的 值 即 可 .答 案 ： (1) 圆 C 与 x 轴 相 切 于 点 T(1， 0)， 圆 心 的 横 坐 标 x=1， 取 AB 的 中 点 E， |AB|=2， |BE|=1，则 |BC|= ， 即 圆 的 半 径 r=|BC|= ， 圆 心 C(1， )，则 圆 的 标 准 方

18、 程 为 (x-1)2+(y- )2=2，故 答 案 为 ： (x-1)2+(y- )2=2.(2) 圆 心 C(1， )， E(0， )，又 |AB|=2， 且 E 为 AB 中 点 ， A(0， -1)， B(0， +1)， M、 N在 圆 O： x2+y2=1 上 ， 可 设 M(cos ， sin )， N(cos ， sin )， |NA|= ，|NB|= ， ，同 理 可 得 ， ， 成 立 ， =2， 正 确 .， 正 确 . 故 答 案 为 ： .15.如 图 ， PA是 圆 的 切 线 ， A 为 切 点 ， PBC是 圆 的 割 线 ， 且 BC=3PB， 则 =_. 解

19、析 ： 利 用 切 割 线 定 理 推 出 PA=2PB， 利 用 相 似 三 角 形 求 出 比 值 即 可 .答 案 ： 由 切 割 线 定 理 可 知 ： PA2=PB PC， 又 BC=3PB，可 得 PA=2PB，在 PAB与 PAC中 ， P= P， PAB= PCA(同 弧 上 的 圆 周 角 与 弦 切 角 相 等 )，可 得 PAB PAC， = = .故 答 案 为 ： . 16.在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 O为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .已 知 直 线 l 的 极坐 标 方 程 为 (sin -3cos )=0

20、， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ( t 为 参 数 )， l 与 C 相交 于 A， B 两 点 ， 则 |AB|=_.解 析 ： 化 极 坐 标 方 程 化 直 角 坐 标 方 程 ， 参 数 方 程 化 普 通 方 程 ， 联 立 直 线 方 程 和 双 曲 线 方 程 后求 得 交 点 坐 标 ， 由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 答 案 .答 案 ： 由 (sin -3cos )=0， 得 y-3x=0， 由 C 的 参 数 方 程 为 ( t 为 参 数 )， 两 式 平 方 作 差 得 ： x2-y2=-4.联 立 ， 得 ， 即 . ， ， |AB|= .三 、 解

21、 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x)=Asin( x+ )( 0， | | )在 某 一 个 周 期 内 的 图 象 时 ， 列 表 并 填 入 了 部 分 数 据 ， 如 表 ：(1)请 将 上 表 数 据 补 充 完 整 ， 填 写 在 相 应 位 置 ， 并 直 接 写 出 函 数 f(x)的 解 析 式 ；(2)将 y=f(x)图 象 上 所 有 点 向 左 平 行 移 动 ( 0)个 单 位 长 度 ， 得 到 y=g(x

22、)的 图 象 .若y=g(x)图 象 的 一 个 对 称 中 心 为 ( ， 0)， 求 的 最 小 值 .解 析 ： (1)根 据 表 中 已 知 数 据 ， 解 得 A=5， =2， =- .从 而 可 补 全 数 据 ， 解 得 函 数 表 达 式 为 f(x)=5sin(2x- ). (2)由 (1)及 函 数 y=Asin( x+ )的 图 象 变 换 规 律 得 g(x)=5sin(2x+2 - ).令2x+2 - =k ， 解 得 x= ， k Z.令 ， 解 得 = ，k Z.由 0可 得 解 .答 案 ： (1)根 据 表 中 已 知 数 据 ， 解 得 A=5， =2， =

23、- .数 据 补 全 如 下 表 ： 且 函 数 表 达 式 为 f(x)=5sin(2x- ).(2)由 (1)知 f(x)=5sin(2x- )， 得 g(x)=5sin(2x+2 - ).因 为 y=sinx的 对 称 中 心 为 (k ， 0)， k Z.令 2x+2 - =k ， 解 得 x= ， k Z.由 于 函 数 y=g(x)的 图 象 关 于 点 ( ， 0)成 中 心 对 称 ， 令 ，解 得 = ， k Z.由 0可 知 ， 当 K=1时 ， 取 得 最 小 值 . 18.设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 前 n项 和 为 Sn， 等 比 数 列 bn的 公

24、 比 为 q， 已 知 b1=a1， b2=2，q=d， S10=100.(1)求 数 列 an， bn的 通 项 公 式(2)当 d 1时 ， 记 cn= ， 求 数 列 cn的 前 n 项 和 Tn.解 析 ： (1)利 用 前 10项 和 与 首 项 、 公 差 的 关 系 ， 联 立 方 程 组 计 算 即 可 ；(2)当 d 1 时 ， 由 (1)知 c n= ， 写 出 Tn、 Tn的 表 达 式 ， 利 用 错 位 相 减 法 及 等 比 数 列 的求 和 公 式 ， 计 算 即 可 .答 案 ： (1)设 a1=a， 由 题 意 可 得 ，解 得 ， 或 ， 当 时 ， an=

25、2n-1， bn=2n-1；当 时 ， an= (2n+79)， bn=9 ；(2)当 d 1时 ， 由 (1)知 an=2n-1， bn=2n-1， c n= ， Tn=1+3 +5 +7 +9 + +(2n-1) ， Tn=1 +3 +5 +7 + +(2n-3) +(2n-1) ， T n=2+ + + + + + -(2n-1) =3- ， Tn=6- .19. 九 章 算 术 中 ， 将 底 面 为 长 方 形 且 有 一 条 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 四 棱 锥 称 之 为 阳 马 ， 将 四个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 之 为 鳖 臑 .如 图 ，

26、 在 阳 马 P-ABCD 中 ， 侧 棱 PD 底 面 ABCD，且 PD=CD， 过 棱 PC 的 中 点 E， 作 EF PB交 PB 于 点 F， 连 接 DE， DF， BD， BE. (1)证 明 ： PB 平 面 DEF.试 判 断 四 面 体 DBEF是 否 为 鳖 臑 ， 若 是 ， 写 出 其 每 个 面 的 直 角 (只 需写 出 结 论 )； 若 不 是 ， 说 明 理 由 ；(2)若 面 DEF与 面 ABCD所 成 二 面 角 的 大 小 为 ， 求 的 值 .解 析 ： (1)直 线 与 直 线 ， 直 线 与 平 面 的 垂 直 的 转 化 证 明 得 出 PB

27、 EF， DE FE=E， 所 以 PB 平面 DEF， 即 可 判 断 DE 平 面 PBC， PB 平 面 DEF， 可 知 四 面 体 BDEF 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ，确 定 直 角 . (2)根 据 公 理 2得 出 DG是 平 面 DEF与 平 面 ACBD的 交 线 .利 用 直 线 平 面 的 垂 直 判 断 出 DG DF，DG DB， 根 据 平 面 角 的 定 义 得 出 BDF是 面 DEF与 面 ABCD所 成 二 面 角 的 平 面 角 ， 转 化 到 直角 三 角 形 求 解 即 可 .答 案 ： (1)因 为 PD 底 面 ABCD， 所

28、以 PD BC，由 底 面 ABCD为 长 方 形 ， 有 BC CD， 而 PD CD=D，所 以 BC 平 面 ABCD.而 DE平 面 PDC， 所 以 BC DE.又 因 为 PD=CD， 点 E是 PC的 中 点 ， 所 以 DE PC.而 PC CB=C， 所 以 DE 平 面 PBC.而 PB平 面 PBC， 所 以 PB DE.又 PB EF， DE FE=E， 所 以 PB 平 面 DEF.由 DE 平 面 PBC， PB 平 面 DEF， 可 知 四 面 体 BDEF的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ，即 四 面 体 BDEF 是 一 个 鳖 臑 ， 其 四 个

29、面 的 直 角 分 别 为 DEB， DEF， EFB， DFB.(2)如 图 1， 在 面 BPC内 ， 延 长 BC与 FE 交 于 点 G， 则 DG是 平 面 DEF与 平 面 ACBD的 交 线 .由 (1)知 ， PB 平 面 DEF， 所 以 PB DG.又 因 为 PD 底 面 ABCD， 所 以 PD DG.而 PD PB=P， 所 以 DG 平 面 PBD.所 以 DG DF， DG DB故 BDF是 面 DEF与 面 ABCD所 成 二 面 角 的 平 面 角 ，设 PD=DC=1， BC= ， 有 BD= ，在 Rt PDB中 ， 由 DF PB， 得 DGF= FDB

30、= ，则 tan =tan DPF= ， 解 得 . 所 以故 当 面 DEF与 面 ABCD所 成 二 面 角 的 大 小 为 时 ， .20.某 厂 用 鲜 牛 奶 在 某 台 设 备 上 生 产 A， B 两 种 奶 制 品 .生 产 1 吨 A 产 品 需 鲜 牛 奶 2 吨 ， 使 用设 备 1小 时 ， 获 利 1000元 ； 生 产 1 吨 B 产 品 需 鲜 牛 奶 1.5 吨 ， 使 用 设 备 1.5小 时 ， 获 利 1200元 .要 求 每 天 B 产 品 的 产 量 不 超 过 A 产 品 产 量 的 2 倍 ， 设 备 每 天 生 产 A， B 两 种 产 品 时

31、间 之 和不 超 过 12 小 时 .假 定 每 天 可 获 取 的 鲜 牛 奶 数 量 W(单 位 ： 吨 )是 一 个 随 机 变 量 ， 其 分 布 列 为 该 厂 每 天 根 据 获 取 的 鲜 牛 奶 数 量 安 排 生 产 ， 使 其 获 利 最 大 ， 因 此 每 天 的 最 大 获 利 Z(单 位 ：元 )是 一 个 随 机 变 量 .(1)求 Z 的 分 布 列 和 均 值 ；(2)若 每 天 可 获 取 的 鲜 牛 奶 数 量 相 互 独 立 ， 求 3 天 中 至 少 有 1 天 的 最 大 获 利 超 过 10000 元 的概 率 .解 析 ： (1)设 每 天 A，

32、B 两 种 产 品 的 生 产 数 量 分 别 为 x， y， 相 应 的 获 利 为 z， 列 出 可 行 域 ， 目标 函 数 ， 通 过 当 W=12时 ， 当 W=15时 ， 当 W=18 时 ， 分 别 求 出 目 标 函 数 的 最 大 获 利 ， 然 后 得到 Z 的 分 布 列 .求 出 期 望 即 可 .(2)判 断 概 率 类 型 是 二 项 分 布 ， 然 后 求 解 所 求 概 率 即 可 .答 案 ： (1)设 每 天 A， B 两 种 产 品 的 生 产 数 量 分 别 为 x， y， 相 应 的 获 利 为 z， 则 有 ， 如 图 1， 目 标 函 数 为 ：

33、z=1000 x+1200y. 当 W=12时 ， 表 示 的 平 面 区 域 如 图 1， 三 个 顶 点 分 别 为 A(0， 0)， B(2.4， 4.8)， C(6， 0).将 z=1000 x+1200y 变 形 为 ，当 x=2.4， y=4.8 时 ， 直 线 l： 在 y轴 上 的 截 距 最 大 ，最 大 获 利 Z=Zmax=2.4 1000+4.8 1200=8160.当 W=15时 ， 表 示 的 平 面 区 域 如 图 2， 三 个 顶 点 分 别 为 A(0， 0)， B(3， 6)， C(7.5， 0). 将 z=1000 x+1200y 变 形 为 ，当 x=3

34、， y=6时 ， 直 线 l： 在 y轴 上 的 截 距 最 大 ，最 大 获 利 Z=Zmax=3 1000+6 1200=10200.当 W=18时 ， 表 示 的 平 面 区 域 如 图 3， 四 个 顶 点 分 别 为 A(0， 0)， B(3， 6)， C(6， 4)， D(9，0). 将 z=1000 x+1200y 变 形 为 ： ，当 x=6， y=4时 ， 直 线 l： y=-56x+z1200在 y 轴 上 的 截 距 最 大 ， 最 大 获 利Z=Zmax=6 1000+4 1200=10800.故 最 大 获 利 Z 的 分 布 列 为 ：因 此 ， E(Z)=8160

35、 0.3+10200 0.5+10800 0.2=9708(2)由 (1)知 ， 一 天 最 大 获 利 超 过 10000元 的 概 率 P 1=P(Z 10000)=0.5+0.2=0.7，由 二 项 分 布 ， 3天 中 至 少 有 1天 最 大 获 利 超 过 10000元 的 概 率 为 ：. 21.一 种 画 椭 圆 的 工 具 如 图 1 所 示 .O是 滑 槽 AB 的 中 点 ， 短 杆 ON可 绕 O 转 动 ， 长 杆 MN通 过 N处 铰 链 与 ON连 接 ， MN上 的 栓 子 D可 沿 滑 槽 AB 滑 动 ， 且 DN=ON=1， MN=3， 当 栓 子 D 在

36、 滑 槽AB内 作 往 复 运 动 时 ， 带 动 N 绕 O 转 动 ， M处 的 笔 尖 画 出 的 椭 圆 记 为 C， 以 O 为 原 点 ， AB 所 在的 直 线 为 x轴 建 立 如 图 2所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 .(1)求 椭 圆 C 的 方 程 ； (2)设 动 直 线 l 与 两 定 直 线 l1： x-2y=0和 l2： x+2y=0分 别 交 于 P， Q 两 点 .若 直 线 l 总 与 椭 圆C有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， 试 探 究 ： OPQ的 面 积 是 否 存 在 最 小 值 ？ 若 存 在 ， 求 出 该 最 小 值 ；若 不 存

37、 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 条 件 求 出 a， b即 可 求 椭 圆 C的 方 程 ；(2)联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 ， 求 出 原 点 到 直 线 的 距 离 ， 结 合 三 角 形 的 面 积 公 式 进 行 求 解 即可 .答 案 ： (1) |OM| |MN|+|NO|=3+1=4， 当 M， N 在 x 轴 上 时 ， 等 号 成 立 ，同 理 |OM| |MN|-|NO|=3-1=2， 当 D， O重 合 ， 即 MN x 轴 时 ， 等 号 成 立 . 椭 圆 C 的 中 心 为 原 点 O， 长 半 轴 长 为 4， 短 半 轴 长

38、 为 2，其 方 程 为 . (2) 当 直 线 l 的 斜 率 k 不 存 在 时 ， 直 线 l 为 ： x=4或 x=-4， 都 有 S OPQ= ， 直 线 l 的 斜 率 k 存 在 时 ， 直 线 l为 ： y=kx+m， ，由 消 去 y， 可 得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0， 直 线 l 总 与 椭 圆 C有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， =64k 2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0， 即 m2=16k2+4， ，由 ， 可 得 ， 同 理 得 ， 原 点 O到 直 线 PQ的 距 离 d= 和 |PQ|= |xP-xQ|，可 得 S OPQ

39、= |PQ|d= |m|xP-xQ|= |m| ，将 代 入 得 S OPQ= ，当 k2 时 ， S OPQ= ，当 0 k2 时 ， S OPQ= ， 0 k 2 时 ， 0 1-4k2 1， ， S OPQ=8(-1+ ) 8， 当 且 仅 当 k=0时 取 等 号 ， 当 k=0时 ， S OPQ的 最 小 值 为 8，综 上 可 知 当 直 线 l与 椭 圆 C在 四 个 顶 点 处 相 切 时 ， 三 角 形 OPQ的 面 积 存 在 最 小 值 为 8.22.已 知 数 列 a n的 各 项 均 为 正 数 ， bn=n(1+ )nan(n N+)， e 为 自 然 对 数 的

40、底 数 .(1)求 函 数 f(x)=1+x-ex的 单 调 区 间 ， 并 比 较 (1+ )n与 e 的 大 小 ；(2)计 算 ， ， ， 由 此 推 测 计 算 的 公 式 ， 并 给 出 证 明 ；(3)令 c n=(a1a2 an) ， 数 列 an， cn的 前 n项 和 分 别 记 为 Sn， Tn， 证 明 ： Tn eSn.解 析 ： (1)求 出 f(x)的 定 义 域 ， 利 用 导 数 求 其 最 大 值 ， 得 到 1+x ex.取 x= 即 可 得 到 答 案 ；(2)由 bn=n(1+ )nan(n N+)， 变 形 求 得 ， ， ， 由 此 推 测 =(n+

41、1)n.然 后 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 . (3)由 cn的 定 义 、 =(n+1)n、 算 术 -几 何 平 均 不 等 式 、 bn的 定 义 及 ，利 用 放 缩 法 证 得 Tn eSn.答 案 ： (1)解 ： f(x)的 定 义 域 为 (- ， + )， f (x)=1-ex.当 f (x) 0， 即 x 0 时 ， f(x)单 调 递 增 ；当 f (x) 0， 即 x 0 时 ， f(x)单 调 递 减 .故 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (- ， 0)， 单 调 递 减 区 间 为 (0， + ).当 x 0 时 ， f(x) f(0)=0， 即 1

42、+x e x.令 ， 得 ， 即 .(2)解 ： ； ；. 由 此 推 测 ： =(n+1)n.下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 .(1)当 n=1 时 ， 左 边 =右 边 =2， 成 立 .(2)假 设 当 n=k 时 ， 成 立 ， 即 .当 n=k+1 时 ， ， 由 归 纳 假 设 可 得. 当 n=k+1时 ， 也 成 立 .根 据 (1)(2)， 可 知 对 一 切 正 整 数 n 都 成 立 .(3)证 明 ： 由 cn的 定 义 ， ， 算 术 -几 何 平 均 不 等 式 ， bn的 定 义 及 得Tn=c1+c2+ +cn= = ea 1+ea2+ +ean=eSn.即 Tn eSn.