2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理及答案解析.docx

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1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 广 东 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 满 分 40 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .）1.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 若 集 合 M=x|（ x+4） （ x+1） =0， N=x|（ x 4） （ x 1） =0， 则M N=（ ）A.1， 4B. 1， 4C.0D.解 析 ： 集 合 M=x|（ x+4） （ x+1） =0= 1， 4，N=x|（ x 4） （ x 1）

2、 =0=1， 4， 则 M N=.答 案 ： D 2.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 若 复 数 z=i（ 3 2i） （ i是 虚 数 单 位 ） ， 则 =（ ）A.2 3iB.2+3iC.3+2iD.3 2i解 析 ： 复 数 z=i（ 3 2i） =2+3i， 则 =2 3i，答 案 ： A3.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 下 列 函 数 中 ， 既 不 是 奇 函 数 ， 也 不 是 偶 函 数 的 是 （ ）A.y=B.y=x+ C.y=2x+D.y=x+ex解 析 ： 对 于 A， y= 是 偶 函 数 ， 所 以 A 不 正 确 ；对 于 B， y=x+ 函 数

3、是 奇 函 数 ， 所 以 B不 正 确 ；对 于 C， y=2 x+ 是 奇 函 数 ， 所 以 C 不 正 确 ；对 于 D， 不 满 足 f（ x） =f（ x） 也 不 满 足 f（ x） = f（ x） ， 所 以 函 数 既 不 是 奇 函 数 ， 也不 是 偶 函 数 ， 所 以 D正 确 .答 案 ： D4.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 袋 中 共 有 15 个 除 了 颜 色 外 完 全 相 同 的 球 ， 其 中 有 10个 白 球 ， 5 个红 球 .从 袋 中 任 取 2 个 球 ， 所 取 的 2 个 球 中 恰 有 1 个 白 球 ， 1 个 红 球 的 概

4、 率 为 （ ） A.B.C.D.1解 析 ： 这 是 一 个 古 典 概 型 ， 从 15 个 球 中 任 取 2 个 球 的 取 法 有 ； 基 本 事 件 总 数 为 105；设 “ 所 取 的 2 个 球 中 恰 有 1 个 白 球 ， 1个 红 球 ” 为 事 件 A；则 A 包 含 的 基 本 事 件 个 数 为 =50； P（ A） = .答 案 ： B5.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 平 行 于 直 线 2x+y+1=0且 与 圆 x2+y2=5相 切 的 直 线 的 方 程 是 （ ）A.2x+y+5=0 或 2x+y 5=0B.2x+y+ =0或 2x+y =0C.

5、2x y+5=0或 2x y 5=0D.2x y+ =0 或 2x y =0解 析 ： 设 所 求 直 线 方 程 为 2x+y+b=0， 则 ， 所 以 = ， 所 以 b= 5，所 以 所 求 直 线 方 程 为 ： 2xy+5=0或 2x+y 5=0.答 案 ： A 6.（ 5 分 ）（ 2015广 东 ） 若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=3x+2y的 最 小 值 为 （ ）A.4B.C.6D.解 析 ： 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 z=3x+2y得 y= x+ ， 平 移 直 线 y= x+ ， 则 由 图 象 可 知 当 直

6、线 y= x+ ， 经 过 点 A时 直 线 y= x+ 的 截 距 最 小 ， 此 时 z最 小 ， 由 ， 解 得 ， 即 A（ 1， ） ，此 时 z=3 1+2 = . 答 案 ： B7.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 已 知 双 曲 线 C： =1 的 离 心 率 e= ， 且 其 右 焦 点 为 F2（ 5， 0） ，则 双 曲 线 C的 方 程 为 （ ）A. =1B. =1 C. =1D. =1解 析 ： 双 曲 线 C： =1 的 离 心 率 e= ， 且 其 右 焦 点 为 F2（ 5， 0） ，可 得 ： ， c=5， a=4， b= =3，所 求 双 曲 线 方

7、程 为 ： =1. 答 案 ： C8.（ 5 分 ） （ 2015广 东 ） 若 空 间 中 n个 不 同 的 点 两 两 距 离 都 相 等 ， 则 正 整 数 n 的 取 值 （ ）A.至 多 等 于 3B.至 多 等 于 4C.等 于 5D.大 于 5解 析 ： 考 虑 平 面 上 ， 3个 点 两 两 距 离 相 等 ， 构 成 等 边 三 角 形 ， 成 立 ；4个 点 两 两 距 离 相 等 ， 由 三 角 形 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 则 不 成 立 ；n大 于 4， 也 不 成 立 ；在 空 间 中 ， 4 个 点 两 两 距 离 相 等 ， 构 成 一 个

8、正 四 面 体 ， 成 立 ；若 n 4， 由 于 任 三 点 不 共 线 ， 当 n=5时 ， 考 虑 四 个 点 构 成 的 正 四 面 体 ，第 五 个 点 ， 与 它 们 距 离 相 等 ， 必 为 正 四 面 体 的 外 接 球 的 球 心 ， 由 三 角 形 的 两 边 之 和 大 于 三 边 ， 故 不 成 立 ；同 理 n 5， 不 成 立 .答 案 ： B二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 7小 题 ， 考 生 作 答 6小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 30分 .） （ 一 ） 必 做 题（ 11 13 题 ）9.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 在 （

9、1） 4的 展 开 式 中 ， x的 系 数 为 6 .解 析 ： 二 项 式 （ 1） 4的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr+1= （ 1） r ，令 2 =1， 求 得 r=2， 二 项 式 （ 1） 4的 展 开 式 中 x 的 系 数 为 =6，答 案 ： 610.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 在 等 差 数 列 a n中 ， 若 a3+a4+a5+a6+a7=25， 则 a2+a8= 10 .解 析 ： 由 a3+a4+a5+a6+a7=（ a3+a7） +（ a4+a6） +a5=5a5=25， 得 到 a5=5，则 a2+a8=2a5=10.答 案 ： 1011

10、.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 设 ABC 的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c.若 a= ， sinB= ，C= ， 则 b= 1 .解 析 ： sinB= ， B= 或 B= 当 B= 时 ， a= ， C= ， A= ，由 正 弦 定 理 可 得 ，则 b=1当 B= 时 ， C= ， 与 三 角 形 的 内 角 和 为 矛 盾答 案 ： 112.（ 5 分 ） （ 2015广 东 ） 某 高 三 毕 业 班 有 40 人 ， 同 学 之 间 两 两 彼 此 给 对 方 仅 写 一 条 毕 业 留言 ， 那 么 全 班 共 写 了 1560 条 毕 业

11、 留 言 .（ 用 数 字 作 答 ）解 析 ： 某 高 三 毕 业 班 有 40人 ， 同 学 之 间 两 两 彼 此 给 对 方 仅 写 一 条 毕 业 留 言 ， 那 么 全 班 共 写 了 =40 39=1560条 .答 案 ： 156013.（ 5分 ） （ 2015广 东 ） 已 知 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 B（ n， p） ， 若 E（ X） =30， D（ X）=20， 则 P= .解 析 ： 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 B（ n， p） ， 若 E（ X） =30， D（ X） =20，可 得 np=30， npq=20， q= ， 则 p

12、= ，答 案 ： 14.（ 5 分 ） （ 2015广 东 ） 已 知 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 2 sin（ ） = ， 点 A 的 极 坐标 为 A（ 2 ， ） ， 则 点 A到 直 线 l的 距 离 为 .解 析 ： 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 2 sin（ ） = ， 对 应 的 直 角 坐 标 方 程 为 ： y x=1，点 A 的 极 坐 标 为 A（ 2 ， ） ， 它 的 直 角 坐 标 为 （ 2， 2） .点 A 到 直 线 l 的 距 离 为 ： = .答 案 ： 15.（ 2015广 东 ） 如 图 ， 已 知 AB 是 圆 O的 直 径 ，

13、AB=4， EC 是 圆 O的 切 线 ， 切 点 为 C， BC=1.过 圆 心 O 作 BC 的 平 行 线 ， 分 别 交 EC 和 AC 于 D 和 点 P， 则 OD= 8 . 解 析 ： 连 接 OC， 则 OC CD， AB 是 圆 O的 直 径 ， BC AC， OP BC， OP AC， OP= BC= ，Rt OCD中 ， 由 射 影 定 理 可 得 OC 2=OPOD， 4= OD， OD=8.答 案 ： 8三 、 解 答 题16.（ 12 分 ） （ 2015广 东 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 向 量 =（ ， ） ， =（ sinx，co

14、sx） ， x （ 0， ） .(1)若 ， 求 tanx的 值 ； (2)若 与 的 夹 角 为 ， 求 x 的 值 .答 案 ： (1)若 ，则 =（ ， ） （ sinx， cosx） = sinx cosx=0，即 sinx= cosxsinx=cosx， 即 tanx=1；(2) | |=1， | |=1， =（ ， ） （ sinx， cosx） = sinx cosx， 若 与 的 夹 角 为 ， 则 =| | |cos = ，即 sinx cosx= ，则 sin（ x ） = ， x （ 0， ） . x （ ， ） .则 x =即 x= + = . 17.（ 12分 ） （

15、 2015广 东 ） 某 工 厂 36 名 工 人 年 龄 数 据 如 图 ：工 人 编 号 年 龄 工 人 编 号 年 龄 工 人 编 号 年 龄 工 人 编 号 年 龄123456789 404440413340454243 101112131415161718 363138394345393836 192021222324252627 274341373442374442 282930313233343536 343943384253374939 (1)用 分 层 抽 样 法 从 36 名 工 人 中 抽 取 容 量 为 9 的 样 本 ， 且 在 第 一 分 段 里 用 随 机 抽 样

16、 法 抽 到 的年 龄 数 据 为 44， 列 出 样 本 的 年 龄 数 据 ；(2)计 算 (1)中 样 本 的 均 值 和 方 差 s2；(3)36名 工 人 中 年 龄 在 s 和 +s之 间 有 多 少 人 ？ 所 占 百 分 比 是 多 少 （ 精 确 到 0.01%） ？解 析 ：(1)利 用 分 层 抽 样 的 定 义 进 行 求 解 即 可 ；(2)根 据 均 值 和 方 差 公 式 即 可 计 算 (1)中 样 本 的 均 值 和 方 差 s2；(3)求 出 样 本 和 方 差 即 可 得 到 结 论 .答 案 ：(1)由 分 层 抽 样 知 ， 36人 分 成 9 组 ，

17、 每 组 4 人 ， 其 中 第 一 组 的 工 人 年 龄 为 44， 所 以 其 编 号 为2， 所 有 样 本 数 据 的 编 号 为 ： 4n 2， （ n=1， 2， ， 9） ，其 数 据 为 ： 44， 40， 36， 43， 36， 37， 44， 43， 37. (2)由 平 均 值 公 式 得 = （ 44+40+36+43+36+37+44+43+37） =40. 由 方 差 公 式 得 s2= （ 44 40） 2+（ 40 40） 2+ +（ 37 40） 2= .(3) s2= . s= （ 3， 4） ， 36 名 工 人 中 年 龄 在 s 和 +s之 间 的

18、人 数 等 于 区 间 37， 43的 人 数 ，即 40， 40， 41， ， 39， 共 23人 . 36名 工 人 中 年 龄 在 s和 +s 之 间 所 占 百 分 比 为 63.89%.18.（ 14分 ） （ 2015广 东 ） 如 图 ， 三 角 形 PDC 所 在 的 平 面 与 长 方 形 ABCD所 在 的 平 面 垂 直 ，PD=PC=4， AB=6， BC=3， 点 E是 CD的 中 点 ， 点 F、 G分 别 在 线 段 AB、 BC上 ， 且 AF=2FB， CG=2GB.(1)证 明 ： PE FG；(2)求 二 面 角 P AD C 的 正 切 值 ； (3)求

19、 直 线 PA 与 直 线 FG 所 成 角 的 余 弦 值 .解 析 ：(1)通 过 POC为 等 腰 三 角 形 可 得 PE CD， 利 用 线 面 垂 直 判 定 定 理 及 性 质 定 理 即 得 结 论 ；(2)通 过 (1)及 面 面 垂 直 定 理 可 得 PG AD， 则 PDC为 二 面 角 P AD C 的 平 面 角 ， 利 用 勾 股定 理 即 得 结 论 ；(3)连 结 AC， 利 用 勾 股 定 理 及 已 知 条 件 可 得 FG AC， 在 PAC 中 ， 利 用 余 弦 定 理 即 得 直 线 PA 与 直 线 FG所 成 角 即 为 直 线 PA 与 直

20、线 FG 所 成 角 PAC的 余 弦 值 .答 案 ：(1)证 明 ： 在 POC中 PO=PC 且 E 为 CD中 点 ， PE CD，又 平 面 PDC 平 面 ABCD， 平 面 PDC 平 面 ABCD=CD， PE 平 面 PCD， PE 平 面 ABCD，又 FG 平 面 ABCD， PE FG；(2)由 (1)知 PE 平 面 ABCD， PE AD，又 CD AD且 PE CD=E， AD 平 面 PDC，又 PD 平 面 PDC， AD PD，又 AD CD， PDC为 二 面 角 P AD C 的 平 面 角 ，在 Rt PDE中 ， 由 勾 股 定 理 可 得 ：PE=

21、 = = ， tan PDC= = ；(3)连 结 AC， 则 AC= =3 ，在 Rt ADP中 ， AP= = =5， AF=2FB， CG=2GB， FG AC， 直 线 PA 与 直 线 FG所 成 角 即 为 直 线 PA与 直 线 FG 所 成 角 PAC，在 PAC中 ， 由 余 弦 定 理 得cos PAC= . 19.（ 14分 ） （ 2015广 东 ） 设 a 1， 函 数 f（ x） =（ 1+x2） ex a.(1)求 f（ x） 的 单 调 区 间 ；(2)证 明 f（ x） 在 （ ， + ） 上 仅 有 一 个 零 点 ；(3)若 曲 线 y=f（ x） 在 点

22、 P处 的 切 线 与 x轴 平 行 ， 且 在 点 M（ m， n） 处 的 切 线 与 直 线 OP 平 行 ，（ O 是 坐 标 原 点 ） ， 证 明 ： m 1.解 析 ：(1)利 用 f（ x） 0， 求 出 函 数 单 调 增 区 间 .(2)证 明 只 有 1 个 零 点 ， 需 要 说 明 两 个 方 面 ： 函 数 单 调 ； 函 数 有 零 点 .(3)利 用 导 数 的 最 值 求 解 方 法 证 明 ， 思 路 较 为 复 杂 .答 案 ：(1)f（ x） =e x（ x2+2x+1） =ex（ x+1） 2 f （ x） 0， f（ x） =（ 1+x2） ex a

23、在 （ ， + ） 上 为 增 函 数 .(2)证 明 ： 由 (1)问 可 知 函 数 在 （ ， + ） 上 为 增 函 数 .又 f（ 0） =1 a， a 1. 1 a 0 5 分 f（ 0） 0.当 x + 时 ， f（ x） 0成 立 . f（ x） 在 （ ， + ） 上 有 且 只 有 一 个 零 点(3)证 明 ： f（ x） =ex（ x+1） 2，设 点 P（ x0， y0） 则 ） f（ x） =ex0（ x0+1） 2， y=f（ x） 在 点 P 处 的 切 线 与 x 轴 平 行 ， f（ x0） =0， 即 ： ex0（ x0+1） 2=0， x0=1将 x 0

24、=1代 入 y=f（ x） 得 y0= . ，令 ； g（ m） =e m （ m+1） g（ m） =em （ m+1） ，则 g（ m） =em 1， 由 g（ m） =0得 m=0.当 m （ 0， + ） 时 ， g（ m） 0当 m （ ， 0） 时 ， g（ m） 0 g（ m） 的 最 小 值 为 g（ 0） =0 g（ m） =em （ m+1） 0 em m+1 e m（ m+1） 2 （ m+1） 3即 ： m20.（ 14分 ） （ 2015广 东 ） 已 知 过 原 点 的 动 直 线 l 与 圆 C 1： x2+y2 6x+5=0 相 交 于 不 同 的 两 点A，

25、B.(1)求 圆 C1的 圆 心 坐 标 ；(2)求 线 段 AB 的 中 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程 ；(3)是 否 存 在 实 数 k， 使 得 直 线 L： y=k（ x 4） 与 曲 线 C只 有 一 个 交 点 ？ 若 存 在 ， 求 出 k的 取 值 范 围 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ：(1)通 过 将 圆 C 1的 一 般 式 方 程 化 为 标 准 方 程 即 得 结 论 ；(2)设 当 直 线 l 的 方 程 为 y=kx， 通 过 联 立 直 线 l 与 圆 C1的 方 程 ， 利 用 根 的 判 别 式 大 于 0、 韦达 定 理 、 中

26、点 坐 标 公 式 及 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 相 互 转 化 ， 计 算 即 得 结 论 ；(3)通 过 联 立 直 线 L 与 圆 C1的 方 程 ， 利 用 根 的 判 别 式 =0 及 轨 迹 C 的 端 点 与 点 （ 4， 0） 决 定的 直 线 斜 率 ， 即 得 结 论 .答 案 ：(1) 圆 C1： x2+y2 6x+5=0，整 理 ， 得 其 标 准 方 程 为 ： （ x 3） 2+y2=4， 圆 C1的 圆 心 坐 标 为 （ 3， 0） ；(2)设 当 直 线 l 的 方 程 为 y=kx、 A（ x1， y1） 、 B（ x2， y2） ， 联 立

27、方 程 组 ，消 去 y可 得 ： （ 1+k2） x2 6x+5=0，由 =36 4（ 1+k2） 5 0， 可 得 k2由 韦 达 定 理 ， 可 得 x1+x2= ， 线 段 AB 的 中 点 M 的 轨 迹 C 的 参 数 方 程 为 ， 其 中 k ， 线 段 AB 的 中 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程 为 ： （ x ） 2+y2= ， 其 中 x 3；(3)结 论 ： 当 k （ ， ） ， 时 ， 直 线 L： y=k（ x 4） 与 曲 线 C 只 有 一个 交 点 .理 由 如 下 ：联 立 方 程 组 ，消 去 y， 可 得 ： （ 1+k 2） x2 （ 3+8k

28、） x+16k2=0，令 =（ 3+8k） 2 4（ 1+k2） 16k2=0， 解 得 k= ，又 轨 迹 C的 端 点 （ ， ） 与 点 （ 4， 0） 决 定 的 直 线 斜 率 为 ， 当 直 线 L： y=k（ x 4） 与 曲 线 C只 有 一 个 交 点 时 ，k 的 取 值 范 围 为 （ ， ） ， .21.（ 14分 ） （ 2015广 东 ） 数 列 a n满 足 ： a1+2a2+ nan=4 ， n N+.(1)求 a3的 值 ；(2)求 数 列 an的 前 n 项 和 Tn；(3)令 b1=a1， bn= +（ 1+ + + + ） an（ n 2） ， 证 明

29、： 数 列 bn的 前 n项 和 Sn满 足 Sn 2+2lnn.解 析 ：(1)利 用 数 列 的 递 推 关 系 即 可 求 a 3的 值 ；(2)利 用 作 差 法 求 出 数 列 an的 通 项 公 式 ， 利 用 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 即 可 求 数 列 an的 前n项 和 Tn；(3)利 用 构 造 法 ， 结 合 裂 项 法 进 行 求 解 即 可 证 明 不 等 式 .答 案 ： (1) a1+2a2+ nan=4 ， n N+. a1=4 3=1， 1+2a2=4 =2，解 得 a2= ， a1+2a2+ +nan=4 ， n N+. a 1+2a2+ +

30、（ n 1） an 1=4 ， n N+.两 式 相 减 得 nan=4 （ 4 ） = ， n 2，则 an= ， n 2，当 n=1时 ， a1=1也 满 足 ， a n= ， n 1，则 a3= ；(2) an= ， n 1， 数 列 a n是 公 比 q= ，则 数 列 an的 前 n 项 和 Tn= =2 21 n.(3)bn= +（ 1+ + + + ） an， b 1=a1， b2= +（ 1+ ） a2， b3= （ 1+ + ） a3， Sn=b1+b2+ +bn=（ 1+ + + + ） （ a1+a2+ +an） =（ 1+ + + + ） Tn=（ 1+ + + + ） （ 2 21 n） 2 （ 1+ + + + ） ，设 f（ x） =lnx+ 1， x 1，则 f （ x） = .即 f（ x） 在 （ 1， + ） 上 为 增 函 数 ， f(1)=0， 即 f（ x） 0， k 2， 且 k N时 ， ， f（ ） =ln + 1 0， 即 ln ， ln ， ， ，即 =lnn， 2 （ 1+ + + + ） 2+lnn，即 S n 2（ 1+lnn） =2+2lnn.