2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学文及答案解析.docx

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1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 广 东 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 10 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .）1.若 集 合 1,1 ， 2,1,0 ， 则 （ ）A. 0, 1B. 0C.1 D. 1,1答 案 ： C解 析 ： 1 ， 故 选 C.考 点 ： 集 合 的 交 集 运 算 .2.已 知 i 是 虚 数 单 位 ， 则 复 数 21 i （ ）A. 2B.2C. 2i D.2i答 案 ：

2、D考 点 ： 复 数 的 乘 法 运 算 .3.下 列 函 数 中 ， 既 不 是 奇 函 数 ， 也 不 是 偶 函 数 的 是 （ ）A. 2 siny x x B. 2 cosy x x C. 12 2x xy D. sin2y x x 【 答 案 】 A【 解 析 】 试 题 分 析 ： 函 数 2 sinf x x x 的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 因 为 1 1 sin1f ， 1 sin1f x ， 所 以 函 数 2 sinf x x x 既 不 是 奇 函 数 ， 也 不 是 偶 函 数 ； 函 数 2 cosf x x x 的 定 义 域 为 R

3、， 关 于 原 点 对 称 ， 因 为 2 2cos cosf x x x x x f x ， 所 以 函 数 2 cosf x x x 是 偶 函 数 ；函 数 12 2x xf x 的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 因 为 1 12 22 2x xx xf x f x ， 所 以 函 数 12 2x xf x 是 偶 函 数 ； 函 数 sin2f x x x 的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 因 为 sin 2 sin2f x x x x x f x ， 所 以 函 数 sin2f x x x 是 奇 函 数 .故 选 A.考 点 ： 函 数

4、的 奇 偶 性 .4. 若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 2 204x yx yx ， 则 2 3z x y 的 最 大 值 为 （ ）A.10 B.8 C.5 D.2【 答 案 】 C 考 点 ： 线 性 规 划 .5. 设 C 的 内 角 ， ， C的 对 边 分 别 为 a， b， c.若 2a ， 2 3c ， 3cos 2 ，且 b c ， 则 b（ ）A. 3 B. 2 C. 2 2D.3【 答 案 】 B【 解 析 】 试 题 分 析 ： 由 余 弦 定 理 得 ： 2 2 2 2 cosa b c bc ， 所 以 22 2 32 2 3 2 2 3 2b b ，

5、即 2 6 8 0b b ， 解 得 ： 2b 或 4b ， 因 为 b c ，所 以 2b ， 故 选 B.考 点 ： 余 弦 定 理 . 6. 若 直 线 1l 和 2l 是 异 面 直 线 ， 1l 在 平 面 内 ， 2l 在 平 面 内 ， l 是 平 面 与 平 面 的 交 线 ，则 下 列 命 题 正 确 的 是 （ ）A.l 至 少 与 1l ， 2l 中 的 一 条 相 交 B.l 与 1l ， 2l 都 相 交C.l 至 多 与 1l ， 2l 中 的 一 条 相 交 D.l 与 1l ， 2l 都 不 相 交【 答 案 】 A 考 点 ： 空 间 点 、 线 、 面 的

6、位 置 关 系 .7. 已 知 5件 产 品 中 有 2件 次 品 ， 其 余 为 合 格 品 .现 从 这 5件 产 品 中 任 取 2件 ， 恰 有 一 件 次 品的 概 率 为 （ ）A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【 答 案 】 B【 解 析 】5件 产 品 中 有 2件 次 品 ， 记 为 a， b， 有 3件 合 格 品 ， 记 为 c， d ， e， 从 这 5件 产 品 中 任取 2件 ， 有 10种 ， 分 别 是 ,a b ， ,a c ， ,a d ， ,a e ， ,b c ， ,b d ， ,b e ， ,c d ， ,c e ， ,d e ， 恰 有 一

7、件 次 品 ， 有 6种 ， 分 别 是 ,a c ， ,a d ， ,a e ， ,b c ， ,b d ， ,b e ， 设 事 件 “ 恰 有 一 件 次 品 ” ， 则 6 0.610 ， 故 选 B.考 点 ： 古 典 概 型 .8.已 知 椭 圆 2 22 125x ym （ 0m ） 的 左 焦 点 为 1F 4,0 ， 则 m（ ）A.9 B.4 C.3 D.2【 答 案 】 C【 解 析 】试 题 分 析 ： 由 题 意 得 ： 2 225 4 9m ， 因 为 0m ， 所 以 3m ， 故 选 C. 考 点 ： 椭 圆 的 简 单 几 何 性 质 .9. 在 平 面 直

8、角 坐 标 系 x y 中 ， 已 知 四 边 形 CD 是 平 行 四 边 形 ， 1, 2 ， D 2,1 ， 则 D C （ ）A.2 B.3 C.4 D.5【 答 案 】 D【 解 析 】试 题 分 析 ： 因 为 四 边 形 CD 是 平 行 四 边 形 ， 所 以 C D 1, 2 2,1 3, 1 ， 所 以 D C 2 3 1 1 5 ， 故 选 D.考 点 ： 1、 平 面 向 量 的 加 法 运 算 ； 2、 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 .10. 若 集 合 , , , 0 4,0 4,0 4 , , ,p q r s p s q s r s p q r

9、 s 且 ， F , , , 0 4,0 4 , , ,t u v w t u v w t u v w 且 ， 用 card 表 示 集 合 中 的元 素 个 数 ， 则 card card F （ ）A. 50 B. 100 C. 150D.200【 答 案 】 D 考 点 ： 推 理 与 证 明 .二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 考 生 作 答 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 20 分 .）（ 一 ） 必 做 题 （ 1113 题 ）11. 不 等 式 2 3 4 0 x x 的 解 集 为 .（ 用 区 间 表 示 ）【 答 案 】 4,1 【 解

10、 析 】试 题 分 析 ： 由 2 3 4 0 x x 得 ： 4 1x ， 所 以 不 等 式 2 3 4 0 x x 的 解 集 为 4,1 ， 所 以 答 案 应 填 ： 4,1 .考 点 ： 一 元 二 次 不 等 式 .12. 已 知 样 本 数 据 1x ， 2x ， ， nx 的 均 值 5x ， 则 样 本 数 据 12 1x ， 22 1x ， ， 2 1nx 的 均 值 为 .【 答 案 】 11 考 点 ： 均 值 的 性 质 .13. 若 三 个 正 数 a， b， c成 等 比 数 列 ， 其 中 5 2 6a ， 5 2 6c ， 则 b .【 答 案 】 1【 解

11、 析 】试 题 分 析 ： 因 为 三 个 正 数 a， b， c成 等 比 数 列 ， 所 以 2 5 2 6 5 2 6 1b ac ，因 为 0b ， 所 以 1b ， 所 以 答 案 应 填 ： 1.考 点 ： 等 比 中 项 .（ 二 ） 选 做 题 （ 14、 15 题 ， 考 生 只 能 从 中 选 作 一 题 ） 14. （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 x y 中 ， 以 原 点 为 极 点 ， x轴 的 正半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .曲 线 1C 的 极 坐 标 方 程 为 cos sin 2 ， 曲 线

12、2C 的 参 数 方程 为 22 2x ty t （ t 为 参 数 ） ， 则 1C 与 2C 交 点 的 直 角 坐 标 为 .【 答 案 】 2, 4【 解 析 】试 题 分 析 ： 曲 线 1C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2x y ， 曲 线 2C 的 普 通 方 程 为 2 8y x ， 由 2 28x yy x 得 ： 24xy ， 所 以 1C 与 2C 交 点 的 直 角 坐 标 为 2, 4 ， 所 以 答 案 应 填 ： 2, 4 .考 点 ： 1、 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ； 2、 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ； 3、 两 曲

13、 线 的 交 点 .15. （ 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ） 如 图 1， 为 圆 的 直 径 ， 为 的 延 长 线 上 一 点 ， 过 作 圆 的 切 线 ， 切 点 为 C， 过 作 直 线 C 的 垂 线 ， 垂 足 为 D .若 4 ， C 2 3 ，则 D . 【 答 案 】 3考 点 ： 1、 切 线 的 性 质 ； 2、 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 ； 3、 切 割 线 定 理 .三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 80 分 .解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 .） 16、 （ 本

14、小 题 满 分 12 分 ） 已 知 tan 2 . 1 求 tan 4 的 值 ； 2 求 2 sin2sin sin cos cos2 1 的 值 .【 答 案 】 （ 1） 3 ； （ 2） 1. 考 点 ： 1、 两 角 和 的 正 切 公 式 ； 2、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ； 3、 二 倍 角 的 正 、 余 弦 公 式 ； 4、 同角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 .17、 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 某 城 市 100户 居 民 的 月 平 均 用 电 量 （ 单 位 ： 度 ） ， 以 160,180 ， 180,200 ， 200,220 ，

15、220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 分 组 的 频 率分 布 直 方 图 如 图 2. 1 求 直 方 图 中 x的 值 ； 2 求 月 平 均 用 电 量 的 众 数 和 中 位 数 ； 3 在 月 平 均 用 电 量 为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的 四 组 用 户 中 ，用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 11户 居 民 ， 则 月 平 均 用 电 量 在 220,240 的 用 户 中 应 抽 取 多 少 户 ？【 答 案 】 （ 1） 0.0075； （ 2） 230 ， 224 ； （ 3

16、） 5.【 解 析 】 试 题 解 析 ： （ 1） 由 0.002 0.0095 0.011 0.0125 0.005 0.0025 20 1x 得 ：0.0075x ， 所 以 直 方 图 中 x的 值 是 0.0075 考 点 ： 1、 频 率 分 布 直 方 图 ； 2、 样 本 的 数 字 特 征 （ 众 数 、 中 位 数 ） ； 3、 分 层 抽 样 .18、（ 本 小 题 满 分 14 分 ） 如 图 3， 三 角 形 DC 所 在 的 平 面 与 长 方 形 CD 所 在 的 平 面 垂 直 ，D C 4 ， 6 ， C 3 . 1 证 明 ： C/ 平 面 D ； 2 证

17、明 ： C D ； 3 求 点 C到 平 面 D 的 距 离 . 【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 证 明 见 解 析 ； （ 3） 3 72 .【 解 析 】试 题 解 析 ：（ 1） 因 为 四 边 形 CD 是 长 方 形 ， 所 以 C/ D ， 因 为 C 平 面 D ， D 平 面 D ， 所 以 C/ 平 面 D （ 2） 因 为 四 边 形 CD 是 长 方 形 ， 所 以 C CD ， 因 为 平 面 DC 平 面 CD ， 平 面 DC 平 面 CD CD ， C 平 面 CD ， 所 以 C 平 面 DC ， 因 为 D 平 面DC ， 所 以

18、C D （ 3） 取 CD的 中 点 ， 连 结 和 ， 因 为 D C ， 所 以 CD ， 在 Rt D 中 ，2 2D D 2 24 3 7 ， 因 为 平 面 DC 平 面 CD ， 平 面 DC 平 面 CD CD ， 平 面 DC ， 所 以 平 面 CD ， 由 （ 2） 知 ： C 平 面 DC ， 由 （ 1） 知 ： C/ D ，所 以 D 平 面 DC ， 因 为 D 平 面 DC ， 所 以 D D ， 设 点 C到 平 面 D 的 距离 为 h ， 因 为 C D CDV V 三 棱 锥 三 棱 锥 ， 所 以 D CD1 13 3S h S ， 即 CDD 1 3

19、6 7 3 72 1 23 42Sh S ， 所 以 点 C到 平 面 D 的 距 离 是 3 72考 点 ： 1、 线 面 平 行 ； 2、 线 线 垂 直 ； 3、 点 到 平 面 的 距 离 .19、（ 本 小 题 满 分 14 分 ） 设 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS ， n .已 知 1 1a ， 2 32a ， 3 54a ，且 当 2n 时 ， 2 1 14 5 8n n n nS S S S . 1 求 4a 的 值 ； 2 证 明 ： 1 12n na a 为 等 比 数 列 ； 3 求 数 列 na 的 通 项 公 式 . 【 答 案 】 （ 1） 78 ； （ 2） 证 明 见 解 析 ； （ 3） 112 1 2 nna n . 考 点 ： 1、 等 比 数 列 的 定 义 ； 2、 等 比 数 列 的 通 项 公 式 ； 3、 等 差 数 列 的 通 项 公 式 .