2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学理及答案解析.docx
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1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 福 建 卷 ) 数 学 理一 、 选 择 题 : 本 题 共 10小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一项 符 合 题 目 的 要 求 的 .1.(5分 )已 知 复 数 z的 共 轭 复 数 (i 为 虚 数 单 位 ), 则 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 : 因 为 复 数 z 的 共 轭 复 数 , 所 以 z=1-2i, 对 应 的 点 的
2、坐 标 为 (1, -2).z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 四 象 限 .答 案 : D.2.(5分 )已 知 集 合 A=1, a, B=1, 2, 3, 则 “ a=3” 是 “ AB“ 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 : 当 a=3时 , A=1, 3所 以 AB, 即 a=3能 推 出 AB;反 之 当 AB 时 , 所 以 a=3 或 a=2, 所 以 AB 成 立 , 推 不 出 a=3故 “ a=3” 是 “ AB” 的 充 分 不 必 要
3、 条 件答 案 : A. 3.(5分 )双 曲 线 的 顶 点 到 渐 近 线 的 距 离 等 于 ( )A.B.C.D.解 析 : 由 对 称 性 可 取 双 曲 线 的 顶 点 (2, 0), 渐 近 线 ,则 顶 点 到 渐 近 线 的 距 离 d= . 答 案 : C.4.(5分 )某 校 从 高 一 年 级 学 生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 , 将 他 们 的 模 块 测 试 成 绩 分 成 6组 : 40,50), 50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100加 以 统 计 , 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方
4、图 .已 知 高 一 年 级 共 有 学 生 600 名 , 据 此 估 计 , 该 模 块 测 试 成 绩 不 少 于 60分 的 学生 人 数 为 ( )A.588B.480C.450 D.120解 析 : 根 据 频 率 分 布 直 方 图 ,成 绩 不 低 于 60(分 )的 频 率 为 1-10 (0.005+0.015)=0.8.由 于 该 校 高 一 年 级 共 有 学 生 600人 , 利 用 样 本 估 计 总 体 的 思 想 , 可 估 计 该 校 高 一 年 级 模 块 测试 成 绩 不 低 于 60(分 )的 人 数 为 600 0.8=480人 .答 案 : B.5.
5、(5分 )满 足 a, b -1, 0, 1, 2, 且 关 于 x的 方 程 ax 2+2x+b=0有 实 数 解 的 有 序 数 对 的 个数 为 ( )A.14B.13C.12D.10解 析 : (1)当 a=0时 , 方 程 为 2x+b=0, 此 时 一 定 有 解 ;此 时 b=-1, 0, 1, 2; 即 (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2); 四 种 .(2)当 a 0时 , 方 程 为 一 元 二 次 方 程 , =b 2-4ac=4-4ab 0, ab 1.所 以 a=-1, 1, 2 此 时 a, b 的 对 数 为 (-1, 0), (-1,
6、2), (-1, -1), (-1, 1), (1,-1), (1, 0), (1, 1); (2, -1), (2, 0), 共 9种 , 关 于 x 的 方 程 ax2+2x+b=0有 实 数 解 的有 序 数 对 的 个 数 为 13种 ,答 案 : B.6.(5分 )阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 入 的 k=10, 则 该 算 法 的 功 能 是 ( ) A.计 算 数 列 2n-1的 前 10项 和B.计 算 数 列 2n-1的 前 9项 和C.计 算 数 列 2n-1的 前 10项 和D.计 算 数 列 2n-1的 前 9项 和解 析 : 框 图 首 先
7、给 累 加 变 量 S和 循 环 变 量 i赋 值 ,S=0, i=1;判 断 i 10不 成 立 , 执 行 S=1+2 0=1, i=1+1=2;判 断 i 10不 成 立 , 执 行 S=1+2 1=1+2, i=2+1=3;判 断 i 10不 成 立 , 执 行 S=1+2 (1+2)=1+2+2 2, i=3+1=4;判 断 i 10不 成 立 , 执 行 S=1+2+22+ +29, i=10+1=11;判 断 i 10成 立 , 输 出 S=1+2+22+ +29.算 法 结 束 .故 则 该 算 法 的 功 能 是 计 算 数 列 2n-1的 前 10项 和 .答 案 : A.
8、7.(5分 )在 四 边 形 ABCD中 , =(1, 2), =(-4, 2), 则 该 四 边 形 的 面 积 为 ( )A.B. C.5D.10解 析 : 因 为 在 四 边 形 ABCD中 , , , =0,所 以 四 边 形 ABCD的 对 角 线 互 相 垂 直 , 又 , , 该 四 边 形 的 面 积 : = =5.答 案 : C.8.(5分 )设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R, x0(x0 0)是 f(x)的 极 大 值 点 , 以 下 结 论 一 定 正 确 的 是( )A.x R, f(x) f(x0)B.-x 0是 f(-x)的 极 小 值 点C.-x0是 -
9、f(x)的 极 小 值 点D.-x0是 -f(-x)的 极 小 值 点解 析 : 对 于 A 项 , x0(x0 0)是 f(x)的 极 大 值 点 , 不 一 定 是 最 大 值 点 , 因 此 不 能 满 足 在 整 个定 义 域 上 值 最 大 ;对 于 B项 , f(-x)是 把 f(x)的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 因 此 , -x0是 f(-x)的 极 大 值 点 ;对 于 C项 , -f(x)是 把 f(x)的 图 象 关 于 x 轴 对 称 , 因 此 , x0是 -f(x)的 极 小 值 点 ;对 于 D项 , -f(-x)是 把 f(x)的 图 象 分 别 关 于
10、 x 轴 、 y轴 做 对 称 , 因 此 -x 0是 -f(-x)的 极 小 值点 .答 案 : D.9.(5分 )已 知 等 比 数 列 an的 公 比 为 q, 记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+ +am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1 am(n-1)+2 am(n-1)+m, (m, n N*), 则 以 下 结 论 一 定 正 确 的 是 ( )A.数 列 bn为 等 差 数 列 , 公 差 为 qmB.数 列 b n为 等 比 数 列 , 公 比 为 q2mC.数 列 cn为 等 比 数 列 , 公 比 为D.数 列 cn为 等 比 数 列 , 公 比 为解
11、 析 : , 当 q=1时 , bn=mam(n-1), bn+1=mam(n-1)+m=mam(n-1)=bn,此 时 是 常 数 列 , 选 项 A 不 正 确 , 选 项 B正 确 ;当 q 1 时 , ,= , 此 时 , 选 项 B 不 正 确 ,又 bn+1-bn= , 不 是 常 数 , 答 案 : 项 A不 正 确 , 等 比 数 列 an的 公 比 为 q, , = , = = = , 故 C 正 确 D 不 正 确 .综 上 可 知 : 只 有 C 正 确 .答 案 : C.10.(5分 )设 S, T 是 R 的 两 个 非 空 子 集 , 如 果 存 在 一 个 从 S
12、 到 T 的 函 数 y=f(x)满 足 :(i)T=f(x)|x S; (ii)对 任 意 x 1, x2 S, 当 x1 x2时 , 恒 有 f(x1) f(x2), 那 么 称 这 两 个集 合 “ 保 序 同 构 ” , 以 下 集 合 对 不 是 “ 保 序 同 构 ” 的 是 ( )A.A=N*, B=NB.A=x|-1 x 3, B=x|x=-8 或 0 x 10C.A=x|0 x 1, B=RD.A=Z, B=Q解 析 : 对 于 A=N*, B=N, 存 在 函 数 f(x)=x-1, x N*, 满 足 : (i)B=f(x)|x A; (ii)对 任 意x 1, x2 A
13、, 当 x1 x2时 , 恒 有 f(x1) f(x2), 所 以 选 项 A 是 “ 保 序 同 构 ” ;对 于 A=x|-1 x 3, B=x|x=-8或 0 x 10, 存 在 函 数 ,满 足 :(i)B=f(x)|x A; (ii)对 任 意 x1, x2 A, 当 x1 x2时 , 恒 有 f(x1) f(x2), 所 以 选 项 B 是“ 保 序 同 构 ” ;对 于 A=x|0 x 1, B=R, 存 在 函 数 , 0 x 1, 满 足 : (i)B=f(x)|x A;(ii)对 任 意x 1, x2 A, 当 x1 x2时 , 恒 有 f(x1) f(x2), 所 以 选
14、 项 C 是 “ 保 序 同 构 ” ;前 三 个 选 项 中 的 集 合 对 是 “ 保 序 同 构 ” , 由 排 除 法 可 知 , 不 是 “ 保 序 同 构 ” 的 只 有 D.答 案 : D.二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 4 分 , 共 20分 .11.(4分 )利 用 计 算 机 产 生 0 1 之 间 的 均 匀 随 机 数 a, 则 事 件 “ 3a-1 0” 发 生 的 概 率为 .解 析 : 3a-1 0即 a , 则 事 件 “ 3a-1 0” 发 生 的 概 率 为 P= = .答 案 : . 12.(4分 )已 知 某 一 多
15、面 体 内 接 于 球 构 成 一 个 简 单 组 合 体 , 如 果 该 组 合 体 的 正 视 图 、 俯 视 图 、均 如 图 所 示 , 且 图 中 的 四 边 形 是 边 长 为 2 的 正 方 形 , 则 该 球 的 表 面 积 是 . 解 析 : 由 三 视 图 可 知 , 组 合 体 是 球 内 接 正 方 体 , 正 方 体 的 棱 长 为 2,球 的 直 径 就 是 正 方 体 的 体 对 角 线 的 长 , 所 以 2r= , r= , 所 以 球 的 表 面 积 为 :4 r2=12 .答 案 : 12 .13.(4分 )如 图 , 在 ABC中 , 已 知 点 D 在
16、 BC边 上 , AD AC, sin BAC= , AB=3 , AD=3,则 BD 的 长 为 .解 析 : AD AC, DAC=90 , BAC= BAD+ DAC= BAD+90 , sin BAC=sin( BAD+90 )=cos BAD= ,在 ABD中 , AB=3 , AD=3, 根 据 余 弦 定 理 得 : BD2=AB2+AD2-2AB AD cos BAD=18+9-24=3,则 BD= .答 案 :14.(4分 )椭 圆 : =1(a b 0)的 左 右 焦 点 分 别 为 F 1, F2, 焦 距 为 2c, 若 直 线y= 与 椭 圆 的 一 个 交 点 M满
17、 足 MF1F2=2 MF2F1, 则 该 椭 圆 的 离 心 率 等 于 .解 析 : 如 图 所 示 , 由 直 线 可 知 倾 斜 角 与 斜 率 有 关 系 =tan , =60 .又 椭 圆 的 一 个 交 点 满 足 MF1F2=2 MF2F1, , . 设 |MF2|=m, |MF1|=n, 则 , 解 得 . 该 椭 圆 的 离 心 率e= .答 案 : .15.(4分 )当 x R, |x| 1 时 , 有 如 下 表 达 式 : 1+x+x2+ +xn+ =两 边 同 时 积 分 得 : dx+ xdx+ x 2dx+ + xndx+ = dx从 而 得 到 如 下 等 式
18、 : 1 + ( )2+ ( )3+ + ( )n+1+ =ln2请 根 据 以 上 材 料 所 蕴 含 的 数 学 思 想 方 法 , 计 算 : + ( )2+ ( )3+ + ( )n+1= .解 析 : 二 项 式 定 理 得 C n0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn=(1+x)n,对 Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn=(1+x)n两 边 同 时 积 分 得 :从 而 得 到 如 下 等 式 : =答 案 : . 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 共 80分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.(
19、13分 )某 联 欢 晚 会 举 行 抽 奖 活 动 , 举 办 方 设 置 了 甲 、 乙 两 种 抽 奖 方 案 , 方 案 甲 的 中 奖 率为 , 中 奖 可 以 获 得 2分 ; 方 案 乙 的 中 奖 率 为 , 中 奖 可 以 获 得 3分 ; 未 中 奖 则 不 得 分 .每人 有 且 只 有 一 次 抽 奖 机 会 , 每 次 抽 奖 中 奖 与 否 互 不 影 响 , 晚 会 结 束 后 凭 分 数 兑 换 奖 品 .(1)若 小 明 选 择 方 案 甲 抽 奖 , 小 红 选 择 方 案 乙 抽 奖 , 记 他 们 的 累 计 得 分 为 x, 求 x 3 的 概 率 ;
20、(2)若 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 方 案 甲 或 都 选 择 方 案 乙 进 行 抽 奖 , 问 : 他 们 选 择 何 种 方 案 抽 奖 ,累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大 ?解 析 : (1)记 “ 他 们 的 累 计 得 分 X 3” 的 事 事 件 为 A, 则 事 件 A 的 对 立 事 件 是 “ X=5” , 由 题意 知 , 小 明 中 奖 的 概 率 为 , 小 红 中 奖 的 概 率 为 , 且 两 人 抽 奖 中 奖 与 否 互 不 影 响 , 先 根 据 相 互 独 立 事 件 的 乘 法 公 式 求 出 对 立 事 件 的 概 率 , 再
21、利 用 对 立 事 件 的 概 率 公 式 即 可 求 出 他 们 的累 计 得 分 x 3 的 概 率 .(2)设 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 甲 方 案 抽 奖 中 奖 次 数 为 X1, 甲 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 方 案 乙 抽奖 中 奖 次 数 为 X2, 则 这 两 人 都 选 择 甲 方 案 抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(2X1), 都 选 择 乙 方 案抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(3X2).根 据 题 意 知 X1 B(2, ), X2 B(2, ), 利 用 贝 努 利 概率 的 期 望 公 式 计 算
22、 即 可 得 出 E(2X1) E(3X2), 从 而 得 出 答 案 .答 案 : (1)由 题 意 知 , 小 明 中 奖 的 概 率 为 , 小 红 中 奖 的 概 率 为 , 且 两 人 抽 奖 中 奖 与 否 互不 影 响 ,记 “ 他 们 的 累 计 得 分 X 3” 的 事 件 为 A, 则 事 件 A 的 对 立 事 件 是 “ X=5” ,因 为 P(X=5)= , P(A)=1-P(X=5)= ; 即 他 们 的 累 计 得 分 x 3 的 概 率 为 . (2)设 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 甲 方 案 抽 奖 中 奖 次 数 为 X1,小 明 、 小 红 两
23、 人 都 选 择 方 案 乙 抽 奖 中 奖 次 数 为 X2, 则 这 两 人 都 选 择 甲 方 案 抽 奖 累 计 得 分 的 数学 期 望 为 E(2X1), 都 选 择 乙 方 案 抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(3X2),由 已 知 可 得 , X1 B(2, ), X2 B(2, ), E(X1)=2 = , E(X2)=2 = ,从 而 E(2X1)=2E(X1)= , E(3X2)=3E(X2)= ,由 于 E(2X 1) E(3X2), 他 们 选 择 甲 方 案 抽 奖 , 累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大 .17.(13分 )已 知 函 数
24、 f(x)=x-alnx(a R)(1)当 a=2 时 , 求 曲 线 y=f(x)在 点 A(1, f(1)处 的 切 线 方 程 ;(2)求 函 数 f(x)的 极 值 .解 析 : (1)把 a=2代 入 原 函 数 解 析 式 中 , 求 出 函 数 在 x=1 时 的 导 数 值 , 直 接 利 用 直 线 方 程 的点 斜 式 写 直 线 方 程 ;(2)求 出 函 数 的 导 函 数 , 由 导 函 数 可 知 , 当 a 0 时 , f (x) 0, 函 数 在 定 义 域 (0, + )上单 调 递 增 , 函 数 无 极 值 , 当 a 0 时 , 求 出 导 函 数 的
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- 2013 普通高等学校 招生 全国 统一 考试 福建 学理 答案 解析
