1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 福 建 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 符 合 题 目 的 要 求 的 .1.(5分 )已 知 复 数 z的 共 轭 复 数 (i 为 虚 数 单 位 )， 则 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 因 为 复 数 z 的 共 轭 复 数 ， 所 以 z=1-2i， 对 应 的 点 的
2、坐 标 为 (1， -2).z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 四 象 限 .答 案 ： D.2.(5分 )已 知 集 合 A=1， a， B=1， 2， 3， 则 “ a=3” 是 “ AB“ 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 当 a=3时 ， A=1， 3所 以 AB， 即 a=3能 推 出 AB；反 之 当 AB 时 ， 所 以 a=3 或 a=2， 所 以 AB 成 立 ， 推 不 出 a=3故 “ a=3” 是 “ AB” 的 充 分 不 必 要
3、 条 件答 案 ： A. 3.(5分 )双 曲 线 的 顶 点 到 渐 近 线 的 距 离 等 于 ( )A.B.C.D.解 析 ： 由 对 称 性 可 取 双 曲 线 的 顶 点 (2， 0)， 渐 近 线 ，则 顶 点 到 渐 近 线 的 距 离 d= . 答 案 ： C.4.(5分 )某 校 从 高 一 年 级 学 生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 ， 将 他 们 的 模 块 测 试 成 绩 分 成 6组 ： 40，50)， 50， 60)， 60， 70)， 70， 80)， 80， 90)， 90， 100加 以 统 计 ， 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方
4、图 .已 知 高 一 年 级 共 有 学 生 600 名 ， 据 此 估 计 ， 该 模 块 测 试 成 绩 不 少 于 60分 的 学生 人 数 为 ( )A.588B.480C.450 D.120解 析 ： 根 据 频 率 分 布 直 方 图 ，成 绩 不 低 于 60(分 )的 频 率 为 1-10 (0.005+0.015)=0.8.由 于 该 校 高 一 年 级 共 有 学 生 600人 ， 利 用 样 本 估 计 总 体 的 思 想 ， 可 估 计 该 校 高 一 年 级 模 块 测试 成 绩 不 低 于 60(分 )的 人 数 为 600 0.8=480人 .答 案 ： B.5.
5、(5分 )满 足 a， b -1， 0， 1， 2， 且 关 于 x的 方 程 ax 2+2x+b=0有 实 数 解 的 有 序 数 对 的 个数 为 ( )A.14B.13C.12D.10解 析 ： (1)当 a=0时 ， 方 程 为 2x+b=0， 此 时 一 定 有 解 ；此 时 b=-1， 0， 1， 2； 即 (0， -1)， (0， 0)， (0， 1)， (0， 2)； 四 种 .(2)当 a 0时 ， 方 程 为 一 元 二 次 方 程 ， =b 2-4ac=4-4ab 0， ab 1.所 以 a=-1， 1， 2 此 时 a， b 的 对 数 为 (-1， 0)， (-1，
6、2)， (-1， -1)， (-1， 1)， (1，-1)， (1， 0)， (1， 1)； (2， -1)， (2， 0)， 共 9种 ， 关 于 x 的 方 程 ax2+2x+b=0有 实 数 解 的有 序 数 对 的 个 数 为 13种 ，答 案 ： B.6.(5分 )阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 k=10， 则 该 算 法 的 功 能 是 ( ) A.计 算 数 列 2n-1的 前 10项 和B.计 算 数 列 2n-1的 前 9项 和C.计 算 数 列 2n-1的 前 10项 和D.计 算 数 列 2n-1的 前 9项 和解 析 ： 框 图 首 先
7、给 累 加 变 量 S和 循 环 变 量 i赋 值 ，S=0， i=1；判 断 i 10不 成 立 ， 执 行 S=1+2 0=1， i=1+1=2；判 断 i 10不 成 立 ， 执 行 S=1+2 1=1+2， i=2+1=3；判 断 i 10不 成 立 ， 执 行 S=1+2 (1+2)=1+2+2 2， i=3+1=4；判 断 i 10不 成 立 ， 执 行 S=1+2+22+ +29， i=10+1=11；判 断 i 10成 立 ， 输 出 S=1+2+22+ +29.算 法 结 束 .故 则 该 算 法 的 功 能 是 计 算 数 列 2n-1的 前 10项 和 .答 案 ： A.
8、7.(5分 )在 四 边 形 ABCD中 ， =(1， 2)， =(-4， 2)， 则 该 四 边 形 的 面 积 为 ( )A.B. C.5D.10解 析 ： 因 为 在 四 边 形 ABCD中 ， ， ， =0，所 以 四 边 形 ABCD的 对 角 线 互 相 垂 直 ， 又 ， ， 该 四 边 形 的 面 积 ： = =5.答 案 ： C.8.(5分 )设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R， x0(x0 0)是 f(x)的 极 大 值 点 ， 以 下 结 论 一 定 正 确 的 是( )A.x R， f(x) f(x0)B.-x 0是 f(-x)的 极 小 值 点C.-x0是 -
9、f(x)的 极 小 值 点D.-x0是 -f(-x)的 极 小 值 点解 析 ： 对 于 A 项 ， x0(x0 0)是 f(x)的 极 大 值 点 ， 不 一 定 是 最 大 值 点 ， 因 此 不 能 满 足 在 整 个定 义 域 上 值 最 大 ；对 于 B项 ， f(-x)是 把 f(x)的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 因 此 ， -x0是 f(-x)的 极 大 值 点 ；对 于 C项 ， -f(x)是 把 f(x)的 图 象 关 于 x 轴 对 称 ， 因 此 ， x0是 -f(x)的 极 小 值 点 ；对 于 D项 ， -f(-x)是 把 f(x)的 图 象 分 别 关 于
10、 x 轴 、 y轴 做 对 称 ， 因 此 -x 0是 -f(-x)的 极 小 值点 .答 案 ： D.9.(5分 )已 知 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， 记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+ +am(n-1)+m，cn=am(n-1)+1 am(n-1)+2 am(n-1)+m， (m， n N*)， 则 以 下 结 论 一 定 正 确 的 是 ( )A.数 列 bn为 等 差 数 列 ， 公 差 为 qmB.数 列 b n为 等 比 数 列 ， 公 比 为 q2mC.数 列 cn为 等 比 数 列 ， 公 比 为D.数 列 cn为 等 比 数 列 ， 公 比 为解
11、 析 ： ， 当 q=1时 ， bn=mam(n-1)， bn+1=mam(n-1)+m=mam(n-1)=bn，此 时 是 常 数 列 ， 选 项 A 不 正 确 ， 选 项 B正 确 ；当 q 1 时 ， ，= ， 此 时 ， 选 项 B 不 正 确 ，又 bn+1-bn= ， 不 是 常 数 ， 答 案 ： 项 A不 正 确 ， 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， ， = ， = = = ， 故 C 正 确 D 不 正 确 .综 上 可 知 ： 只 有 C 正 确 .答 案 ： C.10.(5分 )设 S， T 是 R 的 两 个 非 空 子 集 ， 如 果 存 在 一 个 从 S
12、 到 T 的 函 数 y=f(x)满 足 ：(i)T=f(x)|x S； (ii)对 任 意 x 1， x2 S， 当 x1 x2时 ， 恒 有 f(x1) f(x2)， 那 么 称 这 两 个集 合 “ 保 序 同 构 ” ， 以 下 集 合 对 不 是 “ 保 序 同 构 ” 的 是 ( )A.A=N*， B=NB.A=x|-1 x 3， B=x|x=-8 或 0 x 10C.A=x|0 x 1， B=RD.A=Z， B=Q解 析 ： 对 于 A=N*， B=N， 存 在 函 数 f(x)=x-1， x N*， 满 足 ： (i)B=f(x)|x A； (ii)对 任 意x 1， x2 A
13、， 当 x1 x2时 ， 恒 有 f(x1) f(x2)， 所 以 选 项 A 是 “ 保 序 同 构 ” ；对 于 A=x|-1 x 3， B=x|x=-8或 0 x 10， 存 在 函 数 ，满 足 ：(i)B=f(x)|x A； (ii)对 任 意 x1， x2 A， 当 x1 x2时 ， 恒 有 f(x1) f(x2)， 所 以 选 项 B 是“ 保 序 同 构 ” ；对 于 A=x|0 x 1， B=R， 存 在 函 数 ， 0 x 1， 满 足 ： (i)B=f(x)|x A；(ii)对 任 意x 1， x2 A， 当 x1 x2时 ， 恒 有 f(x1) f(x2)， 所 以 选
14、 项 C 是 “ 保 序 同 构 ” ；前 三 个 选 项 中 的 集 合 对 是 “ 保 序 同 构 ” ， 由 排 除 法 可 知 ， 不 是 “ 保 序 同 构 ” 的 只 有 D.答 案 ： D.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20分 .11.(4分 )利 用 计 算 机 产 生 0 1 之 间 的 均 匀 随 机 数 a， 则 事 件 “ 3a-1 0” 发 生 的 概 率为 .解 析 ： 3a-1 0即 a ， 则 事 件 “ 3a-1 0” 发 生 的 概 率 为 P= = .答 案 ： . 12.(4分 )已 知 某 一 多
15、面 体 内 接 于 球 构 成 一 个 简 单 组 合 体 ， 如 果 该 组 合 体 的 正 视 图 、 俯 视 图 、均 如 图 所 示 ， 且 图 中 的 四 边 形 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 则 该 球 的 表 面 积 是 . 解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ， 组 合 体 是 球 内 接 正 方 体 ， 正 方 体 的 棱 长 为 2，球 的 直 径 就 是 正 方 体 的 体 对 角 线 的 长 ， 所 以 2r= ， r= ， 所 以 球 的 表 面 积 为 ：4 r2=12 .答 案 ： 12 .13.(4分 )如 图 ， 在 ABC中 ， 已 知 点 D 在
16、 BC边 上 ， AD AC， sin BAC= ， AB=3 ， AD=3，则 BD 的 长 为 .解 析 ： AD AC， DAC=90 ， BAC= BAD+ DAC= BAD+90 ， sin BAC=sin( BAD+90 )=cos BAD= ，在 ABD中 ， AB=3 ， AD=3， 根 据 余 弦 定 理 得 ： BD2=AB2+AD2-2AB AD cos BAD=18+9-24=3，则 BD= .答 案 ：14.(4分 )椭 圆 ： =1(a b 0)的 左 右 焦 点 分 别 为 F 1， F2， 焦 距 为 2c， 若 直 线y= 与 椭 圆 的 一 个 交 点 M满
17、 足 MF1F2=2 MF2F1， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 等 于 .解 析 ： 如 图 所 示 ， 由 直 线 可 知 倾 斜 角 与 斜 率 有 关 系 =tan ， =60 .又 椭 圆 的 一 个 交 点 满 足 MF1F2=2 MF2F1， ， . 设 |MF2|=m， |MF1|=n， 则 ， 解 得 . 该 椭 圆 的 离 心 率e= .答 案 ： .15.(4分 )当 x R， |x| 1 时 ， 有 如 下 表 达 式 ： 1+x+x2+ +xn+ =两 边 同 时 积 分 得 ： dx+ xdx+ x 2dx+ + xndx+ = dx从 而 得 到 如 下 等 式
18、 ： 1 + ( )2+ ( )3+ + ( )n+1+ =ln2请 根 据 以 上 材 料 所 蕴 含 的 数 学 思 想 方 法 ， 计 算 ： + ( )2+ ( )3+ + ( )n+1= .解 析 ： 二 项 式 定 理 得 C n0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn=(1+x)n，对 Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn=(1+x)n两 边 同 时 积 分 得 ：从 而 得 到 如 下 等 式 ： =答 案 ： . 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 80分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.(
19、13分 )某 联 欢 晚 会 举 行 抽 奖 活 动 ， 举 办 方 设 置 了 甲 、 乙 两 种 抽 奖 方 案 ， 方 案 甲 的 中 奖 率为 ， 中 奖 可 以 获 得 2分 ； 方 案 乙 的 中 奖 率 为 ， 中 奖 可 以 获 得 3分 ； 未 中 奖 则 不 得 分 .每人 有 且 只 有 一 次 抽 奖 机 会 ， 每 次 抽 奖 中 奖 与 否 互 不 影 响 ， 晚 会 结 束 后 凭 分 数 兑 换 奖 品 .(1)若 小 明 选 择 方 案 甲 抽 奖 ， 小 红 选 择 方 案 乙 抽 奖 ， 记 他 们 的 累 计 得 分 为 x， 求 x 3 的 概 率 ；
20、(2)若 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 方 案 甲 或 都 选 择 方 案 乙 进 行 抽 奖 ， 问 ： 他 们 选 择 何 种 方 案 抽 奖 ，累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大 ？解 析 ： (1)记 “ 他 们 的 累 计 得 分 X 3” 的 事 事 件 为 A， 则 事 件 A 的 对 立 事 件 是 “ X=5” ， 由 题意 知 ， 小 明 中 奖 的 概 率 为 ， 小 红 中 奖 的 概 率 为 ， 且 两 人 抽 奖 中 奖 与 否 互 不 影 响 ， 先 根 据 相 互 独 立 事 件 的 乘 法 公 式 求 出 对 立 事 件 的 概 率 ， 再
21、利 用 对 立 事 件 的 概 率 公 式 即 可 求 出 他 们 的累 计 得 分 x 3 的 概 率 .(2)设 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 甲 方 案 抽 奖 中 奖 次 数 为 X1， 甲 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 方 案 乙 抽奖 中 奖 次 数 为 X2， 则 这 两 人 都 选 择 甲 方 案 抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(2X1)， 都 选 择 乙 方 案抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(3X2).根 据 题 意 知 X1 B(2， )， X2 B(2， )， 利 用 贝 努 利 概率 的 期 望 公 式 计 算
22、 即 可 得 出 E(2X1) E(3X2)， 从 而 得 出 答 案 .答 案 ： (1)由 题 意 知 ， 小 明 中 奖 的 概 率 为 ， 小 红 中 奖 的 概 率 为 ， 且 两 人 抽 奖 中 奖 与 否 互不 影 响 ，记 “ 他 们 的 累 计 得 分 X 3” 的 事 件 为 A， 则 事 件 A 的 对 立 事 件 是 “ X=5” ，因 为 P(X=5)= ， P(A)=1-P(X=5)= ； 即 他 们 的 累 计 得 分 x 3 的 概 率 为 . (2)设 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 甲 方 案 抽 奖 中 奖 次 数 为 X1，小 明 、 小 红 两
23、 人 都 选 择 方 案 乙 抽 奖 中 奖 次 数 为 X2， 则 这 两 人 都 选 择 甲 方 案 抽 奖 累 计 得 分 的 数学 期 望 为 E(2X1)， 都 选 择 乙 方 案 抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(3X2)，由 已 知 可 得 ， X1 B(2， )， X2 B(2， )， E(X1)=2 = ， E(X2)=2 = ，从 而 E(2X1)=2E(X1)= ， E(3X2)=3E(X2)= ，由 于 E(2X 1) E(3X2)， 他 们 选 择 甲 方 案 抽 奖 ， 累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大 .17.(13分 )已 知 函 数
24、 f(x)=x-alnx(a R)(1)当 a=2 时 ， 求 曲 线 y=f(x)在 点 A(1， f(1)处 的 切 线 方 程 ；(2)求 函 数 f(x)的 极 值 .解 析 ： (1)把 a=2代 入 原 函 数 解 析 式 中 ， 求 出 函 数 在 x=1 时 的 导 数 值 ， 直 接 利 用 直 线 方 程 的点 斜 式 写 直 线 方 程 ；(2)求 出 函 数 的 导 函 数 ， 由 导 函 数 可 知 ， 当 a 0 时 ， f (x) 0， 函 数 在 定 义 域 (0， + )上单 调 递 增 ， 函 数 无 极 值 ， 当 a 0 时 ， 求 出 导 函 数 的
25、零 点 ， 由 导 函 数 的 零 点 对 定 义 域 分 段 ，利 用 原 函 数 的 单 调 性 得 到 函 数 的 极 值 .答 案 ： 函 数 f(x)的 定 义 域 为 (0， + )， . (1)当 a=2 时 ， f(x)=x-2lnx， ， 因 而 f(1)=1， f (1)=-1，所 以 曲 线 y=f(x)在 点 A(1， f(1)处 的 切 线 方 程 为 y-1=-(x-1)， 即 x+y-2=0(2)由 ， x 0 知 ： 当 a 0 时 ， f (x) 0， 函 数 f(x)为 (0， + )上 的 增 函 数 ， 函 数 f(x)无 极 值 ； 当 a 0 时 ，
26、 由 f (x)=0， 解 得 x=a.又 当 x (0， a)时 ， f (x) 0， 当 x (a， + )时 ， f (x) 0.从 而 函 数 f(x)在 x=a处 取 得 极 小 值 ， 且 极 小 值 为 f(a)=a-alna， 无 极 大 值 .综 上 ， 当 a 0 时 ， 函 数 f(x)无 极 值 ；当 a 0 时 ， 函 数 f(x)在 x=a处 取 得 极 小 值 a-alna， 无 极 大 值 . 18.(13分 )如 图 ， 在 正 方 形 OABC中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 点 A的 坐 标 为 (10， 0)， 点 C 的 坐 标 为 (0，10)，
27、分 别 将 线 段 OA 和 AB十 等 分 ， 分 点 分 别 记 为 A1， A2， ， A9和 B1， B2， ， B9， 连 接 OBi，过 Ai作 x 轴 的 垂 线 与 OBi， 交 于 点 . (1)求 证 ： 点 都 在 同 一 条 抛 物 线 上 ， 并 求 抛 物 线 E 的 方 程 ；(2)过 点 C 作 直 线 l 与 抛 物 线 E 交 于 不 同 的 两 点 M， N， 若 OCM与 OCN的 面 积 之 比 为 4： 1，求 直 线 l 的 方 程 .解 析 ： (I)由 题 意 ， 求 出 过 且 与 x 轴 垂 直 的 直 线 方 程 为 x=i， Bi的 坐
28、 标 为 (10， i)， 即 可 得 到 直 线 OB i的 方 程 为 .联 立 方 程 ， 即 可 得 到 Pi满足 的 方 程 ；(II)由 题 意 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+10， 与 抛 物 线 的 方 程 联 立 得 到 一 元 二 次 方 程 ， 利 用 根与 系 数 的 关 系 ， 及 利 用 面 积 公 式 S OCM=S OCN， 可 得 |x1|=4|x2|.即 x1=-4x2.联 立 即 可 得 到 k， 进而 得 到 直 线 方 程 .答 案 ： (I)由 题 意 ， 过 且 与 x 轴 垂 直 的 直 线 方 程 为 x=i， B i的 坐标
29、为 (10， i)， 直 线 OBi的 方 程 为 .设 Pi(x， y)， 由 ， 解 得 ， 即 x2=10y. 点 都 在 同 一 条 抛 物 线 上 ， 抛 物 线 E 的 方 程 为 x 2=10y.(II)由 题 意 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+10， 联 立 消 去 y得 到 x2-10kx-100=0，此 时 0， 直 线 与 抛 物 线 恒 有 两 个 不 同 的 交 点 ，设 为 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则 x1+x2=10k， x1x2=-100， S OCM=4S OCN， |x1|=4|x2|. x1=-4x2.联 立 ， 解 得
30、 . 直 线 l 的 方 程 为 .即 为 3x+2y-20=0 或 3x-2y+20=0.19.(13分 )如 图 ， 在 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ， 侧 棱 AA1 底 面 ABCD， AB DC， AA1=1， AB=3k，AD=4k， BC=5k， DC=6k， (k 0) (1)求 证 ： CD 平 面 ADD1A1(2)若 直 线 AA1与 平 面 AB1C所 成 角 的 正 弦 值 为 ， 求 k的 值(3)现 将 与 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1形 状 和 大 小 完 全 相 同 的 两 个 四 棱 柱 拼 成 一 个 新 的 四 棱 柱 ， 规定
31、： 若 拼 成 的 新 四 棱 柱 形 状 和 大 小 完 全 相 同 ， 则 视 为 同 一 种 拼 接 方 案 ， 问 共 有 几 种 不 同 的 拼接 方 案 ？ 在 这 些 拼 接 成 的 新 四 棱 柱 中 ， 记 其 中 最 小 的 表 面 积 为 f(k)， 写 出 f(k)的 解 析 式 .(直接 写 出 答 案 ， 不 必 说 明 理 由 )解 析 ： (1)取 DC得 中 点 E， 连 接 BE， 可 证 明 四 边 形 ABED 是 平 行 四 边 形 ， 再 利 用 勾 股 定 理 的逆 定 理 可 得 BE CD， 即 CD AD， 又 侧 棱 AA 1 底 面 AB
32、CD， 可 得 AA1 DC， 利 用 线 面 垂 直 的 判定 定 理 即 可 证 明 .(2)通 过 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 平 面 的 法 向 量 与 斜 线 的 方 向 向 量 的 夹 角即 可 得 出 ； (3)由 题 意 可 与 左 右 平 面 ADD1A1， BCC1B1， 上 或 下 面 ABCD， A1B1C1D1拼 接 得 到 方 案新 四 棱 柱 共 有 此 4 种 不 同 方 案 .写 出 每 一 方 案 下 的 表 面 积 ， 通 过 比 较 即 可 得 出 f(k).答 案 ： (1)取 DC的 中 点 E， 连 接 BE， AB ED， A
33、B=ED=3k， 四 边 形 ABED 是 平 行 四 边 形 ， BE AD， 且 BE=AD=4k， BE2+EC2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2， BEC=90 ， BE CD，又 BE AD， CD AD. 侧 棱 AA1 底 面 ABCD， AA1 CD， AA 1 AD=A， CD 平 面 ADD1A1.(2)以 D 为 坐 标 原 点 ， 、 、 的 方 向 为 x， y， z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，则 A(4k， 0， 0)， C(0， 6k， 0)， B1(4k， 3k， 1)， A1(4k， 0， 1). ， ， .设 平
34、面 AB 1C的 一 个 法 向 量 为 =(x， y， z)， 则 ， 取 y=2， 则 z=-6k，x=3. . 设 AA1与 平 面 AB1C 所 成 角 为 ， 则= = = ， 解 得 k=1， 故 所 求 k=1.(3)由 题 意 可 与 左 右 平 面 ADD1A1， BCC1B1， 上 或 下 面 ABCD， A1B1C1D1拼 接 得 到 方 案 新 四 棱 柱 共有 此 4种 不 同 方 案 .写 出 每 一 方 案 下 的 表 面 积 ， 通 过 比 较 即 可 得 出 f(k)= .20.(14分 )已 知 函 数 f(x)=sin(wx+ )(w 0， 0 )的 周
35、期 为 ， 图 象 的 一 个 对 称 中 心 为 ( ， 0)， 将 函 数 f(x)图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍 (纵 坐 标 不 变 )， 再 将 得到 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g(x)的 图 象 .(1)求 函 数 f(x)与 g(x)的 解 析 式(2)是 否 存 在 x0 ( )， 使 得 f(x0)， g(x0)， f(x0)g(x0)按 照 某 种 顺 序 成 等 差 数 列 ？ 若存 在 ， 请 确 定 x 0的 个 数 ， 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ；(3)求 实 数 a 与 正
36、整 数 n， 使 得 F(x)=f(x)+ag(x)在 (0， n )内 恰 有 2013个 零 点 .解 析 ： (1)依 题 意 ， 可 求 得 =2， = ， 利 用 三 角 函 数 的 图 象 变 换 可 求 得 g(x)=sinx；(2)依 题 意 ， 当 x ( ， )时 ， sinx ， 0 cosx sinx cos2x sinxcos2x，问 题 转 化 为 方 程 2cos2x=sinx+sinxcos2x 在 ( ， )内 是 否 有 解 .通 过 G (x) 0， 可 知G(x)在 ( ， )内 单 调 递 增 ， 而 G( ) 0， G( ) 0， 从 而 可 得 答
37、 案 ；(3)依 题 意 ， F(x)=asinx+cos2x， 令 F(x)=asinx+cos2x=0， 方 程 F(x)=0等 价 于 关 于 x 的 方程 a=- ， x k (k Z).问 题 转 化 为 研 究 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)， x (0， ) ( ， 2 )的 交 点 情 况 .通 过 其 导 数 ， 列 表 分 析 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (1) 函 数 f(x)=sin( x+ )( 0， 0 )的 周 期 为 ， = =2，又 曲 线 y=f(x)的 一 个 对 称 中 心 为 ， (0， )，故 f( )=sin(2 + )=0， 得
38、 = ， 所 以 f(x)=cos2x.将 函 数 f(x)图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 (纵 坐 标 不 变 )后 可 得 y=cosx的 图 象 ，再 将 y=cosx的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g(x)=cos(x- )的 图 象 ， g(x)=sinx. (2)当 x ( ， )时 ， sinx ， 0 cosx ， sinx cos2x sinxcos2x，问 题 转 化 为 方 程 2cos2x=sinx+sinxcos2x 在 ( ， )内 是 否 有 解 .设 G(x)=sinx+sinxcos2
39、x-cos2x， x ( ， )，则 G (x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-sinx)， x ( ， )， G (x) 0， G(x)在 ( ， )内 单 调 递 增 ，又 G( )=- 0， G( )= 0， 且 G(x)的 图 象 连 续 不 断 ， 故 可 知 函 数 G(x)在 ( ， )内 存 在 唯 一 零 点 x 0， 即 存 在 唯 一 零 点 x0 ( ， )满 足 题 意 .(3)依 题 意 ， F(x)=asinx+cos2x， 令 F(x)=asinx+cos2x=0，当 sinx=0， 即 x=k (k Z)时 ， cos2x=1， 从 而 x=
40、k (k Z)不 是 方 程 F(x)=0的 解 ， 方 程 F(x)=0 等 价 于 关 于 x 的 方 程 a=- ， x k (k Z).现 研 究 x (0， ) ( ， 2 )时 方 程 a=- 的 解 的 情 况 .令 h(x)=- ， x (0， ) ( ， 2 )，则 问 题 转 化 为 研 究 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)， x (0， ) ( ， 2 )的 交 点 情 况 .h (x)= ， 令 h (x)=0， 得 x= 或 x= ， 当 x 变 换 时 ， h (x)， h(x)的 变 化 情 况 如 下 表 ：当 x 0 且 x 趋 近 于 0 时 ， h(
41、x)趋 向 于 - ，当 x 且 x 趋 近 于 时 ， h(x)趋 向 于 - ，当 x 且 x 趋 近 于 时 ， h(x)趋 向 于 + ，当 x 2 且 x 趋 近 于 2 时 ， h(x)趋 向 于 + ，故 当 a 1 时 ， 直 线 y=a 与 曲 线 y=h(x)在 (0， )内 无 交 点 ， 在 ( ， 2 )内 有 2个 交 点 ；当 a -1 时 ， 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)在 (0， )内 有 2 个 交 点 ， 在 ( ， 2 )内 无 交 点 ；当 -1 a 1时 ， 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)在 (0， )内 有 2个 交 点 ， 在
42、( ， 2 )内 有 2 个 交 点 ；由 函 数 h(x)的 周 期 性 ， 可 知 当 a 1时 ， 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)在 (0， n )内 总 有 偶 数 个交 点 ， 从 而 不 存 在 正 整 数 n， 使 得 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)在 (0， n )内 恰 有 2013个 零 点 ；又 当 a=1或 a=-1时 ， 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)在 (0， ) ( ， 2 )内 有 3个 交 点 ， 由 周 期性 ， 2013=3 671， 依 题 意 得 n=671 2=1342. 综 上 ， 当 a=1， n=1342， 或 a=-1
43、， n=1342时 ， 函 数 F(x)=f(x)+ag(x)在 (0， n )内 恰 有 2013个 零 点 .本 题 设 有 (21)、 (22)、 (23)三 个 选 考 题 ， 每 题 7 分 ， 请 考 生 任 选 2 题 作 答 ， 满 分 14分 .如果 多 做 ， 则 按 所 做 的 前 两 题 计 分 .21.(7分 )选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换已 知 直 线 l： ax+y=1在 矩 阵 对 应 的 变 换 作 用 下 变 为 直 线 l ： x+by=1(I)求 实 数 a， b的 值(II)若 点 P(x 0， y0)在 直 线 l 上 ， 且 ， 求 点 P
44、的 坐 标 .解 析 ： (I)任 取 直 线 l： ax+y=1上 一 点 M(x， y)， 经 矩 阵 A 变 换 后 点 为 M (x ， y )， 利 用矩 阵 乘 法 得 出 坐 标 之 间 的 关 系 ， 求 出 直 线 l 的 方 程 ， 从 而 建 立 关 于 a， b 的 方 程 ， 即 可 求得 实 数 a， b 的 值 ；(II)由 得 ， 从 而 解 得 y0的 值 ， 又 点 P(x0， y0)在 直 线 l上 ， 即可 求 出 点 P 的 坐 标 .答 案 ： (I)任 取 直 线 l： ax+y=1上 一 点 M(x， y)，经 矩 阵 A 变 换 后 点 为 M
45、 (x ， y )， 则 有 = ， 可 得 ， 又 点 M (x ， y )在 直 线 l 上 ， x+(b+2)y=1，可 得 ， 解 得(II)由 得 ， 从 而 y0=0，又 点 P(x 0， y0)在 直 线 l 上 ， x0=1， 点 P的 坐 标 为 (1， 0).22.(7分 )选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .已 知 点 A的 极坐 标 为 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ， 且 点 A在 直 线 l上 .( )求 a
46、的 值 及 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 ；( )圆 C 的 参 数 方 程 为 ， 试 判 断 直 线 l与 圆 C 的 位 置 关 系 .解 析 ： ( )根 据 点 A在 直 线 l上 ， 将 点 的 极 坐 标 代 入 直 线 的 极 坐 标 方 程 即 可 得 出 a 值 ， 再 利用 极 坐 标 转 化 成 直 角 坐 标 的 转 换 公 式 求 出 直 线 l的 直 角 坐 标 方 程 ；( )欲 判 断 直 线 l 和 圆 C 的 位 置 关 系 ， 只 需 求 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 半 径 进 行 比 较 即 可 ， 根 据 点 到 线 的 距 离 公
47、 式 求 出 圆 心 到 直 线 的 距 离 然 后 与 半 径 比 较 . 答 案 ： ( )点 A 在 直 线 l 上 ， 得 ， a= ，故 直 线 l 的 方 程 可 化 为 ： sin + cos =2， 得 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 x+y-2=0；( )消 去 参 数 ， 得 圆 C的 普 通 方 程 为 (x-1)2+y2=1圆 心 C到 直 线 l的 距 离 d= 1， 所 以 直 线 l和 C 相 交 .23.设 不 等 式 |x-2| a(a N *)的 解 集 为 A， 且( )求 a 的 值( )求 函 数 f(x)=|x+a|+|x-2|的 最 小
48、 值 .解 析 ： ( )利 用 ， 推 出 关 于 a 的 绝 对 值 不 等 式 ， 结 合 a为 整 数 直 接 求 a 的 值 .( )利 用 a 的 值 化 简 函 数 f(x)， 利 用 绝 对 值 三 角 不 等 式 求 出 |x+1|+|x-2|的 最 小 值 .答 案 ： ( )因 为 ， 所 以 且 ， 解 得 ，因 为 a N *， 所 以 a 的 值 为 1.( )由 ( )可 知 函 数 f(x)=|x+1|+|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3，当 且 仅 当 (x+1)(x-2) 0， 即 -1 x 2时 取 等 号 ， 所 以 函 数 f(x)的 最 小 值 为 3.
