2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理及答案解析.docx

《2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理及答案解析.docx（16页珍藏版）》请在麦多课文档分享上搜索。

1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 北 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )在 复 平 面 内 ， 复 数 (i 为 虚 数 单 位 )的 共 轭 复 数 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： z= = = =1+i， =1-i. 对 应 的 点 (1， -1)位 于 第 四 象 限 ，答 案

2、 ： D.2.(5分 )已 知 全 集 为 R， 集 合 ， 则A CRB=( )A.x|x 0B.x|2 x 4C.x|0 x 2或 x 4D.x|0 x 2或 x 4解 析 ： 1= ， x 0， A=x|x 0；又 x 2-6x+8 0(x-2)(x-4) 0， 2 x 4. B=x|2 x 4， CRB=x|x 2 或 x 4， A CRB=x|0 x 2或 x 4，答 案 ： C.3.(5分 )在 一 次 跳 伞 训 练 中 ， 甲 、 乙 两 位 学 员 各 跳 一 次 ， 设 命 题 p是 “ 甲 降 落 在 指 定 范 围 ” ，q是 “ 乙 降 落 在 指 定 范 围 ” ，

3、 则 命 题 “ 至 少 有 一 位 学 员 没 有 降 落 在 指 定 范 围 ” 可 表 示 为( )A.( p) ( q)B.p ( q)C.( p) ( q)D.p q解 析 ： 命 题 p 是 “ 甲 降 落 在 指 定 范 围 ” ， 则 p是 “ 甲 没 降 落 在 指 定 范 围 ” ， q是 “ 乙 降 落 在 指 定 范 围 ” ， 则 q 是 “ 乙 没 降 落 在 指 定 范 围 ” ，命 题 “ 至 少 有 一 位 学 员 没 有 降 落 在 指 定 范 围 ” 包 括 “ 甲 降 落 在 指 定 范 围 ， 乙 没 降 落 在 指 定范 围 ” 或 “ 甲 没 降

4、落 在 指 定 范 围 ， 乙 降 落 在 指 定 范 围 ” 或 “ 甲 没 降 落 在 指 定 范 围 ， 乙 没 降 落在 指 定 范 围 ” 三 种 情 况 .所 以 命 题 “ 至 少 有 一 位 学 员 没 有 降 落 在 指 定 范 围 ” 可 表 示 为 (p)V( q).答 案 ： A. 4.(5分 )将 函 数 的 图 象 向 左 平 移 m(m 0)个 单 位 长 度 后 ， 所 得到 的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 则 m的 最 小 值 是 ( )A.B.C.D.解 析 ： y= cosx+sinx=2( cosx+ sinx)=2sin(x+ )， 图 象 向

5、左 平 移 m(m 0)个 单 位 长 度 得 到 y=2sin(x+m)+ =2sin(x+m+ )， 所 得 的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， m+ =k + (k Z)， 则 m 的 最 小 值 为 .答 案 ： B5.(5分 )已 知 0 ， 则 双 曲 线 C 1： - =1与 C2：- =1的 ( )A.实 轴 长 相 等B.虚 轴 长 相 等C.焦 距 相 等D.离 心 率 相 等解 析 ： 双 曲 线 的 实 轴 长 为 2cos ， 虚 轴 长 2sin ， 焦 距 2， 离 心 率 ，双 曲 线 的 实 轴 长 为 2sin ， 虚 轴 长 2sin tan ， 焦距

6、2tan ， 离 心 率 ， 故 它 们 的 离 心 率 相 同 .答 案 ： D.6.(5分 )已 知 点 A(-1， 1)， B(1， 2)， C(-2， -1)， D(3， 4)， 则 向 量 在 方 向 上 的 投 影为 ( ) A.B.C.D.解 析 ： ， ， 则 向 量 方 向 上 的 投 影 为 ： cos = = = = ， 答 案 ： A.7.(5分 )一 辆 汽 车 在 高 速 公 路 上 行 驶 ， 由 于 遇 到 紧 急 情 况 而 刹 车 ， 以 速 度的 单 位 ： s， v 的 单 位 ： m/s)行 驶 至 停 止 ， 在 此 期 间 汽 车 继 续 行 驶的

7、 距 离 (单 位 ： m)是 ( )A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2解 析 ： 令 v(t)=7-3t+ ， 化 为 3t 2-4t-32=0， 又 t 0， 解 得 t=4. 由 刹 车 行 驶 至 停 止 ， 在 此 期 间 汽 车 继 续 行 驶 的 距 离s= = =4+25ln5.答 案 ： C.8.(5分 )一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 该 几 何 体 从 上 到 下 由 四 个 简 单 几 何 体 组 成 ， 其 体 积分 别 记 为 V 1， V2， V3， V4， 上 面 两 个 简 单 几 何 体 均 为 旋

8、 转 体 ， 下 面 两 个 简 单 几 何 体 均 为 多 面体 ， 则 有 ( ) A.V1 V2 V4 V3B.V1 V3 V2 V4C.V2 V1 V3 V4D.V2 V3 V1 V4解 析 ： 由 题 意 以 及 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 从 上 到 下 由 ： 圆 台 、 圆 柱 、 正 四 棱 柱 、 正 四 棱 台 组成 ，体 积 分 别 记 为 V 1= = .V2=12 2=2 ，V3=2 2 2=8V4= = ； ， V2 V1 V3 V4答 案 ： C.9.(5分 )如 图 ， 将 一 个 各 面 都 涂 了 油 漆 的 正 方 体 ， 切 割 为 125

9、个 同 样 大 小 的 小 正 方 体 ， 经 过搅 拌 后 ， 从 中 随 机 取 一 个 小 正 方 体 ， 记 它 的 涂 漆 面 数 为 X， 则 X 的 均 值 E(X)=( ) A.B.C. D.解 析 ： 由 题 意 可 知 ： X 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3. 8 个 顶 点 处 的 8 个 小 正 方 体 涂 有 3 面 ， P(X=3)= ； 每 一 条 棱 上 除 了 两 个 顶 点 处 的 小 正 方 体 ， 还 剩 下 3个 ， 一 共 有 3 12=36 个 小 正 方 体 涂 有2面 ， P(X=2)= ； 每 个 表 面 去 掉 四 条 棱

10、 上 的 16个 小 正 方 形 ， 还 剩 下 9 个 小 正 方 形 ， 因 此 一 共 有 9 6=54 个小 正 方 体 涂 有 一 面 ， P(X=1)= . 由 以 上 可 知 ： 还 剩 下 125-(8+36+54)=27 个 内 部 的 小 正 方 体 的 6 个 面 都 没 有 涂 油 漆 ， P(X=0)= . 故 X 的 分 布 列 为因 此 E(X)= = .答 案 ： B.10.(5分 )已 知 a为 常 数 ， 函 数 f(x)=x(lnx-ax)有 两 个 极 值 点 x 1， x2(x1 x2)( )A.B.C.D.解 析 ： =lnx+1-2ax， (x 0

11、)令 f (x)=0， 由 题 意 可 得 lnx=2ax-1 有 两 个 解 x 1， x2函 数 g(x)=lnx+1-2ax有 且 只 有 两 个零 点 g (x)在 (0， + )上 的 唯 一 的 极 值 不 等 于 0. 当 a 0 时 ， g (x) 0， f (x)单 调 递 增 ， 因 此 g(x)=f (x)至 多 有 一 个 零 点 ， 不 符 合 题意 ， 应 舍 去 . 当 a 0 时 ， 令 g (x)=0， 解 得 x= ， x ， g (x) 0， 函 数 g(x)单 调 递 增 ； 时 ， g (x) 0，函 数 g(x)单 调 递 减 . x= 是 函 数

12、g(x)的 极 大 值 点 ， 则 0， 即 0， ln(2a) 0， 0 2a 1， 即 . ， f (x 1)=lnx1+1-2ax1=0， f (x2)=lnx2+1-2ax2=0.且 f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1) x1(-ax1)= 0，f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1) =- .( ).答 案 ： D.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 考 生 共 需 作 答 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25 分 .请 将 答 案 填在 答 题 卡 对 应 题 号 的 位 置 上 .答

13、 错 位 置 ， 书 写 不 清 ， 模 棱 两 可 均 不 得 分 .(一 )必 考 题 (11-14题 )(二 )选 考 题 (请 考 生 在 第 15、 16两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 请 先 在 答 题 卡 指 定 位 置 将 你 所 选的 题 目 序 号 后 的 方 框 用 2B铅 笔 涂 黑 .如 果 全 选 ， 则 按 第 15题 作 答 结 果 计 分 .) 11.(5分 )从 某 小 区 抽 取 100户 居 民 进 行 月 用 电 量 调 查 ， 发 现 其 用 电 量 都 在 50至 350度 之 间 ，频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 ：( )直

14、方 图 中 x的 值 为 ；( )在 这 些 用 户 中 ， 用 电 量 落 在 区 间 100， 250)内 的 户 数 为 . 解 析 ： ( )依 题 意 及 频 率 分 布 直 方 图 知 ，0.0024 50+0.0036 50+0.0060 50+x 50+0.0024 50+0.0012 50=1， 解 得 x=0.0044.(II)样 本 数 据 落 在 100， 150)内 的 频 率 为 0.0036 50=0.18，样 本 数 据 落 在 150， 200)内 的 频 率 为 0.006 50=0.3.样 本 数 据 落 在 200， 250)内 的 频 率 为 0.00

15、44 50=0.22，故 在 这 些 用 户 中 ， 用 电 量 落 在 区 间 100， 250)内 的 户 数 为 (0.18+0.30+0.22) 100=70.答 案 ： 0.0044； 70.12.(5分 )阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 输 出 的 结 果 i= . 解 析 ： 框 图 首 先 给 变 量 a和 变 量 i赋 值 ， a=4， i=1.判 断 10=4 不 成 立 ， 判 断 10 是 奇 数 不 成 立 ， 执 行 ， i=1+1=2；判 断 5=4不 成 立 ， 判 断 5是 奇 数 成 立 ， 执 行 a=3 5

16、+1=16， i=2+1=3；判 断 16=4 不 成 立 ， 判 断 16 是 奇 数 不 成 立 ， 执 行 ， i=3+1=4；判 断 8=4不 成 立 ， 判 断 8是 奇 数 不 成 立 ， 执 行 ， i=4+1=5；判 断 4=4成 立 ， 跳 出 循 环 ， 输 出 i的 值 为 5.答 案 ： 5.13.(5分 )设 x， y， z R， 且 满 足 ： ， 则 x+y+z= . 解 析 ： 根 据 柯 西 不 等 式 ， 得 (x+2y+3z)2 (12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)，当 且 仅 当 时 ， 上 式 的 等 号 成 立 ， x2

17、+y2+z2=1， (x+2y+3z)2 14， 结 合 ， 可 得 x+2y+3z恰 好 取 到 最 大 值 ， = ， 可 得 x= ， y= ， z= ，因 此 ， x+y+z= + + = .答 案 ：14.(5分 )古 希 腊 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 数 学 家 研 究 过 各 种 多 边 形 数 ， 如 三 角 形 数 1， 3， 6， 10， ， 第 n 个 三 角 形 数 为 .记 第 n 个 k 边 形 数 为 N(n， k)(k 3)， 以 下 列 出了 部 分 k 边 形 数 中 第 n 个 数 的 表 达 式 ：三 角 形 数 ，正 方 形 数 N(n， 4)=

18、n2， 五 边 形 数 ，六 边 形 数 N(n， 6)=2n2-n，可 以 推 测 N(n， k)的 表 达 式 ， 由 此 计 算 N(10， 24)= 1000 .解 析 ： 原 已 知 式 子 可 化 为 ： ， ，由 归 纳 推 理 可 得 ， 故 =1100-100=1000答 案 ： 100015.(5分 )(选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 )如 图 ， 圆 O 上 一 点 C 在 直 径 AB上 的 射 影 为 D， 点 D 在 半 径 OC 上 的 射 影 为 E.若 AB=3AD， 则的 值 为 . 解 析 ： 设 圆 O 的 半 径 OA=OB=OC=3x， A

19、B=3AD， AD=2x， BD=4x， OD=x又 点 C 在 直 径 AB 上 的 射 影 为 D，在 ABC中 ， 由 射 影 定 理 得 ： CD2=AD BD=8x2，在 ODC中 ， 由 射 影 定 理 得 ： OD2=OE OC=x2， CD2=CE OC=8x2， 故 = =8答 案 ： 816.(选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 椭 圆 C的 参 数 方 程 为 为 参 数 ， a b 0).在 极 坐 标系 (与 直 角 坐 标 系 xOy取 相 同 的 长 度 单 位 ， 且 以 原 点 O 为 极 点 ， 以 x

20、轴 正 半 轴 为 极 轴 )中 ， 直 线 l与 圆 O的 极 坐 标 方 程 分 别 为 为 非 零 常 数 )与 =b.若 直 线 l经 过 椭 圆 C的 焦 点 ， 且 与 圆 O相 切 ， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 为 . 解 析 ： 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 为 非 零 常 数 )化 成 直 角 坐 标方 程 为 x+y-m=0，它 与 x轴 的 交 点 坐 标 为 (m， 0)， 由 题 意 知 ， (m， 0)为 椭 圆 的 焦 点 ， 故 |m|=c，又 直 线 l 与 圆 O： =b 相 切 ， ，从 而 c= b， 又 b2=a2-c2， c2

21、=2(a2-c2)， 3c2=2a2， = .则 椭 圆 C 的 离 心 率 为 .答 案 ： .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 17.(12分 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 对 应 的 边 分 别 是 a， b， c， 已 知 cos2A-3cos(B+C)=1.( )求 角 A的 大 小 ；( )若 ABC的 面 积 S=5 ， b=5， 求 sinBsinC 的 值 .解 析 ： (I)利 用 倍 角 公 式 和 诱 导 公 式 即 可 得 出 ；(II)由

22、三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 得 到 bc=20.又 b=5， 解 得 c=4.由 余 弦 定 理 得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21， 即 可 得 出 a.又 由 正 弦 定 理 得 即 可 得 到即 可 得 出 .答 案 ： ( )由 cos2A-3cos(B+C)=1， 得 2cos 2A+3cosA-2=0，即 (2cosA-1)(cosA+2)=0， 解 得 (舍 去 ).因 为 0 A ， 所 以 .( )由 S= = = ， 得 到 bc=20.又 b=5， 解 得 c=4.由 余 弦 定 理 得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-2

23、0=21， 故 .又 由 正 弦 定 理 得 .18.(12分 )已 知 等 比 数 列 a n满 足 ： |a2-a3|=10， a1a2a3=125.( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )是 否 存 在 正 整 数 m， 使 得 ？ 若 存 在 ， 求 m 的 最 小 值 ； 若 不 存 在 ， 说明 理 由 .解 析 ： (I)设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， 结 合 等 比 数 列 的 通 项 公 式 表 示 已 知 条 件 ， 解 方 程 可 求a1， q， 进 而 可 求 通 项 公 式( )结 合 (I)可 知 是 等 比 数 列 ， 结 合 等 比 数

24、列 的 求 和 公 式 可 求 ， 即可 判 断答 案 ： ( )设 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q， 则 由 已 知 可 得 解 得 故 .( )若 ， 则 ， 故 是 首 项 为 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 ，从 而 .若 ， 则 是 首 项 为 ， 公比 为 -1的 等 比 数 列 ， 从 而 故 .综 上 ， 对 任 何 正 整 数 m， 总 有 .故 不 存 在 正 整 数 m， 使 得 成 立 .19.(12分 )如 图 ， AB是 圆 O 的 直 径 ， 点 C 是 圆 O上 异 于 A， B 的 点 ， 直 线 PC 平 面 ABC， E，F分 别 是 PA，

25、 PC的 中 点 . ( )记 平 面 BEF与 平 面 ABC的 交 线 为 l， 试 判 断 直 线 l与 平 面 PAC的 位 置 关 系 ， 并 加 以 证 明 ；( )设 ( )中 的 直 线 l 与 圆 O的 另 一 个 交 点 为 D， 且 点 Q满 足 .记 直 线 PQ与 平 面ABC所 成 的 角 为 ， 异 面 直 线 PQ 与 EF所 成 的 角 为 ， 二 面 角 E-l-C 的 大 小 为 .求 证 ：sin =sin sin .解 析 ： (I)直 线 l 平 面 PAC.连 接 EF， 利 用 三 角 形 的 中 位 线 定 理 可 得 ， EF AC； 利 用

26、 线 面 平行 的 判 定 定 理 即 可 得 到 EF 平 面 ABC.由 线 面 平 行 的 性 质 定 理 可 得 EF l.再 利 用 线 面 平 行 的判 定 定 理 即 可 证 明 直 线 l 平 面 PAC.(II)综 合 法 ： 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 证 明 l 平 面 PBC.连 接 BE， BF， 因 为 BF平 面 PBC，所 以 l BC.故 CBF就 是 二 面 角 E-l-C的 平 面 角 ， 即 CBF= .已 知 PC 平 面 ABC， 可 知 CD 是 FD在 平 面 ABC内 的 射 影 ， 故 CDF就 是 直 线 PQ 与 平

27、面 ABC所 成 的 角 ， 即 CDF= .由 BD 平 面 PBC， 有 BD BF， 知 BDF= ， 分 别 利 用 三 个 直 角 三 角形 的 边 角 关 系 即 可 证 明 结 论 ； 向 量 法 ： 以 点 C 为 原 点 ， 向 量 所 在 直 线 分 别 为 x， y， z轴 ， 建 立 如 图 所 示 的空 间 直 角 坐 标 系 ， 利 用 两 个 平 面 的 法 向 量 的 夹 角 即 可 得 出 二 面 角 . 答 案 ： ( )直 线 l 平 面 PAC， 证 明 如 下 ： 连 接 EF， 因 为 E， F 分 别 是 PA， PC的 中 点 ， 所 以EF A

28、C，又 EF 平 面 ABC， 且 AC平 面 ABC， 所 以 EF 平 面 ABC.而 EF平 面 BEF， 且 平 面 BEF 平 面 ABC=l， 所 以 EF l.因 为 l 平 面 PAC， EF平 面 PAC， 所 以 直 线 l 平 面 PAC.( )(综 合 法 )如 图 ， 连 接 BD， 由 ( )可 知 交 线 l即 为 直 线 BD， 且 l AC.因 为 AB是 O 的 直 径 ， 所 以 AC BC， 于 是 l BC. 已 知 PC 平 面 ABC， 而 l平 面 ABC， 所 以 PC l.而 PC BC=C， 所 以 l 平 面 PBC.连 接 BE， BF

29、， 因 为 BF平 面 PBC， 所 以 l BF.故 CBF就 是 二 面 角 E-l-C 的 平 面 角 ， 即 CBF= .由 ， 作 DQ CP， 且 .连 接 PQ， DF， 因 为 F是 CP的 中 点 ， CP=2PF， 所 以 DQ=PF，从 而 四 边 形 DQPF是 平 行 四 边 形 ， PQ FD.连 接 CD， 因 为 PC 平 面 ABC， 所 以 CD是 FD在 平 面 ABC内 的 射 影 ，故 CDF就 是 直 线 PQ与 平 面 ABC所 成 的 角 ， 即 CDF= .又 BD 平 面 PBC， 有 BD BF， 知 BDF= ，于 是 在 Rt DCF，

30、 Rt FBD， Rt BCF中 ， 分 别 可 得 ， 从 而 .( )(向 量 法 )如 图 ， 由 ， 作 DQ CP， 且 .连 接 PQ， EF， BE， BF， BD， 由 ( )可 知 交 线 l 即 为 直 线 BD.以 点 C为 原 点 ， 向 量 所 在 直 线 分 别 为 x， y， z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 CA=a， CB=b， CP=2c， 则 有 C(0， 0， 0) ， A(a， 0， 0)， B(0， b， 0)， P(0， 0，2c)， Q(a， b， c)， E(12 a， 0， c)， 于 是 ， = ，

31、 从 而 ，又 取 平 面 ABC的 一 个 法 向 量 为 ， 可 得 ，设 平 面 BEF的 一 个 法 向 量 为 ，所 以 由 可 得 .于 是 ， 从 而 . 故 ， 即 sin =sin sin .20.(12分 )假 设 每 天 从 甲 地 去 乙 地 的 旅 客 人 数 X是 服 从 正 态 分 布 N(800， 502)的 随 机 变 量 .记一 天 中 从 甲 地 去 乙 地 的 旅 客 人 数 不 超 过 900的 概 率 为 p0.( )求 p0的 值 ；(参 考 数 据 ： 若 X N( ， 2)， 有 P( - X + )=0.6826， P( -2 X +2 )=

32、0.9544， P( -3 X +3 )=0.9974.)( )某 客 运 公 司 用 A， B 两 种 型 号 的 车 辆 承 担 甲 、 乙 两 地 间 的 长 途 客 运 业 务 ， 每 车 每 天 往 返一 次 ， A， B两 种 车 辆 的 载 客 量 分 别 为 36人 和 60人 ， 从 甲 地 去 乙 地 的 营 运 成 本 分 别 为 1600元 /辆 和 2400元 /辆 .公 司 拟 组 建 一 个 不 超 过 21 辆 车 的 客 运 车 队 ， 并 要 求 B 型 车 不 多 于 A 型车 7 辆 .若 每 天 要 以 不 小 于 p 0的 概 率 运 完 从 甲 地

33、 去 乙 地 的 旅 客 ， 且 使 公 司 从 甲 地 去 乙 地 的 营运 成 本 最 小 ， 那 么 应 配 备 A 型 车 、 B 型 车 各 多 少 辆 ？答 案 ： (I)变 量 服 从 正 态 分 布 N(800， 502)， 即 服 从 均 值 为 800， 标 准 差 为 50的 正 态 分 布 ，适 合 700 X 900范 围 内 取 值 即 在 ( -2 ， +2 )内 取 值 ， 其 概 率 为 ： 95.44%， 从 而 由 正态 分 布 的 对 称 性 得 出 不 超 过 900的 概 率 为 p0.(II)设 每 天 应 派 出 A 型 x 辆 、 B 型 车

34、y 辆 ， 根 据 条 件 列 出 不 等 式 组 ， 即 得 线 性 约 束 条 件 ， 列出 目 标 函 数 ， 画 出 可 行 域 求 解 .答 案 ： ( )由 于 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N(800， 50 2)， 故 有 =800， =50， P(700X 900)=0.9544.由 正 态 分 布 的 对 称 性 ， 可 得 p0=(P(X 900)=P(X 800)+P(800X 900)=( )设 A 型 、 B型 车 辆 的 数 量 分 别 为 x， y 辆 ， 则 相 应 的 营 运 成 本 为 1600 x+2400y.依 题 意 ， x， y 还

35、需 满 足 ： x+y 21， y x+7， P(X 36x+60y) p 0.由 ( )知 ， p0=P(X 900)， 故 P(X 360 x+60y) p0等 价 于 36x+60y 900. 于 是 问 题 等 价 于 求 满 足 约 束 条 件且 使 目 标 函 数 z=1600 x+2400y达 到 最 小 值 的 x， y.作 可 行 域 如 图 所 示 ， 可 行 域 的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 为 P(5， 12)， Q(7， 14)， R(15， 6).由 图 可 知 ， 当 直 线 z=1600 x+2400y 经 过 可 行 域 的 点 P 时 ， 直 线 z=

36、1600 x+2400y 在 y 轴 上 截 距最 小 ， 即 z取 得 最 小 值 .故 应 配 备 A 型 车 5 辆 ， B型 车 12辆 . 21.(13分 )如 图 ， 已 知 椭 圆 C1与 C2的 中 心 在 坐 标 原 点 O， 长 轴 均 为 MN 且 在 x轴 上 ， 短 轴 长分 别 为 2m， 2n(m n)， 过 原 点 且 不 与 x轴 重 合 的 直 线 l 与 C1， C2的 四 个 交 点 按 纵 坐 标 从 大到 小 依 次 为 A， B， C， D， 记 ， BDM和 ABN的 面 积 分 别 为 S1和 S2.( )当 直 线 l 与 y 轴 重 合 时

37、 ， 若 S 1= S2， 求 的 值 ；( )当 变 化 时 ， 是 否 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 S1= S2？ 并 说 明 理 由 .答 案 ： ( )设 出 两 个 椭 圆 的 方 程 ， 当 直 线 l 与 y 轴 重 合 时 ， 求 出 BDM和 ABN的 面 积 S1和S2， 直 接 由 面 积 比 = 列 式 求 的 值 ；( )假 设 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 S1= S2， 设 出 直 线 方 程 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公式 求 出 M和 N到 直 线 l的 距 离 ， 利 用 数 学 转

38、 化 思 想 把 两 个 三 角 形 的 面 积 比 转 化 为 线 段 长 度 比 ，由 弦 长 公 式 得 到 线 段 长 度 比 的 另 一 表 达 式 ， 两 式 相 等 得 到 ， 换元 后 利 用 非 零 的 k 值 存 在 讨 论 的 取 值 范 围 .答 案 ： 以 题 意 可 设 椭 圆 C 1和 C2的 方 程 分 别 为 ， .其 中 a m n 0， . ( )如 图 1， 若 直 线 l 与 y 轴 重 合 ， 即 直 线 l 的 方 程 为 x=0，则 ， ， 所 以 .在 C 1和 C2的 方 程 中 分 别 令 x=0， 可 得 yA=m， yB=n， yD=-

39、m，于 是 .若 ， 则 ， 化 简 得 2-2 -1=0， 由 1， 解 得 .故 当 直 线 l与 y轴 重 合 时 ， 若 S 1= S2， 则 .( )如 图 2， 若 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 S1= S2， 根 据 对 称 性 ，不 妨 设 直 线 l： y=kx(k 0)， 点 M(-a， 0)， N(a， 0)到 直 线 l 的 距 离 分 别 为 d 1， d2，则 ， 所 以 d1=d2.又 ， 所 以 ， 即 |BD|= |AB|.由 对 称 性 可 知 |AB|=|CD|， 所 以 |BC|=|BD|-|AB|=( -1)|AB|，|

40、AD|=|BD|+|AB|=( +1)|AB|， 于 是 .将 l 的 方 程 分 别 与 C 1和 C2的 方 程 联 立 ， 可 求 得 根 据 对 称 性 可 知 xC=-xB， xD=-xA， 于 是 从 而 由 和 可 得 令 ， 则 由 m n， 可 得 t 1， 于 是 由 可 得 .因 为 k 0， 所 以 k 2 0.于 是 关 于 k 有 解 ， 当 且 仅 当 ，等 价 于 ， 由 1， 解 得 ，即 ， 由 1， 解 得 ， 所 以当 时 ， 不 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 S 1= S2；当 时 ， 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合

41、 的 直 线 l， 使 得 S1= S2.22.(14分 )设 n是 正 整 数 ， r 为 正 有 理 数 .( )求 函 数 f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x -1)的 最 小 值 ；( )证 明 ： ；( )设 x R， 记 x为 不 小 于 x 的 最 小 整 数 ， 例 如 .令的 值 .(参 考 数 据 ： .答 案 ： ( )先 求 出 函 数 f(x)的 导 函 数 f (x)， 令 f(x)=0， 解 得 x=0， 再 求 出 函 数 的 单 调 区间 ， 进 而 求 出 最 小 值 为 f(0)=0；( )根 据 ( )知 ， 即 (1+x)r+1 1+(r

42、+1)x， 令 代 入 并 化 简 得 ，再 令 得 ， ， 即 结 论 得 到 证 明 ；( )根 据 ( )的 结 论 ， 令 ， n 分 别 取 值 81， 82， 83， ， 125， 分 别 列 出 不 等 式 ， 再 将 各 式 相 加 得 ， ， 再 由 参 考 数 据 和 条 件 进 行 求解 . 答 案 ： ( )由 题 意 得 f(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)(1+x)r-1，令 f(x)=0， 解 得 x=0.当 -1 x 0时 ， f(x) 0， f(x)在 (-1， 0)内 是 减 函 数 ；当 x 0 时 ， f(x) 0， f(x)在 (0

43、， + )内 是 增 函 数 .故 函 数 f(x)在 x=0处 ， 取 得 最 小 值 为 f(0)=0.( )由 ( )， 当 x (-1， + )时 ， 有 f(x) f(0)=0，即 (1+x)r+1 1+(r+1)x， 且 等 号 当 且 仅 当 x=0时 成 立 ，故 当 x -1且 x 0， 有 (1+x) r+1 1+(r+1)x， 在 中 ， 令 (这 时 x -1且 x 0)， 得 .上 式 两 边 同 乘 nr+1， 得 (n+1)r+1 nr+1+nr(r+1)， 即 ， 当 n 1 时 ， 在 中 令 (这 时 x -1 且 x 0)，类 似 可 得 ， 且 当 n=1时 ， 也 成 立 . 综 合 ， 得 ， ( )在 中 ， 令 ， n 分 别 取 值 81， 82， 83， ， 125，得 ， ，将 以 上 各 式 相 加 ， 并 整 理 得 .代 入 数 据 计 算 ， 可 得由 S的 定 义 ， 得 S=211.