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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理及答案解析.docx

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理及答案解析.docx

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.(5分 )在复平面内，复数 (i 为虚数单位 )的共轭复数对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析： z= = = =1+i， =1-i. 对应的点 (1， -1)位于第四象限，答案

3、则命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为( )A.( p) ( q)B.p ( q)C.( p) ( q)D.p q解析：命题 p 是 “ 甲降落在指定范围 ” ，则 p是 “ 甲没降落在指定范围 ” ， q是 “ 乙降落在指定范围 ” ，则 q 是 “ 乙没降落在指定范围 ” ，命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 包括 “ 甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围 ” 或 “ 甲没降

4、落在指定范围，乙降落在指定范围 ” 或 “ 甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围 ” 三种情况 .所以命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为 (p)V( q).答案： A. 4.(5分 )将函数的图象向左平移 m(m 0)个单位长度后，所得到的图象关于 y轴对称，则 m的最小值是 ( )A.B.C.D.解析： y= cosx+sinx=2( cosx+ sinx)=2sin(x+ )，图象向

5、左平移 m(m 0)个单位长度得到 y=2sin(x+m)+ =2sin(x+m+ )，所得的图象关于 y轴对称， m+ =k + (k Z)，则 m 的最小值为 .答案： B5.(5分 )已知 0 ，则双曲线 C 1： - =1与 C2：- =1的 ( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等解析：双曲线的实轴长为 2cos ，虚轴长 2sin ，焦距 2，离心率，双曲线的实轴长为 2sin ，虚轴长 2sin tan ，焦距

6、2tan ，离心率，故它们的离心率相同 .答案： D.6.(5分 )已知点 A(-1， 1)， B(1， 2)， C(-2， -1)， D(3， 4)，则向量在方向上的投影为 ( ) A.B.C.D.解析：，，则向量方向上的投影为： cos = = = = ，答案： A.7.(5分 )一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位： s， v 的单位： m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的

7、距离 (单位： m)是 ( )A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2解析：令 v(t)=7-3t+ ，化为 3t 2-4t-32=0，又 t 0，解得 t=4. 由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s= = =4+25ln5.答案： C.8.(5分 )一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V 1， V2， V3， V4，上面两个简单几何体均为旋

8、转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 ( ) A.V1 V2 V4 V3B.V1 V3 V2 V4C.V2 V1 V3 V4D.V2 V3 V1 V4解析：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为 V 1= = .V2=12 2=2 ，V3=2 2 2=8V4= = ；， V2 V1 V3 V4答案： C.9.(5分 )如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125

9、个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)=( ) A.B.C. D.解析：由题意可知： X 所有可能取值为 0， 1， 2， 3. 8 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 面， P(X=3)= ；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 3个，一共有 3 12=36 个小正方体涂有2面， P(X=2)= ；每个表面去掉四条棱

10、上的 16个小正方形，还剩下 9 个小正方形，因此一共有 9 6=54 个小正方体涂有一面， P(X=1)= . 由以上可知：还剩下 125-(8+36+54)=27 个内部的小正方体的 6 个面都没有涂油漆， P(X=0)= . 故 X 的分布列为因此 E(X)= = .答案： B.10.(5分 )已知 a为常数，函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点 x 1， x2(x1 x2)( )A.B.C.D.解析： =lnx+1-2ax， (x 0

11、)令 f (x)=0，由题意可得 lnx=2ax-1 有两个解 x 1， x2函数 g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点 g (x)在 (0， + )上的唯一的极值不等于 0. 当 a 0 时， g (x) 0， f (x)单调递增，因此 g(x)=f (x)至多有一个零点，不符合题意，应舍去 . 当 a 0 时，令 g (x)=0，解得 x= ， x ， g (x) 0，函数 g(x)单调递增；时， g (x) 0，函数 g(x)单调递减 . x= 是函数

12、g(x)的极大值点，则 0，即 0， ln(2a) 0， 0 2a 1，即 . ， f (x 1)=lnx1+1-2ax1=0， f (x2)=lnx2+1-2ax2=0.且 f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1) x1(-ax1)= 0，f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1) =- .( ).答案： D.二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .请将答案填在答题卡对应题号的位置上 .答

13、错位置，书写不清，模棱两可均不得分 .(一 )必考题 (11-14题 )(二 )选考题 (请考生在第 15、 16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B铅笔涂黑 .如果全选，则按第 15题作答结果计分 .) 11.(5分 )从某小区抽取 100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50至 350度之间，频率分布直方图如图所示：( )直

14、方图中 x的值为；( )在这些用户中，用电量落在区间 100， 250)内的户数为 . 解析： ( )依题意及频率分布直方图知，0.0024 50+0.0036 50+0.0060 50+x 50+0.0024 50+0.0012 50=1，解得 x=0.0044.(II)样本数据落在 100， 150)内的频率为 0.0036 50=0.18，样本数据落在 150， 200)内的频率为 0.006 50=0.3.样本数据落在 200， 250)内的频率为 0.00

15、44 50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间 100， 250)内的户数为 (0.18+0.30+0.22) 100=70.答案： 0.0044； 70.12.(5分 )阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i= . 解析：框图首先给变量 a和变量 i赋值， a=4， i=1.判断 10=4 不成立，判断 10 是奇数不成立，执行， i=1+1=2；判断 5=4不成立，判断 5是奇数成立，执行 a=3 5

16、+1=16， i=2+1=3；判断 16=4 不成立，判断 16 是奇数不成立，执行， i=3+1=4；判断 8=4不成立，判断 8是奇数不成立，执行， i=4+1=5；判断 4=4成立，跳出循环，输出 i的值为 5.答案： 5.13.(5分 )设 x， y， z R，且满足：，则 x+y+z= . 解析：根据柯西不等式，得 (x+2y+3z)2 (12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)，当且仅当时，上式的等号成立， x2

17、+y2+z2=1， (x+2y+3z)2 14，结合，可得 x+2y+3z恰好取到最大值， = ，可得 x= ， y= ， z= ，因此， x+y+z= + + = .答案：14.(5分 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1， 3， 6， 10，，第 n 个三角形数为 .记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k 3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数，正方形数 N(n， 4)=

18、n2，五边形数，六边形数 N(n， 6)=2n2-n，可以推测 N(n， k)的表达式，由此计算 N(10， 24)= 1000 .解析：原已知式子可化为：，，由归纳推理可得，故 =1100-100=1000答案： 100015.(5分 )(选修 4-1：几何证明选讲 )如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB上的射影为 D，点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若 AB=3AD，则的值为 . 解析：设圆 O 的半径 OA=OB=OC=3x， A

19、B=3AD， AD=2x， BD=4x， OD=x又点 C 在直径 AB 上的射影为 D，在 ABC中，由射影定理得： CD2=AD BD=8x2，在 ODC中，由射影定理得： OD2=OE OC=x2， CD2=CE OC=8x2，故 = =8答案： 816.(选修 4-4：坐标系与参数方程 )在直角坐标系 xOy中，椭圆 C的参数方程为为参数， a b 0).在极坐标系 (与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x

20、轴正半轴为极轴 )中，直线 l与圆 O的极坐标方程分别为为非零常数 )与 =b.若直线 l经过椭圆 C的焦点，且与圆 O相切，则椭圆 C 的离心率为 . 解析：直线 l 的极坐标方程分别为为非零常数 )化成直角坐标方程为 x+y-m=0，它与 x轴的交点坐标为 (m， 0)，由题意知， (m， 0)为椭圆的焦点，故 |m|=c，又直线 l 与圆 O： =b 相切，，从而 c= b，又 b2=a2-c2， c2

21、=2(a2-c2)， 3c2=2a2， = .则椭圆 C 的离心率为 .答案： .三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(12分 )在 ABC 中，角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， c，已知 cos2A-3cos(B+C)=1.( )求角 A的大小；( )若 ABC的面积 S=5 ， b=5，求 sinBsinC 的值 .解析： (I)利用倍角公式和诱导公式即可得出；(II)由

22、三角形的面积公式即可得到 bc=20.又 b=5，解得 c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，即可得出 a.又由正弦定理得即可得到即可得出 .答案： ( )由 cos2A-3cos(B+C)=1，得 2cos 2A+3cosA-2=0，即 (2cosA-1)(cosA+2)=0，解得 (舍去 ).因为 0 A ，所以 .( )由 S= = = ，得到 bc=20.又 b=5，解得 c=4.由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-2

23、0=21，故 .又由正弦定理得 .18.(12分 )已知等比数列 a n满足： |a2-a3|=10， a1a2a3=125.( )求数列 an的通项公式；( )是否存在正整数 m，使得？若存在，求 m 的最小值；若不存在，说明理由 .解析： (I)设等比数列 an的公比为 q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1， q，进而可求通项公式( )结合 (I)可知是等比数列，结合等比数

24、列的求和公式可求，即可判断答案： ( )设等比数列 a n的公比为 q，则由已知可得解得故 .( )若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而 .若，则是首项为，公比为 -1的等比数列，从而故 .综上，对任何正整数 m，总有 .故不存在正整数 m，使得成立 .19.(12分 )如图， AB是圆 O 的直径，点 C 是圆 O上异于 A， B 的点，直线 PC 平面 ABC， E，F分别是 PA，

25、 PC的中点 . ( )记平面 BEF与平面 ABC的交线为 l，试判断直线 l与平面 PAC的位置关系，并加以证明；( )设 ( )中的直线 l 与圆 O的另一个交点为 D，且点 Q满足 .记直线 PQ与平面ABC所成的角为，异面直线 PQ 与 EF所成的角为，二面角 E-l-C 的大小为 .求证：sin =sin sin .解析： (I)直线 l 平面 PAC.连接 EF，利用三角形的中位线定理可得， EF AC；利用

26、线面平行的判定定理即可得到 EF 平面 ABC.由线面平行的性质定理可得 EF l.再利用线面平行的判定定理即可证明直线 l 平面 PAC.(II)综合法：利用线面垂直的判定定理可证明 l 平面 PBC.连接 BE， BF，因为 BF平面 PBC，所以 l BC.故 CBF就是二面角 E-l-C的平面角，即 CBF= .已知 PC 平面 ABC，可知 CD 是 FD在平面 ABC内的射影，故 CDF就是直线 PQ 与平

27、面 ABC所成的角，即 CDF= .由 BD 平面 PBC，有 BD BF，知 BDF= ，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点 C 为原点，向量所在直线分别为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角 . 答案： ( )直线 l 平面 PAC，证明如下：连接 EF，因为 E， F 分别是 PA， PC的中点，所以EF A

28、C，又 EF 平面 ABC，且 AC平面 ABC，所以 EF 平面 ABC.而 EF平面 BEF，且平面 BEF 平面 ABC=l，所以 EF l.因为 l 平面 PAC， EF平面 PAC，所以直线 l 平面 PAC.( )(综合法 )如图，连接 BD，由 ( )可知交线 l即为直线 BD，且 l AC.因为 AB是 O 的直径，所以 AC BC，于是 l BC. 已知 PC 平面 ABC，而 l平面 ABC，所以 PC l.而 PC BC=C，所以 l 平面 PBC.连接 BE， BF

29、，因为 BF平面 PBC，所以 l BF.故 CBF就是二面角 E-l-C 的平面角，即 CBF= .由，作 DQ CP，且 .连接 PQ， DF，因为 F是 CP的中点， CP=2PF，所以 DQ=PF，从而四边形 DQPF是平行四边形， PQ FD.连接 CD，因为 PC 平面 ABC，所以 CD是 FD在平面 ABC内的射影，故 CDF就是直线 PQ与平面 ABC所成的角，即 CDF= .又 BD 平面 PBC，有 BD BF，知 BDF= ，于是在 Rt DCF，

30、 Rt FBD， Rt BCF中，分别可得，从而 .( )(向量法 )如图，由，作 DQ CP，且 .连接 PQ， EF， BE， BF， BD，由 ( )可知交线 l 即为直线 BD.以点 C为原点，向量所在直线分别为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 CA=a， CB=b， CP=2c，则有 C(0， 0， 0) ， A(a， 0， 0)， B(0， b， 0)， P(0， 0，2c)， Q(a， b， c)， E(12 a， 0， c)，于是， = ，

31、从而，又取平面 ABC的一个法向量为，可得，设平面 BEF的一个法向量为，所以由可得 .于是，从而 . 故，即 sin =sin sin .20.(12分 )假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X是服从正态分布 N(800， 502)的随机变量 .记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900的概率为 p0.( )求 p0的值；(参考数据：若 X N( ， 2)，有 P( - X + )=0.6826， P( -2 X +2 )=

32、0.9544， P( -3 X +3 )=0.9974.)( )某客运公司用 A， B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， A， B两种车辆的载客量分别为 36人和 60人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600元 /辆和 2400元 /辆 .公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆 .若每天要以不小于 p 0的概率运完从甲地

33、去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？答案： (I)变量服从正态分布 N(800， 502)，即服从均值为 800，标准差为 50的正态分布，适合 700 X 900范围内取值即在 ( -2 ， +2 )内取值，其概率为： 95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过 900的概率为 p0.(II)设每天应派出 A 型 x 辆、 B 型车

34、y 辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解 .答案： ( )由于随机变量 X 服从正态分布 N(800， 50 2)，故有 =800， =50， P(700X 900)=0.9544.由正态分布的对称性，可得 p0=(P(X 900)=P(X 800)+P(800X 900)=( )设 A 型、 B型车辆的数量分别为 x， y 辆，则相应的营运成本为 1600 x+2400y.依题意， x， y 还

35、需满足： x+y 21， y x+7， P(X 36x+60y) p 0.由 ( )知， p0=P(X 900)，故 P(X 360 x+60y) p0等价于 36x+60y 900. 于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数 z=1600 x+2400y达到最小值的 x， y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5， 12)， Q(7， 14)， R(15， 6).由图可知，当直线 z=1600 x+2400y 经过可行域的点 P 时，直线 z=

36、1600 x+2400y 在 y 轴上截距最小，即 z取得最小值 .故应配备 A 型车 5 辆， B型车 12辆 . 21.(13分 )如图，已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O，长轴均为 MN 且在 x轴上，短轴长分别为 2m， 2n(m n)，过原点且不与 x轴重合的直线 l 与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A， B， C， D，记， BDM和 ABN的面积分别为 S1和 S2.( )当直线 l 与 y 轴重合时

37、，若 S 1= S2，求的值；( )当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1= S2？并说明理由 .答案： ( )设出两个椭圆的方程，当直线 l 与 y 轴重合时，求出 BDM和 ABN的面积 S1和S2，直接由面积比 = 列式求的值；( )假设存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1= S2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出 M和 N到直线 l的距离，利用数学转

38、化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的 k 值存在讨论的取值范围 .答案：以题意可设椭圆 C 1和 C2的方程分别为， .其中 a m n 0， . ( )如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，即直线 l 的方程为 x=0，则，，所以 .在 C 1和 C2的方程中分别令 x=0，可得 yA=m， yB=n， yD=-

39、m，于是 .若，则，化简得 2-2 -1=0，由 1，解得 .故当直线 l与 y轴重合时，若 S 1= S2，则 .( )如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1= S2，根据对称性，不妨设直线 l： y=kx(k 0)，点 M(-a， 0)， N(a， 0)到直线 l 的距离分别为 d 1， d2，则，所以 d1=d2.又，所以，即 |BD|= |AB|.由对称性可知 |AB|=|CD|，所以 |BC|=|BD|-|AB|=( -1)|AB|，|

40、AD|=|BD|+|AB|=( +1)|AB|，于是 .将 l 的方程分别与 C 1和 C2的方程联立，可求得根据对称性可知 xC=-xB， xD=-xA，于是从而由和可得令，则由 m n，可得 t 1，于是由可得 .因为 k 0，所以 k 2 0.于是关于 k 有解，当且仅当，等价于，由 1，解得，即，由 1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S 1= S2；当时，存在与坐标轴不重合

41、的直线 l，使得 S1= S2.22.(14分 )设 n是正整数， r 为正有理数 .( )求函数 f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x -1)的最小值；( )证明：；( )设 x R，记 x为不小于 x 的最小整数，例如 .令的值 .(参考数据： .答案： ( )先求出函数 f(x)的导函数 f (x)，令 f(x)=0，解得 x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为 f(0)=0；( )根据 ( )知，即 (1+x)r+1 1+(r

42、+1)x，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；( )根据 ( )的结论，令， n 分别取值 81， 82， 83，， 125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解 . 答案： ( )由题意得 f(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)(1+x)r-1，令 f(x)=0，解得 x=0.当 -1 x 0时， f(x) 0， f(x)在 (-1， 0)内是减函数；当 x 0 时， f(x) 0， f(x)在 (0

43、， + )内是增函数 .故函数 f(x)在 x=0处，取得最小值为 f(0)=0.( )由 ( )，当 x (-1， + )时，有 f(x) f(0)=0，即 (1+x)r+1 1+(r+1)x，且等号当且仅当 x=0时成立，故当 x -1且 x 0，有 (1+x) r+1 1+(r+1)x，在中，令 (这时 x -1且 x 0)，得 .上式两边同乘 nr+1，得 (n+1)r+1 nr+1+nr(r+1)，即，当 n 1 时，在中令 (这时 x -1 且 x 0)，类似可得，且当 n=1时，也成立 . 综合，得， ( )在中，令， n 分别取值 81， 82， 83，， 125，得，，将以上各式相加，并整理得 .代入数据计算，可得由 S的定义，得 S=211.

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