2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学文及答案解析.docx

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1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 四 川 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 )1.已 知 集 合 A=x|(x+1)(x-2) 0， 集 合 B为 整 数 集 ， 则 A B=( )A.-1， 0B.0， 1C.-2， -1， 0， 1D.-1， 0， 1， 2解 析 ： A=x|(x+1)(x-2) 0=x|-1 x 2， 又 集 合 B 为 整 数 集 ， 故 A B=-1， 0， 1， 2答 案 ： D. 2.在 “ 世 界 读 书 日 ” 前 夕 ， 为 了 了 解 某 地 5000 名

2、 居 民 某 天 的 阅 读 时 间 ， 从 中 抽 取 了 200 名居 民 的 阅 读 时 间 进 行 统 计 分 析 ， 在 这 个 问 题 中 ， 5000名 居 民 的 阅 读 时 间 的 全 体 是 ( )A.总 体B.个 体C.样 本 的 容 量D.从 总 体 中 抽 取 的 一 个 样 本解 析 ： 根 据 题 意 ， 结 合 总 体 、 个 体 、 样 本 、 样 本 容 量 的 定 义 可 得 ， 5000名 居 民 的 阅 读 时 间的 全 体 是 总 体 ，答 案 ： A.3.为 了 得 到 函 数 y=sin(x+1)的 图 象 ， 只 需 把 函 数 y=sinx的

3、 图 象 上 所 有 的 点 ( )A.向 左 平 行 移 动 1 个 单 位 长 度B.向 右 平 行 移 动 1 个 单 位 长 度 C.向 左 平 行 移 动 个 单 位 长 度D.向 右 平 行 移 动 个 单 位 长 度解 析 ： 由 y=sinx 到 y=sin(x+1)， 只 是 横 坐 标 由 x变 为 x+1， 要 得 到 函 数 y=sin(x+1)的 图 象 ， 只 需 把 函 数 y=sinx 的 图 象 上 所 有 的 点 向 左 平 行 移 动 1 个单 位 长 度 .答 案 ： A.4.某 三 棱 锥 的 侧 视 图 、 俯 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三

4、 棱 锥 的 体 积 为 ( )(锥 体 体 积 公 式 ： V= Sh， 其 中 S 为 底 面 面 积 ， h 为 高 ) A.3 B.2C.D.1解 析 ： 由 三 棱 锥 的 俯 视 图 与 侧 视 图 知 ： 三 棱 锥 的 一 个 侧 面 与 底 面 垂 直 ， 高 为 ，底 面 为 等 边 三 角 形 ， 边 长 为 2， 三 棱 锥 的 体 积 V= 2 =1.答 案 ： D. 5.若 a b 0， c d 0， 则 一 定 有 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 不 妨 令 a=3， b=1， c=-3， d=-1，则 ， C、 D 不 正 确 ； ， A不 正 确 ，

5、 B 正 确 .答 案 ： B. 6.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 x， y R， 那 么 输 出 的 S 的 最 大 值 为 ( ) A.0B.1 C.2D.3解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 可 行 域 内 ， 目 标 还 是 S=2x+y 的 最 大 值 ，画 出 可 行 域 如 图 ： 当 时 ， S=2x+y的 值 最 大 ， 且 最 大 值 为 2.答 案 ： C.7.已 知 b 0， log5b=a， lgb=c， 5d=10， 则 下 列 等 式 一 定 成 立 的 是 ( )A.d=acB.a=cdC.c=a

6、dD.d=a+c解 析 ： 由 5 d=10， 可 得 ， cd=lgb =log5b=a.答 案 ： B.8.如 图 ， 从 气 球 A上 测 得 正 前 方 的 河 流 的 两 岸 B、 C 的 俯 角 分 别 为 75 、 30 ， 此 时 气 球 的高 是 60m， 则 河 流 的 宽 度 BC 等 于 ( )A.240( -1)mB.180( -1)mC.120( -1)m D.30( +1)m解 析 ： 如 图 ， 由 图 可 知 ， DAB=15 ， tan15 =tan(45 -30 )= = .在 Rt ADB中 ， 又 AD=60， DB=ADtan15 =60 (2- )

7、=120-60 .在 Rt ADB中 ， DAC=60 ， AD=60， DC=ADtan60 =60 . BC=DC-DB=60 -(120-60 )=120( )(m). 河 流 的 宽 度 BC等 于 120( )m.答 案 ： C.9.设 m R， 过 定 点 A的 动 直 线 x+my=0和 过 定 点 B 的 直 线 mx-y-m+3=0 交 于 点 P(x， y)， 则 |PA|+|PB|的 取 值 范 围 是 ( )A. ， 2 B. ， 2 C. ， 4 D.2 ， 4 解 析 ： 由 题 意 可 知 ， 动 直 线 x+my=0经 过 定 点 A(0， 0)，动 直 线 m

8、x-y-m+3=0 即 m(x-1)-y+3=0， 经 过 点 定 点 B(1， 3)， 动 直 线 x+my=0和 动 直 线 mx-y-m+3=0始 终 垂 直 ， P又 是 两 条 直 线 的 交 点 ， PA PB， |PA| 2+|PB|2=|AB|2=10.由 基 本 不 等 式 可 得 |PA|2+|PB|2 (|PA|+|PB|)2 2(|PA|2+|PB|2)，即 10 (|PA|+|PB|)2 20， 可 得 (|PA|+|PB|)2 2 ，答 案 ： B10.已 知 F 为 抛 物 线 y2=x的 焦 点 ， 点 A， B 在 该 抛 物 线 上 且 位 于 x 轴 的

9、两 侧 ， =2(其中 O 为 坐 标 原 点 )， 则 ABO与 AFO面 积 之 和 的 最 小 值 是 ( )A.2B.3C. D.解 析 ： 设 直 线 AB的 方 程 为 ： x=ty+m， 点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 直 线 AB与 x轴 的 交 点 为 M(0，m)，由 y2-ty-m=0， 根 据 韦 达 定 理 有 y1y2=-m， =2， x1x2+y1y2=2， 从 而 ， 点 A， B 位 于 x 轴 的 两 侧 ， y1y2=-2， 故 m=2.不 妨 令 点 A在 x轴 上 方 ， 则 y1 0， 又 ， S ABO+S AFO= = .当 且

10、仅 当 ， 即 时 ， 取 “ =” 号 ， ABO与 AFO面 积 之 和 的 最 小 值 是 3， 故 选 B. 二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 )11.双 曲 线 -y2=1 的 离 心 率 等 于 .解 析 ： 由 双 曲 线 的 方 程 可 知 a2=4， b2=1， 则 c2=a2+b2=4+1=5， 则 a=2， c= ，即 双 曲 线 的 离 心 率 e= = ，答 案 ：12.复 数 = . 解 析 ： 复 数 = = =-2i，答 案 ： -2i.13.设 f(x)是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函

11、数 ， 当 x -1， 1)时 ，f(x)= ， 则 f( )= .解 析 ： f(x)是 定 义 在 R上 的 周 期 为 2的 函 数 ， =1.答 案 ： 1. 14.平 面 向 量 =(1， 2)， =(4， 2)， =m + (m R)， 且 与 的 夹 角 等 于 与 的 夹 角 ，则 m= .解 析 ： 向 量 =(1， 2)， =(4， 2)， =m + (m R)， =m(1， 2)+(4， 2)=(m+4， 2m+2). =m+4+2(2m+2)=5m+8， =4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.， =2 . 与 的 夹 角 等 于 与 的 夹 角 ， = ， ，化

12、为 5m+8=4m+10， 解 得 m=2.答 案 ： 2.15.以 A 表 示 值 域 为 R 的 函 数 组 成 的 集 合 ， B表 示 具 有 如 下 性 质 的 函 数 (x)组 成 的 集 合 ： 对于 函 数 (x)， 存 在 一 个 正 数 M， 使 得 函 数 (x)的 值 域 包 含 于 区 间 -M， M.例 如 ， 当 1(x)=x3， 2(x)=sinx时 ， 1(x) A， 2(x) B.现 有 如 下 命 题 ： 设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 D， 则 “ f(x) A” 的 充 要 条 件 是 “ b R， a D， f(a)=b” ； 若 函 数 f

13、(x) B， 则 f(x)有 最 大 值 和 最 小 值 若 函 数 f(x)， g(x)的 定 义 域 相 同 ， 且 f(x) A， g(x) B， 则 f(x)+g(x)B. 若 函 数 f(x)=aln(x+2)+ (x -2， a R)有 最 大 值 ， 则 f(x) B.其 中 的 真 命 题 有 .(写 出 所 有 真 命 题 的 序 号 )解 析 ： (1)对 于 命 题 ，“ f(x) A” 即 函 数 f(x)值 域 为 R，“ b R， a D， f(a)=b” 表 示 的 是 函 数 可 以 在 R 中 任 意 取 值 ，故 有 ： 设 函 数 f(x)的 定 义 域

14、为 D， 则 “ f(x) A” 的 充 要 条 件 是 “ b R， a D， f(a)=b” 命 题 是 真 命 题 ； (2)对 于 命 题 ，若 函 数 f(x) B， 即 存 在 一 个 正 数 M， 使 得 函 数 f(x)的 值 域 包 含 于 区 间 -M， M. -M f(x) M.例 如 ： 函 数 f(x)满 足 -2 f(x) 5， 则 有 -5 f(x) 5， 此 时 ， f(x)无 最 大值 ， 无 最 小 值 . 命 题 “ 若 函 数 f(x) B， 则 f(x)有 最 大 值 和 最 小 值 .” 是 假 命 题 ；(3)对 于 命 题 若 函 数 f(x)，

15、 g(x)的 定 义 域 相 同 ， 且 f(x) A， g(x) B，则 f(x)值 域 为 R， f(x) (- ， + )，并 且 存 在 一 个 正 数 M， 使 得 -M g(x) M. f(x)+g(x) R.则 f(x)+g(x)B. 命 题 是 真 命 题 .(4)对 于 命 题 函 数 f(x)=aln(x+2)+ (x -2， a R)有 最 大 值 ， 假 设 a 0， 当 x + 时 ， 0， ln(x+2) + ， aln(x+2) + ， 则 f(x) + .与 题 意 不 符 ；假 设 a 0， 当 x -2时 ， ， ln(x+2) - ， aln(x+2) +

16、 ， 则 f(x) + .与 题 意 不 符 . a=0. 即 函 数 f(x)= (x -2)当 x 0 时 ， ， ， 即 ；当 x=0时 ， f(x)=0；当 x 0时 ， ， ， 即 . .即 f(x) B.故 命 题 是 真 命 题 .答 案 ： .三 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 共 75分 ) 16.(12分 )一 个 盒 子 里 装 有 三 张 卡 片 ， 分 别 标 记 有 1， 2， 3， 这 三 张 卡 片 除 标 记 的 数 字 外 完全 相 同 ， 随 机 有 放 回 地 抽 取 3次 ， 每 次 抽 取 1 张 ， 将 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 依

17、 次 记 为 a， b，c.( )求 “ 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 满 足 a+b=c” 的 概 率 ；( )求 “ 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 a， b， c不 完 全 相 同 ” 的 概 率 .解 析 ： ( )所 有 的 可 能 结 果 (a， b， c)共 有 3 3 3=27种 ， 而 满 足 a+b=c 的 (a， b， c有 计 3个 ， 由 此 求 得 “ 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 满 足 a+b=c” 的 概 率 .( )所 有 的 可 能 结 果 (a， b， c)共 有 3 3 3 种 ， 用 列 举 法 求 得 满 足 “ 抽 取 的 卡 片

18、 上 的 数 字a， b， c完 全 相 同 ” 的 (a， b， c)共 计 三 个 ， 由 此 求 得 “ 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 a， b， c 完 全相 同 ” 的 概 率 ， 再 用 1 减 去 此 概 率 ， 即 得 所 求 .答 案 ： ( )所 有 的 可 能 结 果 (a， b， c)共 有 3 3 3=27种 ，而 满 足 a+b=c 的 (a， b， c)有 (1， 1， 2)、 (1， 2， 3)、 (2， 1， 3)， 共 计 3 个 ， 故 “ 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 满 足 a+b=c” 的 概 率 为 = .( )满 足 “ 抽 取 的

19、卡 片 上 的 数 字 a， b， c 完 全 相 同 ” 的 (a， b， c)有 ：(1， 1， 1)、 (2， 2， 2)、 (3， 3， 3)， 共 计 三 个 ，故 “ 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 a， b， c完 全 相 同 ” 的 概 率 为 = ， “ 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 a， b， c 完 全 相 同 ” 的 概 率 为 1- = .17.(12分 )已 知 函 数 f(x)=sin(3x+ ).(1)求 f(x)的 单 调 递 增 区 间 ；(2)若 是 第 二 象 限 角 ， f( )= cos( + )cos2 ， 求 cos -sin 的 值

20、. 解 析 ： (1)令 2k - 3x+ 2k + ， k z， 求 得 x 的 范 围 ， 可 得 函 数 的 增 区 间 . (2)由 函 数 的 解 析 式 可 得 f( )=sin( + )， 又 f( )= cos( + )cos2 ， 可 得sin( + )= cos( + )cos2 ， 化 简 可 得 (cos -sin )2= .再 由 是 第 二 象 限 角 ，cos -sin 0， 从 而 求 得 cos -sin 的 值 .答 案 ： (1) 函 数 f(x)=sin(3x+ )， 令 2k - 3x+ 2k + ， k z，求 得 - x + ， 故 函 数 的 增

21、 区 间 为 - ， + ， k z.(2)由 函 数 的 解 析 式 可 得 f( )=sin( + )， 又 f( )= cos( + )cos2 ， sin( + )= cos( + )cos2 ， 即 sin( + )= cos( + )(cos 2 -sin2 )， sin cos +cos sin = (cos2 -sin2 )(sin +cos ).又 是 第 二 象 限 角 ， cos -sin 0，当 sin +cos =0 时 ， 此 时 cos -sin =- .当 sin +cos 0 时 ， 此 时 cos -sin =- .综 上 所 述 ： cos -sin =-

22、 或 - .18.(12分 )在 如 图 所 示 的 多 面 体 中 ， 四 边 形 ABB 1A1和 ACC1A1都 为 矩 形( )若 AC BC， 证 明 ： 直 线 BC 平 面 ACC 1A1；( )设 D、 E分 别 是 线 段 BC、 CC1的 中 点 ， 在 线 段 AB上 是 否 存 在 一 点 M， 使 直 线 DE 平 面 A1MC？请 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： ( )先 证 明 AA1 平 面 ABC， 可 得 AA1 BC， 利 用 AC BC， 可 以 证 明 直 线 BC 平 面 ACC1A1；( )取 AB的 中 点 M， 连 接 A1M， MC，

23、A1C， AC1， 证 明 四 边 形 MDEO为 平 行 四 边 形 即 可 .答 案 ： ( ) 四 边 形 ABB1A1和 ACC1A1都 为 矩 形 ， AA1 AB， AA1 AC， AB AC=A， AA 1 平 面 ABC， BC平 面 ABC， AA1 BC， AC BC， AA1 AC=A， 直 线 BC 平 面 ACC1A1；( )取 AB 的 中 点 M， 连 接 A1M， MC， A1C， AC1， 设 O 为 A1C， AC1的 交 点 ， 则 O 为 AC1的 中 点 . 连 接 MD， OE， 则 MD AC， MD= AC， OE AC， OE= AC， MD

24、OE， MD=OE，连 接 OM， 则 四 边 形 MDEO为 平 行 四 边 形 ， DE MO， DE平 面 A 1MC， MO平 面 A1MC， DE 平 面 A1MC， 线 段 AB 上 存 在 一 点 M(线 段 AB 的 中 点 )， 使 直 线 DE 平 面 A1MC.19.(12分 )设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 点 (an， bn)在 函 数 f(x)=2x的 图 象 上 (n N*)( )证 明 ： 数 列 bn为 等 比 数 列 ；( )若 a1=1， 函 数 f(x)的 图 象 在 点 (a2， b2)处 的 切 线 在 x轴 上 的 截 距 为 2-

25、， 求 数 列 anbn2的 前 n项 和 S n.解 析 ： ( )利 用 等 比 数 列 的 定 义 证 明 即 可 ；( )先 由 ( )求 得 an， bn， 再 利 用 错 位 相 减 求 数 列 anbn2的 前 n 项 和 Sn.答 案 ： ( )由 已 知 得 ， bn= 0，当 n 1 时 ， = = =2d， 数 列 b n为 首 项 是 ， 公 比 为 2d的 等 比 数 列 ；( )f (x)=2xln2 函 数 f(x)的 图 象 在 点 (a2， b2)处 的 切 线 方 程 为 y- = ln2(x-a2)， 在 x轴 上 的 截 距 为 2- ， a2- =2-

26、 ， a2=2， d=a 2-a1=1， an=n， bn=2n， anbn2=n4n， Tn=14+242+343+ +(n-1)4n-1+n4n，4Tn=142+243+ +(n-1)4n+n4n+1， Tn-4Tn=4+42+ +4n-n4n+1= -n4n+1= ， T n= . 20.(13分 )已 知 椭 圆 C： + =1(a b 0)的 左 焦 点 为 F(-2， 0)， 离 心 率 为 .( )求 椭 圆 C 的 标 准 方 程 ；( )设 O 为 坐 标 原 点 ， T为 直 线 x=-3上 一 点 ， 过 F 作 TF的 垂 线 交 椭 圆 于 P、 Q， 当 四 边 形

27、OPTQ是 平 行 四 边 形 时 ， 求 四 边 形 OPTQ的 面 积 .解 析 ： ( )由 题 意 可 得 ， 解 出 即 可 ；( )由 ( )可 得 F(-2， 0)， 设 T(-3， m)， 可 得 直 线 TF 的 斜 率 k TF=-m， 由 于 TF PQ， 可 得 直线 PQ的 方 程 为 x=my-2.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2).直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 可 得 根 与 系 数 的 关 系 .由 于 四 边 形 OPTQ 是 平 行 四 边 形 ， 可 得 ， 即 可 解 得 m.此 时 四 边 形 OPTQ的 面 积S= .答 案 ： (

28、)由 题 意 可 得 ， 解 得 c=2， a= ， b= . 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 ； ( )由 ( )可 得 F(-2， 0)，设 T(-3， m)， 则 直 线 TF的 斜 率 ， TF PQ， 可 得 直 线 PQ 的 方 程 为 x=my-2.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2).联 立 ， 化 为 (m2+3)y2-4my-2=0， 0， y 1+y2= ， y1y2= . x1+x2=m(y1+y2)-4= . 四 边 形 OPTQ 是 平 行 四 边 形 ， ， (x 1， y1)=(-3-x2， m-y2)， ， 解 得 m= 1.此 时 四 边 形 O

29、PTQ 的 面 积S= = .21.(14分 )已 知 函 数 f(x)=e x-ax2-bx-1， 其 中 a， b R， e=2.71828 为 自 然 对 数 的 底 数 .(1)设 g(x)是 函 数 f(x)的 导 函 数 ， 求 函 数 g(x)在 区 间 0， 1上 的 最 小 值 ；(2)若 f(1)=0， 函 数 f(x)在 区 间 (0， 1)内 有 零 点 ， 证 明 ： e-2 a 1.解 析 ： (1)求 出 f(x)的 导 数 得 g(x)， 再 求 出 g(x)的 导 数 ， 对 它 进 行 讨 论 ， 从 而 判 断 g(x)的单 调 性 ， 求 出 g(x)的

30、 最 小 值 ；(2)利 用 等 价 转 换 ， 若 函 数 f(x)在 区 间 (0， 1)内 有 零 点 ， 则 函 数 f(x)在 区 间 (0， 1)内 至 少 有三 个 单 调 区 间 ， 所 以 g(x)在 (0， 1)上 应 有 两 个 不 同 的 零 点 .答 案 ： f(x)=e x-ax2-bx-1， g(x)=f (x)=ex-2ax-b，又 g (x)=ex-2a， x 0， 1， 1 ex e， 当 时 ， 则 2a 1， g (x)=ex-2a 0， 函 数 g(x)在 区 间 0， 1上 单 调 递 增 ， g(x)min=g(0)=1-b； 当 ， 则 1 2a

31、 e， 当 0 x ln(2a)时 ， g (x)=e x-2a 0， 当 ln(2a) x 1 时 ， g (x)=ex-2a 0， 函 数 g(x)在 区 间 0， ln(2a)上 单 调 递 减 ， 在 区 间 ln(2a)， 1上 单 调 递 增 ，g(x)min=gln(2a)=2a-2aln(2a)-b； 当 时 ， 则 2a e， g (x)=ex-2a 0， 函 数 g(x)在 区 间 0， 1上 单 调 递 减 ， g(x)min=g(1)=e-2a-b，综 上 ： 函 数 g(x)在 区 间 0， 1上 的 最 小 值 为 ； (2)证 明 ： 由 f(1)=0， e-a-

32、b-1=0b=e-a-1， 又 f(0)=0，若 函 数 f(x)在 区 间 (0， 1)内 有 零 点 ， 则 函 数 f(x)在 区 间 (0， 1)内 至 少 有 三 个 单 调 区 间 ，由 (1)知 当 a 或 a 时 ， 函 数 g(x)在 区 间 0， 1上 单 调 ， 不 可 能 满 足 “ 函 数 f(x)在 区间 (0， 1)内 至 少 有 三 个 单 调 区 间 ” 这 一 要 求 .若 ， 则 gmin(x)=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e-1 令 h(x)= (1 x e)则 .由 0 x h(x)在 区 间 (1， )上 单 调 递 增 ， 在 区 间 ( ， e)上 单 调 递 减 ，= ， 即 gmin(x) 0 恒 成 立 ， 函 数 f(x)在 区 间 (0， 1)内 至 少 有 三 个 单 调 区 间 ，又 ， 所 以 e-2 a 1，综 上 得 ： e-2 a 1.