2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷（理工农医类）.pdf

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1、 绝密启用前 解密时间：2010 年 6 月 7 日 17：00 【考试时间：6 月 7 日 15：0017：00】 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 数学试题卷（理工农医类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷

2、上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）在等比数列 na 中，200720108aa = ，则公比 q的值为（ ） A、2 B、3 C、4 D、8 （2）已知向量 ba, 满足 2|,1|,0 = baba ，则 = |2| ba （ ） A、0 B、 22 C、4 D、8 （3） =2144lim22xxx（ ） A、 1 B、41 C、41D、1 （4）设变量 yx, 满足约束条件+,03,01,0yxyxy则 yxz += 2 的最大值为（ ）

3、A、 2 B、4 C、6 D、8 （5）函数xxxf214)(+= 的图象（ ） A、关于原点对称 B、关于直线 xy = 对称 题（ 6）图 11273yxO C、关于 x轴对称 D、关于 y 轴对称 （6）已知函数 )2|,0)(sin( xyyxyx ，则 yx 2+ 的最小值是（ ） A、3 B、4 C、29D、211（8）直线 233+= xy 与圆心为 D 的圆 )2,0(,sin31,cos33+=+=yx交于 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为（ ） A、 67B、 45C、 34D、 35（9）某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安

4、排 1 人，每人值班 1 天. 若 7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有（ ） A、504种 B、960种 C、108种 D、108种 （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A、直线 B、椭圆 C 、抛物线 D、双曲线 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数 ,1 iz += 则 =zz2_. （12）设 0|,3,2,1,02=+= mxxUxAU ，若 2,1=ACU，则实数=m

5、_. （13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_. （14）已知以 F 为焦点的抛物线 xy 42= 上的两点 BA、 满足 FBAF 3= ，则弦 AB 的中点到准线的距离为_. （15）已知函数 )(xf 满足： ),)()()()(4,41)1( Ryxyxfyxfyfxff += ，则=)2010(f _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16） （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分.） 设函数 Rxxxxf += ,2co

6、s2)32cos()(2 . （）求 )(xf 的值域； （）记 ABC 的内角 CB、A 的对边长分别为 cba 、 ，若3,1,1)( = cbBf ，求 a的值. （17） （本小题满分 13 分， （）小问 5 分， （）小问 8 分.） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1，2，6） ，求： （）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （）甲、乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望. 题（ 19）图 C B A D E P （18） （本小题满分 13 分， （）小问

7、5 分， （）小问 8 分.） 已知函数 )1ln(1)( += xaxxxf ，其中实数 1a . （）若 2=a ，求曲线 )(xfy = 在点 )0(,0( f 处的切线方程； （）若 )(xf 在 1=x 处取得极值，试讨论 )(xf 的单调性. （19） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分.） 如题（19）图，四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 为矩形， PA 底面 ABCD ，6= ABPA ，点 E 是棱 PB的中点. （）求直线 AD与平面 PBC 的距离； （）若 3=AD ，求二面角 DECA 的平面角的余弦值. xM 题（ 20）图 2l1

8、lyG E N H O （20） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分.） 已知以原点 O为中心， )0,5(F 为右焦点的双曲线 C 的离心率25=e . （）求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程； （）如题（20）图，已知过点 ),(11yxM 的直线 44:111=+ yyxxl 与过点 ),(22yxN（其中12xx ）的直线 44:222=+ yyxxl 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与两条渐近线分别交于 HG、 两点，求 OGH 的面积. （21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分.） 在数列 na 中， )(1

9、2(,1111+= Nnnccaaannn，其中实数 0c . （）求 na 的通项公式； （）若对一切Nk 有122 kkaa ，求 c的取值范围. 绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（理工农医类）答案 一选择题：每小题 5 分，满分 50 分. （1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）D （7）B （8）C （9）C （10）D 二填空题：每小题 5 分，满分 25 分. （11） i2 （12） 3 （13）53（14）38（15）21三解答题：满分 75 分. （16） （本题 13 分） 解：（） 1cos32sinsin32co

10、scos)( += xxxxf 1cossin23cos21+= xxx 1sin23cos21+= xx 1)65sin( += x ， 因此 )(xf 的值域为 2,0 . （）由 1)( =Bf 得 11)65sin( =+ B ，即 0)65sin( =+ B ，又因 x 时， 0)(/xf ；当 71 = babyax，则由题意25,5 =acec ， 因此 1,222= acba ， C的标准方程为 1422= yx. C的渐近线方程为 xy21= ，即 02 = yx 和 02 =+ yx . （）解法一：如答（20）图，由题意点 ),(EEyxE 在直线 44:111=+ yy

11、xxl 和 44:222=+ yyxxl 上，因此有 4411=+EEyyxx ， 4422=+EEyyxx ， 故点 M、N 均在直线 44 =+ yyxxEE上，因此直线 MN 的方程为 44 =+ yyxxEE. 设 G、H 分别是直线 MN 与渐近线 02 = yx 及 02 =+ yx 的交点， 由方程组=+02,44yxyyxxEE及=+=+,02,44yxyyxxEE解得EEHEEGyxyyxy22,22=+= . 设MN与 x轴的交点为 Q，则在直线 44 =+ yyxxEE中，令 0=y 得EQxx4= （易知)0Ex . 注意到 4422=EEyx ，得 2|4|2|4|2

12、121|4|2122=+=EEEEEEEEEHGOGHyxxxyxyxxyyOQS. 解法二：设 ),(EEyxE ，由方程组 =+=+,44,442211yyxxyyxx解得122121122112,)(4yxyxxxyyxyxyyxEE= ， 因12xx ，则直线 MN 的斜率EEyxxxyyk41212= . 故直线 MN 的方程为 )(411xxyxyyEE= ， 注意到 4411=+EEyyxx ，因此直线 MN 的方程为 44 =+ yyxxEE. 下同解法一. （21） （本题 12 分） （）解法一：由 ccccccaaa +=+=+=2222121)12(33,1 ， 232

13、33323)13(85 ccccccaa +=+=+= ， 34234434)14(157 ccccccaa +=+=+= ， 猜测+= Nnccnannn,)1(12. 下用数学归纳法证明. 当 1=n 时，等式成立； 假设当 kn = 时，等式成立，即12)1(+=kkkccka ，则当 1+= kn 时， )12()1()12(11211+=+=+kccckckccaakkkkkkkkkkcckcckk +=+=+ 12121)1()2( ， 综上， 12)1(+=nnnccna 对任何Nn 都成立. 解法二：由原式得 )12(11+=+ncacannnn. 令nnncab = ，则 )

14、12(,111+=+nbbcbnn，因此对 2n 有 112211)()()( bbbbbbbbnnnnn+=L cnn13)32()12( += L cn112+= ， 因此12)1(+=nnnccna ， 2n . 又当 1=n 时上式成立. 因此+= Nnccnannn,)1(12. （）解法一：由122 kkaa ，得 2212212221)12(1)2(+kkkkcckcck ， 因 022kc ，所以 01)144()14(222 ckkck . 解此不等式得：对一切Nk ，有kcc 或/kcc 对一切Nk 成立得 1c . 又 0)14(4)144()144(22222/kkaa

15、 ，得 2212212221)12(1)2(+kkkkcckcck ， 因 022kc ，所以 014)(4222+ ccckkcc 对Nk 恒成立. 记 14)(4)(222+= cccxxccxf ，下分三种情况讨论. （）当 02=cc 即 0=c 或 1=c 时，代入验证可知只有 1=c 满足要求. （）当 02cc 即 0c 时，抛物线 )(xfy = 开口向上，其对称轴 )1(21cx= 必在直线 1=x 的左边. 因此， )(xf 在 ),1 + 上是增函数. 所以要使 0)( kf 对Nk 恒成立，只需 0)1( f 即可. 由 013)1(2+= ccf 解得6131c . 结合 0c 得6131+c . 综合以上三种情况， c的取值范围为 ),1)6131,( + U .