2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷（文史类）.pdf

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1、绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学 (文史类) 数学试题卷（文史类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 l20 分钟。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的 （ 1）4(1)x+ 的展开式中2x 的系数为 （ A） 4 （ B） 6 （ C） 10 （ D） 20 （ 2）在等差数列 na 中，1910aa+=，则5a 的值为 （ A） 5 （ B） 6 （ C） 8 （ D） 10 （ 3）若向量 (3, )am= ， (2, 1)b=， 0ab=null ，则实数 m的值为 （

2、 A）32 （ B）32（ C） 2 （ D） 6 （ 4）函数 16 4xy =的值域是 （ A） 0, )+ （ B） 0,4（ C） 0,4) （ D） (0,4) （ 5）某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况， 用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人，则样本容量为 （ A） 7 （ B） 15 （ C） 25 （ D） 35 （ 6）下列函数中，周期为 ，且在 ,42 上为减函数的是 （ A） sin(2 )2yx=+ （ B） cos(2 )2yx= + （ C） sin(

3、 )2yx=+ （ D） cos( )2yx=+ （ 7）设变量 ,x y满足约束条件0,0,220,xxyxy 则 32zxy= 的最大值为 （ A） 0 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 6 （ 8）若直线 yxb=与曲线2cos,sinxy=+=（ 0,2 ) ）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为 （ A） (2 2,1) （ B） 2 2,2 2+ （ C） (,2 2)(2 2,) + +U （ D） (2 2,2 2)+ （ 9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （ A）只有 1 个 （ B）恰有 3 个 （ C）恰有 4 个 （ D）有无穷多个 （ 10）某单位拟安

4、排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2人，每人值班 1 天；若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有 （ A） 30 种 （ B） 36 种 （ C） 42 种 （ D） 48 种 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上 （ 11）设 |10, | 0Axx Bxx=+= ，则函数241ttyt+= 的最小值为 _ . （ 13）已知过抛物线24y x= 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点， 2AF = ，则 BF =_ _ . （ 14）加工某一零件需经

5、过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 _ . （ 15）如题（ 15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C ， 各段弧所在的圆经过同一点 P（点 P 不在 C上）且半径相等 . 设第 i 段弧所对的圆心角为 (1,2,3)ii = ，则23 2311cos cos sin sin33 33 +=_ . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分 . ） 已知 na 是首项为 19，公

6、差为 -2 的等差数列，nS 为 na 的前 n项和 . （）求通项na 及nS ； （）设 nnba 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb 的通项公式及其前 n项和nT . （ 17） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分 . ） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起 . 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2， 6） ，求： （）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率 . （ 18） （本小题满分 13 分） ， （）小问 5 分， （）小问 8

7、 分） 设 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c,且 32b +32c -32a =4 2 bc . ( ) 求 sinA 的值； ( )求2sin( )sin( )441cos2ABCA +的值 . (19) (本小题满分 12 分 ), ( )小问 5 分， ( )小问 7 分 .) 已知函数32()f xaxxbx=+(其中常数 a,b R), () () ()gx fx f x= + 是奇函数 . ( )求 ()f x 的表达式 ; ( )讨论 ()gx的单调性，并求 ()gx在区间上的最大值和最小值 . （ 20） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分

8、， （）小问 7 分 . ） 如题（ 20）图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形， PA底面 ABCD， 2PA AB=，点 E 是棱 PB的中点 . （）证明： AE 平面 PBC ； （）若 1AD= ，求二面角 B EC D 的平面角的余弦值 . （ 21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分 . ） 已知以原点 O为中心， (5,0)F 为右焦点的双曲线 C 的离心率52e= . （）求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程； （）如题（ 21）图，已知过点11(, )M xy的直线1l ： 1144xx yy+ = 与过点22(, )Nx y（

9、其中21x x ）的直线2l ：2244xx yy+ = 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交于 G 、 H 两点，求 OG OHuuur uuurnull 的值 . 参考答案 1-10 BADCB ACDDC 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上 （ 11）解析： |1 |0 |1 0xx xx x x Q ，当且仅当 1t = 时，min2y = （ 13）解析：由抛物线的定义可知12AF AA KF= = ABx 轴 故 AF = BF =2 （ 14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对

10、立事件公式得 加工出来的零件的次品率69 68 67 3170 69 68 70p = = （ 15）解析：23 23 12311cos cos sin sin cos33 33 3 += 又1232 +=，所以1231cos32 + += 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 16）解： （ I）因为 na 是首项为 ,191=a 公差 2=d 的等差数列， 所以 ,212)1(219 += nnan2)1(19+=nnnS （ II）由题意 ,31+=nnnab 所以 ,1+=nnbb .21320)331(21+=+=nnnnnnST L

11、（ 17） 解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在 6 个位置中的任两个，有3026=A 种等可能的结果。 （ I）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数” 则 A 包含的结果有 623=A 种， 故所求概率为 .51306)( =AP （ II）设 B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻” 则 B 表示甲、乙两单位序号相邻， B 包含的结果有 10!25 = 种。 从而 .3230101)(1)( = BPBP （ 18）解： （ I）由余弦定理得 ,3222cos222=+=bcacbA 又 .31cos1sin,02= xg 从而 )(xg 在区间 2,2 上是增函数。 由

12、前面讨论知， ,2,2,12,1)( 时取得能在上的最大值与最小值只在区间 =xxg 而.34)2(,324)2(,35)1( = ggg 因此上的最大值为在区间 2,1)(xg 324)2( =g ，最小值为 .34)2( =g （ 20） （ I）证明：如答（ 20）图 1，由 PA底面 ABCD，得 PA AB，由 PA=AB 知 PAB 为等腰直角三角形，又点 E 是棱 PB 的中点，故 AE PB 由题意知 BC AB，又 AB 是 PB 在面 ABCD 内的射影， 由垂线定理得 BC PB，从而 PC平面 PAB， 因 AE BP， AE BC，所以 AE平面 PBC。 （ II）

13、解：由（ I）知 BC平面 PAB，又 AD/BC， 得 AD平面 PAB，故 AD AE。 在 PABRt 中， PA=AB= 2 ， .1212122=+= ABPAPBAE 从而在 2.2,22=+= CDBCBECECBERt 又中 ， 所以 CED 为等边三角形， 取 CE 的中点 F，连接 DF，则 .CEDF 因 BE=BC=1，且 BC BE，则 EBC 为等腰直角三角形，连接 BF，则 BF CE， 所以 BFD 为所求的二面角的平面角。 连接 BD，在 RFD 中， .3,2221,263sin22=+= CDBCBDCEBFCDDF所以 .332cos222=+=BFDF

14、BDBFDFBFD 故二面角 B EC D 的平面角的余弦值为 .33 解法二： （ I）如答（ 20）图 2，以 A 为坐标原点，射线 AB、 AD、 AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正半轴，建立空间直角坐标系 A xyz. 设 D（ 0， a， 0） ，则 )0,2(),0,0,2( aCB )22,0,22(),2,0,0( EP . 于是 )0,0(),22,0,22( aBCAE = )2,2( = aPC 则 0,0 = PCAEBCAE ，所以 AE平面 PBC. （ II）解：设平面 BEC 的法向量为 n，由（ I）知， AE平面 BEC， 故可取 )22,0,22(

15、1= EAn 设平面 DEC 的法向量 ),(2222zyxn = ，则 02=DCn ， .02=DEn 由 | AD =1，得 )0,1,2(),0,1,0( CD 从而 ),22,1,22(),0,0,2( = DEDC 故=+=02222,02222zyxx所以 .2,0222yzx = 可取 )2,1,0(,122= ny 则 从而 .33|,cos212121=nnnnnn 所以二面角 B EC D 的平面角的余弦值为 .33 （ 21） （本题 12 分） 解： （ I）设 C 的标准方程是 )0,0(12222= babyax， 则由题意 .25,5 =acec 因此 ,1,2

16、22= acba C 的标准方程为 .1422= yxC 的渐近线方程为 .0202,21=+= yxyxxy 和即 （ II）解法一：如图（ 21）图，由题意点 ),(EEyxE 在直线 44:11=+ yyxxl 和 44:122=+ yyxxl 上，因此有EEExxyyxx211,44 =+ 442=+Eyy 故点 M、 N 均在直线 44 =+ yyxxEE上，因此直线 MN 的方程为 .44 =+ yyxxEE设 G、 H 分别是直线 MN 与渐近线 02 = yx 及 02 =+ yx 的交点， 由方程组=+=+=+,02,4402,44yxyyxxyxyyxxEEEE及 解得 .2224,22,24=+=+=EENEENEECEECyxyyxxyxyyxx故EEEEEEEEyxyxyxyxOGOG22222424+= .41222EEyx = 因为点 E 在双曲线 .44,142222=EEyxyx有上 所以 .341222=EEyxOHOG 解法二：设 ),(EEyxE ，由方程组得 =+=+,44,442211yyxxyyxx解得 ,)(4122121122112yxyxxxyyxyxyyxEE= 故直线 MN 的方程为 ).(411xxyxyyEE= 注意到 ,4411=+EEyyxx 因此直线 MN 的方程为 44 =+ yyxxEE， 下同解法一 .