2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试卷（理工农医类）.pdf

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1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学（理工农医类） 本试卷共4页，满分150 分，考试时间 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5

2、 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1、 已知 | (1, 0) (0,1), , | (1,1) ( 1,1), Paa m mRQbb n nR=+ =+是两个向量集合，则 PQ=I A 1，1 B. -1，1 C. 1，0 D. 0，1 2.设a 为非零实数，函数11(, )1axyxRxax a=+且 的反函数是 A、11(, )1axyxRxax a=+且 B、11(, )1axyxRxax a+= 且 C、1(, 1)(1 )xyxRxax+=且 D、1(, 1)(1 )xyxRxax= +且 3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m和 n

3、,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为 A、13B、14C、16D、1124. 函数 cos(2 ) 26yx=+的图象 F 按向量 a平移到F ,F 的函数解析式为 (),yfx=当 ()yfx= 为奇函数时，向量 a可以等于 .( , 2)6A .( ,2)6B .( , 2)6C .( , 2)6D5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 .18A .24B .30C .36D 6. 设2221201 2 21 22) .2nnnnnx aaxax ax ax+=+ +（ ，则024 2 135

4、21lim( . ) ( . ) nnnaaa a aaa a+ + = A. -1 B. 0 C. 1 D. 227. 已知双曲线22122xy = 的准线过椭圆22214xyb+ = 的焦点，则直线 2ykx=+与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A. 11,22KB. 11,22K +UC. 22,22KD. 22,22K +U8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和8 辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少

5、运输费用为 A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 9. 设球的半径为时间 t的函数 ( )Rt。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2 C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2 C 10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图 1 中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2 中的1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.12

6、25 D.1378 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 11. 已知关于 x的不等式11axx+0 的解集是1(,1)( ,)2 +U .则 a= . 12. 样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在 6,10)内的频数为 ，数据落在 2,10)内的概率约为 . 13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播 2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面

7、的距离约为 36000km.已知地球半径约为 6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号). 14.已知函数 () ( )cos sin ,4f xf x x=+则 ()4f的值为 . 15已知数列 na 满足：1am （m 为正整数） ，1,231,nnnnnaaaaa+=+当 为偶数时，当 为奇数时。若6a1 ，则 m 所有可能的取值为_。 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效） 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，

8、分别标有数 2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量xy ，求 的分布列和数学期望。 17 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知向量 (cos ,sin ), (cos ,sin ), ( 1,0)aaab c = = （）求向量 bc+ 的长度的最大值； （）设 a4= ，且 ()abc+，求 cos 的值。 18 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，

9、SD 平面 ABCD，SD=2a， 2ADa= 点E是SD 上的点，且 (0 2)DE a = 的对称轴上一点 ( )( ),0 0Aa a 的直线与抛物线相交于 M、 N两点，自 M、N 向直线 :lx a= 作垂线，垂足分别为1M 、1N 。 （）当2pa = 时，求证：1AM 1AN ； （）记1AMM 、11AM N 、1ANN 的面积分别为1S 、2S 、3S ，是否存在 ，使得对任意的 0a ，都有2212SSS= 成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 21.(本小题满分 14 分) （注意：在试题卷上作答无效） 在 R 上定义运算()()1:43pq pcqb bc=

10、+ （b、c 为实常数） 。记()212f c=， ()22f b=， R .令 ( ) ( ) ( )21fff =. （）如果函数 ( )f 在 1 = 处有极什43 ,试确定b、c 的值； （）求曲线 ()yf= 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点； （）记() ()( )|1 1gx f x x= 的最大值为 M .若 M k 对任意的 b、c 恒成立，试示 k的最大值。 2009 年高考湖北理科数学卷解析 1 【答案】A 【解析】因为 (1, ) (1 ,1 )amb nn=+rr代入选项可得( ) 1,1PQ= 故选 A. 2 【答案】D 【解析】同文 2 3 【答案】C 【解析

11、】因为22()()2( )mninmi mn n mi+=+为实数 所以22nm= 故 mn= 则可以取 1、2 6，共 6 种可能，所以1166616PCC= =4 【答案】B 【解析】同文科 7 5 【答案】C 【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一个班的有33A 种，所以种数是23 343 330CA A = 6 【答案】B 【解析】令 0x= 得2021()22nna = 令 1x= 时2012 22(1)2nnaaa a+=+令 1x= 时2012 22(1)2nnaaa a = + + 两式相加得：2202 222(

12、1)(1)2nnnaa a+ + =两式相减得：2213 2122(1)(1)2nnnaa a+ + + =代入极限式可得，故选 B 7 【答案】A 【解析】易得准线方程是2212axb= = =所以222 241cab b= 即23b = 所以方程是22143xy+ =联立2 ykx=+可得223 +(4k +16k) 4 0xx+ =由 0 可解得 A 8 【答案】B 【解析】同文 8 9.【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为34() ()3Vt R t= ，则2() 4 () ()cVt RtRt= ，由此可得4()() ()cR tRtR t= ，而球的表面积为2() 4 ()St

13、 R t= ， 所以2 () 4 () 8 () ()vSt Rt RtRt=表 ， 即228 ()()24 ()() ()() () ()ccvRtRt RtRt RtR tRt Rt表 ，故选 D 10.【答案】C 【解析】同文 10 11.【答案】-2 【解析】由不等式判断可得 a0 且不等式等价于1(1)( )0ax xa+ ， 222tan tan sin cos 22422 += = =+. 由于 (0,2 ，解得 2 = ，即为所求。 19.解析： （I）在11() 22nnnSa= + 中，令 n=1，可得1112nSa a=+=，即112a = 当 2n 时，2111 1 1

14、() 2 ()22nnnn nnnnnSa aSSaa = + = = + +， ， 11n1 112a ( ) , 2 12nnnnnaaa =+ = +n即2 . 2, 1, n2 1nnnnn nbabb b=+ =Qn即当 时，b . 又1121,ba=数列 nb 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 1( 1)1 2 ,2nnnnnbn naa=+ = = . (II)由（I）得11(1)()2nnnncann+=+，所以 2311 1 12 3() 4() ( 1)()22 2 2nnTn=+ + + + +K 234 11111 12() 3() 4() ( 1)()2222

15、 2nn+= + + + + +K 由-得23 1111 1 11() () () ( 1)()222 2 2nnnTn+=+ + + + +K 111111 ( ) 133421(1)(122212332nnnn nnnnT+=+ + = + =535(3)(21)321 2 21 2(21)nn nnnn nn nT+ +=+于是确定521nnTn+与 的大小关系等价于比较 221nn+与 的大小 由23452 2 1 1;2 2 2 1;2 2 3 1;2 2 4 1;2 2 5;+时， 证明如下： 证法1： （1）当 n=3 时，由上验算显示成立。 （2） 假设 1nk=+时12 2

16、2 2(2 1) 4 2 2( 1) 1 (2 1) 2( 1) 1kkkkk k k+=+=+=+g 所以当 1nk=+时猜想也成立 综合（1） （2）可知 ，对一切 3n 的正整数，都有 221.nn+ 证法 2：当 3n 时 012 1 01 12(11) 2221n n nn nnnnn n nnnn nCCC C CCCC C n n=+=+ + +=+K 综上所述，当 1, 2n= 时521nnTn+20 题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。 （14 分） 解：依题意，可设直线 MN 的方程为11 2 2,(,)

17、,(,)x my a M x y N x y= + ，则有 12(,),(,)M ay N ay 由22x my aypx=+=消去 x 可得2220y mpy ap= 从而有121222yy mpyy ap+= 于是212 12()22( )x xmyy a mpa+= + += + 又由2112ypx= ，2122ypx= 可得2221212 22()(2)44yy apx xapp= = （）如图 1，当2pa = 时，点 (,0)2pA 即为抛物线的焦点， l为其准线2px= 此时1112(,),(,),22PPMyNy并由 可得212yy p= 证法1：1112(,), (,)AMp

18、yANpy= =uuuuvuuvQ 22211 12 1 10,AM AN p y y p p AM AN =+= uuuuv uuuv即 证法2：1112,AM ANy yKKp p= =Q1121211221,AM ANyy pK K AM ANpp = = = 即. ()存在 4 = ，使得对任意的 0a ，都有22134SSS= 成立，证明如下： 证法 1：记直线 l与 x 轴的交点为1A ,则1OA OA a= = 。于是有 11111211112311 22)221211)22SMMAMxaySMNAayySNNANxay= = += = = = +（213 12 1 12 222

19、12 12 12 12 124( )()()( ) 4 ( ) SSSayy xayxayayy yy xxaxx ayy =+=+将、代入上式化简可得 222 2 2 2 2(4 8 ) 2 (2 4 ) 4 ( 2 )amp ap apampa apmpa+= + + 上式恒成立，即对任意22130, 4aSS=成立 证法 2：如图 2，连接11,MNNM,则由212 1 12, 2yy apy px= = 可得 1122211 122222OM ONypypyypKKxyyy apa= = = =,所以直线1MN 经过原点 O， 同理可证直线1NM 也经过原点 O 又1OA OA a=设

20、11 1 11 2 1 1 1 2, ,M AhNAhMMdN d= =则 1112 12 123 21,2()(), .22SdhS ahhahhSdh=+=+= （2）当 1()byfx=时，函数 得对称轴 x=b 位于区间 1,1 之外 此时 max ( 1), (1), ( )M gggb= 由2(1) ( 1) 4 , ( ) ( 1) ( 1) 0ff bfbf b = = m有 若 10, max(1),()bggb 则f(1) f(-1) f(b), g(-1) 于是2111max ( 1) , ( ) ( (1) ( ) ) ( (1) ( ) ) ( 1)222Mffbffbffbb = += 若 01b，则 f(=1) f(1) f(b)， max ( 1), ( )ggb g(1) 于是 21111max (1), () ( (1) () ( (1) () ( 1)222Mffbffbffbb = +=+ 综上，对任意的 b、c 都有12M 而当，10,2bc=时，21()2gx x= + 在区间 1,1 上的最大值12M = 故 M K 对任意的 b，c 恒成立的 k 的最大值为12