2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖南卷.pdf

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1、(1,1)(1,2)(2,2)x=1Oyx1y=2x-y=0绝密 启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 文科数学能力测试 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知 7,6,5,4,3,2=U ， 7,5,4,3=M ， 6,5,4,2=N ，则 ( ) A 6,4=NM .B MNU=U C UMNCu=U)( D. NNMCu=I)( 【答案】B 【解析】由 7,6,5,4,3,2=U ， 7,5,4,3=M ， 6,5,4,2=N ，易知 B 正确. 2 “ 21 = babyax的右

2、支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A (1, 2 B 2, )+ C (1, 2 1+ D 2 1, )+ + 【答案】C 【解析】200aex a xc= +Q20(1)aex ac = +2(1),aaeac+ 111 1 ,aece + =+2210,ee 12 12,e + 而双曲线的离心率 1,e (1, 2 1,e +故选. 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在横线上。 11已知向量 )3,1(=a ， )0,2(=b ，则 | ba+ |=_. 【答案】 【解析】由 (1, 3),| | 1 3 2.

3、ab ab+= += +=rr rrQ 12.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能否自理的情况如下表所示： 性别人数 生活能 否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 _人。 【答案】60 【解析】由上表得15000(23 21) 2 30 60.500 = 13记nxx )12( + 的展开式中第 m 项的系数为mb ，若432bb = ，则 n =_. 【答案】5 XyOPBA【解析】由211(2 ) ( ) 2 ,rnrrnrrnrrn nTCx Cxx+=得22 332,nnnnCC = 所以解得 5.n=

4、 14将圆 122=+ yx 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C，则圆 C 的方程是 _,若过点（ 3， 0）的直线 l和圆 C 相切，则直线 l的斜率为 _. 【答案】22(1) 1xy+=, 33 【解析】易得圆 C 的方程是22(1) 1xy+=, 直线 l的倾斜角为 30 ,150oo, 所以直线 l的斜率为3.3k = 15设 x 表示不超过 x 的最大整数， （如 145,22 = ） 。对于给定的+Nn , 定义 ),1,)1()1()1()2)(1(+= xxxxxxnnnnCxnLL则328C = _; 当 )3,2x 时，函数xC8的值域是 _。 【答案】16,3

5、28(,283【解析】328816,332C = 当 2x= 时，288728,21C=当 3x 时， 2,x = 所以887 28,32 3xC=故函数xC8的值域是28(,283. 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分 12 分） 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是21，且面试是否合格互不影响。求： （ I）至少一人面试合格的概率； （ II）没有人签约的概率。 解：用 A,B,C 分别表示事件

6、甲、乙、丙面试合格由题意知 A,B,C 相互独立， 且1() () () .2PA PB PC= （ I）至少有一人面试合格的概率是 1( )PABC 3171 ()()() 1() .28PAPBPC= = = （ II）没有人签约的概率为 ()()()PABC PABC PABC + + () () () () () () () () ()PA PB PC PA PB PC PA PB PC+ 3331113() () () .2228=+= 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 xxxxf sin2sin2cos)(22+= . （ I）求函数 )(xf 的最小正周期； （ II）当

7、 )4,0(0x 且524)(0=xf 时，求 )6(0+xf 的值。 解：由题设有 () cos sinf xxx= +=2sin( )4x+ （ I）函数 ()f x 的最小正周期是 2.T = （ II）由524)(0=xf 得0 422sin( ) ,45x += 即0 4sin( ) ,45x + = 因为 )4,0(0x ,所以0(,).442x+ 从而220043cos( ) 1 sin ( ) 1 ( ) .445xx+= += = 于是 )6(0+xf002sin( ) 2sin( ) 46 4 6xx =+= + 002sin( )cos cos( )sin 46 46xx

8、 =+ 433146322( ) .5252 10+=+= 18 （本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是边长为 1 的菱形，060=BCD ， E 是CD 的中点， PA 底面 ABCD， 3=PA 。 （ I）证明：平面 PBE平面 PAB； （ II）求二面角 A BE P 的大小。 解：解法一（ I）如图所示 , 连结 ,BD 由 ABCD是菱形且060=BCD 知， BCD 是等边三角形 . 因为 E 是 CD 的中点，所以 ,BECD 又 ,ABCD/ 所以 ,BEAB 又因为 PA 平面 ABCD， BE 平面 ABCD， 所以 ,BEPA 而

9、 ,ABA=IPA 因此 BE 平面 PAB. 又 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB. （ II）由（ I）知， BE 平面 PAB, PB平面 PAB, 所以 .PB BE 又 ,BEAB 所以 PBA 是二面角 A BE P 的平面角 在 Rt PAB 中 , tan 3, 60 .PAPBA PBAAB=o 故二面角 ABEP的大小为 60 .o解法二：如图所示 ,以 A 为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是 (000),A ， ， (1 0 0),B ， ，33(0),22C ，13(0),22D ， (0 0 3),P ， ，3(1 0).2E ， （ I

10、）因为3(0, 0),2BE =uuur， 平面 PAB 的一个法向量是0(0 1 0),n =uur， ， 所以BEuuur和0nuur共线 .从而 BE 平面 PAB. 又因为 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB. （ II） 易知3(1 0, 3), (0, 0),2PB BE= =uuuruur，设1nur111()x yz= ， 是平面 PBE 的一个法向量 , PA BCED则由1100nPBnBE=ur uuurur uuur，得11111103030002xyzxyz+ =+ +=，所以11 13.yxz=0， 故可取1nur(301).= ， ， 而平面 ABE

11、 的一个法向量是2(0 0 1).n =uur， ， 于是 ,1212121cos , .2|nnnnnn 。 （ I）求椭圆的方程； （ II）若存在过点 A（ 1， 0）的直线 l，使点 F 关于直线 l的对称点在椭圆上，求 的取值范围。 解： （ I）设椭圆的方程为22221( 0).xyabab+= 由条件知 2,c= 且22,ac= 所以2,a =2224.bac= = 故椭圆的方程是221( 4).4xy+=（ II）依题意 , 直线 l的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线 l的方程是 (1).ykx= 设点 (2 0)F ， 关于直线 l的对称点为00(),Fx ，y 则 0

12、0002(1)2212yxkykx+=，解得02022121xkkyk= +=+，因为点00()Fx ，y 在椭圆上，所以2222()()111.4kkk+ =即 422( 4) 2 ( 6) ( 4) 0.kk + += 设2,kt= 则22( 4) 2 ( 6) ( 4) 0.tt + += 因为 4, 所以2(4)0.(4)于是 , 当且仅当232 ( 6) ( 4)()2( 6)0.(4) = -4 ，上述方程存在正实根 ,即直线 l存在 . 解 () 得16,346.的所有 k 的值，并说明理由。 解： （ I）因为 ,2,021= aa 所以22311(1 cos ) 4 sin

13、4 4,aaa = +=+= 22422(1 cos ) 4 sin 2 4,aaa=+ + = = 一般地 , 当 21( )nkkN= 时， 2221 21 21(2 1) 2 11 cos 4 sin 4,kkkkkaaa+=+ + = + 即21 214.kkaa+=所以数列 21ka是首项为 0、公差为 4 的等差数列， 因此214( 1).kak= 当 2( )nkkN= 时，2222 2 21 cos 4 sin 2 ,kkkkkaaa+=+ + = 所以数列 2ka 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此22.kka = 故数列 na 的通项公式为22( 1), 2 1(

14、),2, 2( )nnnnkkNankkN =（ II）由（ I）知，13 2104 4( 1)2( 1),kkSaa a k kk=+ =+ = LL 2124 222 2 2 2,kkkkTaa a+=+ =+ = LL12 (1).22kkkkS kkWT=+于是10,W =21,W =33,2W =43,2W =55,4W =61516W = . 下面证明 : 当 6k 时， 1.kW 的所有 k 的值为 3,4,5. 21 （本小题满分 13 分） 已知函数43 219()42f xxxxcx= + +有三个极值点。 （ I）证明： 27 5c ()gx在 (,3) 上为增函数 ; 当 31x 时， () 0,gx ()gx在 (1, )+ 上为增函数 ; 所以函数 ()gx在 3x= 时取极大值 ,在 1x= 时取极小值 . 当 (3) 0g 或 (1) 0g 时 , () 0gx= 最多只有两个不同实根 . 因为 () 0gx= 有三个不同实根 , 所以 (3) 0g 且 (1) 0g ,且 139 0c+ + 且 5,c 且 23.a+ 即 31.a 故 5,a 或 31.a 反之 , 当 5,a 或 31a 时， 总可找到 ( 27,5),c 使函数 )(xf 在区间 ,2aa+ 上单调递减 . 综上所述 , a的取值范围是 (5)(3,1) U， .