2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-安徽卷.pdf

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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学（理科） 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题

2、卷上作答无效。 4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4 r2 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(A B)=P(A)+P(B) 球的体积公式 1+2+ +n2)1( +nnV=334R 12+22+ +n2=6)12)(1( + nnn其中 R 表示球的半径 13+23+n3=4)1(22+nn第卷 （选择题共 55 分） 一、选择题：本大题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)下列函数中

3、，反函数是其自身的函数为 (A) )+= ,0,)(3xxxf （ B） )+= ,)(3xxxf (C) ),(,)( += xcxfx(D) ),0(,1)( += xxxf (2)设 l,m,n 均为直线，其中 m,n 在平面 内， “ l ”是 lm 且“ ln”的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 (C)充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 (3)若对任意 x R,不等式 x ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是 (A)a -1 (B)a 1 (C) a 1 （ D） a 1 （4）若 a 为实数，iai212+- 2 I，则 a 等于 （A） 2 （B）- 2

4、 （C）2 2 （D）-2 2 （5）若 8222xxA= ， 1logR nullxxBx= ，则 )(CRBA 的元素个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （6）函数 )32sin(3)( xxf 的图象为 C 图象 C 关于直线 1211=x 对称; 函灶 )(xf 在区间 )125,12( 内是增函数; 由 xy 2sin3= 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 C . （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7）如果点 P 在平面区域+02012022yxyxyx上，点 Q 在曲线 1)2(22=+ yx 上，那么 QP 的最小值为 （A） 15 （B） 154 （C

5、） 122 （ D） 12 （ 8）半径为 1 的球面上的四点 DCBA , 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点间的球面距离为 （A） )33arccos( （B） )36arccos( （C） )31arccos( （D） )41arccos( （9）如图，1F 和2F 分别是双曲线 )0,0(12222nullnull babrax= 的两个焦点， A 和 B 是以 O为圆心，以1FO 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A） 3 （B） 5 （C）25（D） 31+ （10）以 )(x 表示标准正态总体在区间（ x, ）内取值的概率，若

6、随机变量 服从正态分布 ),(2N ，则概率 )( P 等于 （A） )( + - )( （B） )1()1( （C） )1(（D） )(2 （11）定义在 R 上的函数 )(xf 既是奇函数，又是周期函数， T 是它的一个正周期.若将方程 0)( =xf 在闭区间 TT, 上的根的个数记为 n ，则 n 可能为 （A）0 （B）1 （C）3 （D）5 绝密启用前 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科) 第卷 (非选择题 共 95 分 ) 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答 ,在试题卷上书写作答无效. 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 4

7、 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若 (2x3+x1)a的展开式中含有常数项 ,则最小的正整数 n 等于 . （ 13）在四面体 O-ABC 中， DcOCbOBaAB , = 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 OE = （用 a， b， c 表示） . （ 14）如图，抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2, ,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1， Q2， Qn-1，从而得到 n-1 个直角三角形 Q1OP1, Q2P1P2, , Qn-1Pn-1Pn

8、-1,当 n时，这些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号） . 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 79 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 16） （本小题满分 12 分） 已知 0 a )82cos()(,4+= xxf为 的最小正周期， ),1),41(tan( += aa 求sincos)(2sinc

9、os22+. (17) (本小题满分14分) 如图，在六面体 ABCD A1B1C1D1中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 A1B1C1D1是边长为 1 的正方形， DD1平面 A1B1C1D1， DD1平面 ABCD， DD1 2. （）求证： A1C1 与 AC 共面， B1D1 与 BD 共面； （）求证：平面 A1ACC1平面 B1BDD1； （）求二面角 A BB1 C 的大小（用反三角函数值圾示） . (18) (本小题满分14分) 设 a 0， f (x)=x 1 ln2 x 2a ln x（ x0） . （）令 F（ x） xf （ x） ，讨论 F（ x）在

10、（ 0.）内的单调性并求极值； （）求证：当 x1 时，恒有 xln2x 2a ln x 1. (19) (本小题满分12分) 如图，曲线 G 的方程为 y2=20（ y 0） .以原点为圆心，以 t（ t 0）为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. （）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关 系式； （）设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a 2，求证： 直线 CD 的斜率为定值 . (20) (本小题满分13分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼

11、内共有 8 只蝇子： 6 只果蝇和 2 只苍蝇） ，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔 .以 表示笼内还剩下的果蝇的只数 . （）写出的分布列（不要求写出计算过程） ； （）求数学期望 E ； （）求概率 P（ E ） . (21) (本小题满分14分) 某国采用养老储备金制度 .公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（ d0） ，因此，历年所交纳的储务金数目 a1， a2，是一个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利 .这就是说，如果固定年利率为 r（

12、 r0） ，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（ 1 r）a 1，第二年所交纳的储备金就变为 a2（ 1 r）a 2，以 Tn表示到第 n年末所累计的储备金总额 . （）写出 Tn与 Tn 1（ n 2）的递推关系式； （）求证： Tn An Bn，其中 An是一个等比数列， Bn是一个等差数列 . 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 55 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 12 7 1

13、3111244+abc 141315 三、解答题 16本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力本小题满分 12 分 解：因为 为() cos28fx x=+的最小正周期，故 = 因 m=ab ，又1cos tan 24= +ab 故1cos tan 24m+=+ 由于04， ， 故 () () 2ln 2 0Fx xf x x x a x=+， ， 于是22() 1 0xFx xxx = = ， ， 列表如下： x (0 2)，2 (2 )+，()Fx 0 + ()Fx null 极小值 (2)Fnull 故知 ()Fx在 (0 2)， 内是减函数，在

14、 (2 )+， 内是增函数，所以，在 2x = 处取得极小值(2) 2 2ln 2 2Fa= + （）证明：由 0a 知， ()Fx的极小值 (2) 2 2ln 2 2 0Fa= + 于是由上表知，对一切 (0 )x+， ，恒有 () () 0Fx xf x= 从而当 0x 时，恒有 () 0fx ，故 ()f x 在 (0 )+， 内单调增加 所以当 1x 时， () (1) 0fx f=，即21ln 2ln 0xxax + 故当 1x 时，恒有2ln 2 ln 1x xax + 19本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲

15、线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力本小题满分 12 分 解： （）由题意知， (2)A aa， 因为 OA t= ，所以222aat+= 由于 0t ，故有22taa= + （ 1） 由点 (0 ) ( 0)B tCc， ， 的坐标知， 直线 BC 的方程为 1xyct+= 又因点 A 在直线 BC 上，故有21aact+=， 将（ 1）代入上式，得21(2)aacaa+=+， 解得 22(2)ca a=+ + （）因为 ( 2 2( 2)Da a+， ，所以直线 CD 的斜率为 2( 2) 2( 2) 2( 2)122 ( 2 2( 2) 2( 2)CDaa akaca

16、a a a+= = =+ + + + 所以直线 CD 的斜率为定值 20本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力本小题满分 13 分 解： （） 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 P 728628528428328228128（）数学期望为2(1 6 2 5 3 4) 228E = + = （）所求的概率为54321 15()(2)28 28PEP + += = x yBAO a 2a+ D2:2Gy x=21本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型

17、的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力本小题满分14 分 解： （）我们有1(1 ) ( 2)nn nTT ran=+ （）11Ta= ，对 2n 反复使用上述关系式，得 2121(1 ) (1 ) (1 )nn nn n nTT raT r a ra=+=+=null 1212 1(1 ) (1 ) (1 )nnnnar ar a ra=+ + + +null ， 在式两端同乘 1 r+ ，得 1212 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnnnnrT a r a r a r a r+=+ +null ，得121(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnnn nrT a r d r r r a=+ + +null 1(1 ) 1 (1 )nnndrrarar=+ 即1122(1 )nnar d ar ddTrnrr+=+ 如果记12(1 )nnar dA rr+=+，12nar d dB nrr+= ， 则nnnTAB=+ 其中 nA 是以12(1 )ar drr+ 为首项，以 1( 0)rr+ 为公比的等比数列； nB 是以12ar d drr+为首项，dr 为公差的等差数列