2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学试卷—文史类.pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统 一考试（湖南卷）文史类 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页时量 120 分钟，满分 150 分 参考公式（ 1）柱体体积公式 VSh= ，其中 S 为底面面积， h为高 （ 2）球的体积公式343VR= ，其中 R为球的半径 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 1,2,3,4,5, 2,4,UUMN MCN= =UI则 N =（ ） A 1, 2, 3 B 1, 3, 5 1, 4, 5 2,3, 4 答案： B 解析：画出韦恩图，可知 N = 1,3,5。

2、 若 ,ab Ri 为虚数单位，且 ()aiibi+ =+，则 1, 1ab= 1, 1ab= = 1, 1ab= = 1, 1ab= = 答案： C 解析：因 ()1aii aibi+=+=+，根据复数相等的条件可知 1, 1ab= = 。 1|1xx是 的 A充分不必要条件 必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 解析：因 1|1xx ，反之 | | 1 1 1xxx 。 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A 942 + 36 18 + 9122 + 9182 + 答案： D 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积343 9+3

3、 3 2= 1832 2V =+（） 。 5通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 3 32正视图 侧视图 俯视图 图 1 由2 222( ) 110 (40 30 20 30)7.8( )( )( )( ) 60 50 60 50nad bcKKabcdacbd=+ 算得, 附表： 2()PK k 0 050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B 有

4、 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C 在犯错误的概率不超过 0 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D 在犯错误的概率不超过 0 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案： A 解析：由27.8 6.635K ，而2( 6.635) 0.010PK =，故由独立性检验的意义可知选A. 6设双曲线2221( 0)9xyaa=的渐近线方程为 32 0,xy = 则 a的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3yxa= ，故可知 2a = 。 7曲线sin 1sin cos 2xyxx=+在点 (,0)4M处的切

5、线的斜率为（ ） A12 B12C22 D22答案： B 解析：22cos (sin cos ) sin (cos sin ) 1(sin cos ) (sin cos )xx x xx xyx xxx+ =+，所以 2411|2(sin cos )44xy=+。 8已知函数2() 1, () 4 3,xfx e gx x x= =+若有 () (),f agb= 则 b 的取值范围为 A 2 2,2 2+ B (2 2,2 2)+ C 1, 3 D (1, 3) 答案： B 解析：由题可知 () 1 1xfx e=，22() 4 3 ( 2) 1 1gx x x x=+= +，若有() ()

6、,f agb= 则 () (1,1gb ，即243 1bb +，解得 22 22b ，故有 2 个交点。 10已知某试验范围为 10， 90，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是 答案： 40 或 60（只填一个也正确） 解析：有区间长度为 80，可以将其等分 8 段，利用分数法选取试点：1510 (90 10) 608x =+ = ，210 90 60 40x =+=，由对称性可知，第二次试点可以是 40 或 60。 (二 )必做题（ 11-16 题） 11 若执行如图 2 所示的框图，输入12341, 2, 4, 8,xx x x=则输出的数等于 答案：154解析：由框图功能

7、可知，输出的数等于12341544xxxxx+=。 12 已知 ()f x 为奇函数，() () 9, (2) 3, (2)gx fx g f=+= =则 答案： 6 解析： ( 2) ( 2) 9 3, ( 2) 6gf f=+= =则 ， 又 ()f x 为奇函数，所以 (2) ( 2) 6ff= = 。 13设向量 ,abrr满足 |25, (2,1),ab=rr且 abr r与 的方向相反，则 ar的坐标为 开始 输入1234,x xxx 1, 0ix= = ix xx= +4?i 在约束条件1yxymxx y+下，目标函数 5zx y= + 的最大值为 4，则 m 的值为 答案： 3

8、 解析：画出可行域，可知 5zx y=+ 在点1(,)11mmm+取最大值为 4，解得 3m= 。 15已知圆22:12,Cx y+=直线 : 4 3 25.lx y+ = （ 1）圆 C 的圆心到直线 l的距离为 (2) 圆 C 上任意一点 A到直线 l的距离小于 2 的概率为 答案： 5，16解析： （ 1）由点到直线的距离公式可得2225543d = =+； （ 2） 由 （ 1） 可知圆心到直线的距离为 5， 要使圆上点到直线的距离小于 2， 即1:4 3 15lxy+=与圆相交所得劣弧上，由半径为 23，圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为3，故所求概率为1326P=. 16

9、、给定*kN ，设函数*:f NN 满足：对于任意大于 k 的正整数 n， ()f nnk= （ 1）设 1k = ，则其中一个函数 f 在 1n= 处的函数值为 ； （ 2）设 4k = ，且当 4n 时， 2()3fn，则不同的函数 f 的个数为 。 答案： （ 1） ()aa为正整数 ， （ 2） 16 解析： （ 1） 由题可知*()f nN ， 而 1k = 时， 1n 则*() 1f nn N= ， 故只须*(1)f N ，故 (1) ( )faa= 为正整数 。 （ 2 ）由题可知 4k = ， 4n 则*() 4f nn N= ，而 4n 时， 2()3fn即() 2,3fn

10、，即 1, 2, 3, 4n ， () 2,3fn ，由乘法原理可知，不同的函数 f 的个数为4216= 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 在 ABCnull 中，角 ,A BC所对的边分别为 ,abc且满足 sin cos .cAaC= （ I）求角 C 的大小； （ II）求 3sin cos( )4AB+的最大值，并求取得最大值时角 ,AB的大小 解析： （ I）由正弦定理得 sin sin sin cos .CA AC= 因为 0,A = =从而 又 所以 则 （ II）由（ I）知3.4B A=

11、于是 3 sin cos( ) 3 sin cos( )43sin cos 2sin( ).63110, , , ,46 612 62 3AB A AAA AAA AA += =+=+530)=P(X210)=故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率为310 19 （本题满分 12 分） 如图 3，在圆锥 PO中，已知 2,PO O= null 的直径null2, ,ABCAB DAC=o点 在 上,且 CAB=30 为 的中点 （ I）证明： ;ACPOD平面 （ II）求直线和平面 PAC 所成角的正弦值 解析： （ I）因为,OA OC D

12、 AC=是 的中点,所以AC OD. 又,.PO O AC O AC OD nullnull底面 底面 所以PO是平面 POD内的两条相交直线，所以;ACPOD平面 （ II）由（ I）知， ,ACPOD平面 又,AC PAC平面 所以平面 ,POD PAC平面 在平面 POD中，过 O作 OH PD 于H, 则,OH PAC平面 连结 CH ，则 CH 是 OC PAC在平面 上的射影，所以 OCH 是直线OC 和平面 PAC 所成的角 在221222,3124PO ODRt POD OHPO OD=+nullnull 中 在2,sin3OHRt OHC OCHOC=null 中 20 （本

13、题满分 13 分） 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M， M 的价值在使用过程中逐年减少，从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75% （ I）求第 n 年初 M 的价值na 的表达式； （ II）设12,nnaa aAn+=L若nA 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对M 更新，证明：须在第 9 年初对 M 更新 解析： （ I）当 6n 时，数列 na 是首项为 120，公差为 10 的等差数列 120 10( 1) 130 10 ;nan n= = 当 6n 时，

14、数列 na 是以6a 为首项，公比为34为等比数列，又670a = ，所以 6370 ( ) ;4nna= 因此，第 n年初， M 的价值na 的表达式为6120 10( 1) 130 10 , 6370 ( ) , 74nnnnnnaan = = (II)设nS 表示数列 na 的前 n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当 16n时， 120 5 ( 1), 120 5( 1) 125 5 ;nnSnnA n n= 当 7n 时，66678633 3( ) 570 70 4 1 ( ) 780 210 ( )44 43780 210 ( )4.nnnnnnSSaa aAn =+ = + =

15、 =L因为 na 是递减数列，所以 nA 是递减数列，又86 968933780 210 ( ) 780 210 ( )47 794482 80, 76 80,864 99AA =0,g(x)=0 的两根都小于 0，在 (0, )+ 上， ( ) 0fx ，故() (0, )fx +在 上单调递增 (3) 当 2a null时,0,g(x)=0 的两根为221244,aa aaxx +=， 当10 x x ；当12x xx 时， ( ) 0fx ，故 ()f x 分别在12(0, ),( , )xx+ 上单调递增，在12(, )x x 上单调递减 （ II）由（ I）知， 2a 因为12121

16、2 1212() () ( ) (ln ln )xxf xfxxx axxxx=+ ，所以 12 1212 12 12() () ln ln11f xfx x xkaxx xx xx=+null 又由 (I)知，121xx = 于是1212ln ln2x xkax x=null 若存在 a，使得 2.ka=则1212ln ln1xxxx=即1212ln lnx xxx =亦即222212ln 0( 1)(*)xxxx = 再由（ I）知，函数1() 2lnht t tt= 在 (0, )+ 上单调递增，而21x ，所以222112ln 1 2ln1 0.1xxx =这与 (*)式矛盾故不存在 a，使得 2.ka=