2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学试卷.pdf

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1、绝密启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考试结束后， 考试注意 ： 1答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证 号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致. 2.第 I 卷每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答

2、题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据（11, yx ） ， （22, yx ） ，.， （nnyx , ） 的线性相关系数 =niiniiniiiyyxxyyxxr12121)()()(其中 nxxxxn+=.21nyyyyn+=.21锥体的体积公式 13VSh= 其中 S 为底面积， h为高 第卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分 ，共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1） 若iiz21+= ,则复数z = ( ) A. i2 B. i+2 C. i2 D. i+2

3、 答案： C 解析： iiiiiiiz =+=+= 21222122（2） 若集合 02|,3121| =+=xxxBxxA ,则 BA = ( ) A. 01| +0,211120,012log21xxx（4） 若xxxxf ln42)(2= ,则 0)( xf 的解集为 ( ) A. (0, + ) B. (-1,0)(2, + ) C. (2, + ) D. (-1,0) 答案： C 解析：()()() 2,012,0,02,04222+=xxxxxxxxxxfQ（5） 已知数列 na 的前 n项和nS 满足:mnmnSSS+=+ ,且 11=a ,那么 =10a ( ) A. 1 B.

4、 9 C. 10 D. 55 答案： A 解析： 11,41,31,2104314321321212=+=+=+=aaSSSaSSSaSaaSLQQQ（6） 变 量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对 应的一组数据为(10,5),(11.3,4） ， （11.8,3） ， （12.5,2） ， （13,1).1r 表示变量Y与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V与U 之间的线性相关系数,则 ( ) A. 0129,输出。 （ PS:此题实质是 2010 江苏理科卷第 7 题得翻版，同时在我们寒假题海

5、班，理科讲义的第 200 页的第 6 题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到，应该也是灰常熟悉的。并且框图本来就是你们的拿手菜，所以最对也不觉奇怪。 ） 14.若椭圆 12222=+byax的焦点在 x 轴上，过点 )21,1( 作圆 122=+ yx 的切线，切点分别为A， B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 答案： 14522=+yx解析：设过点（ 1，21）的直线方程为：当斜率存在时，21)1( += xky ， 根据直线与圆相切，圆心（ 0,0）到直线的距离等于半径 1 可以得到 k=43 ,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标 （54,53） ， 当斜率不存在

6、时， 直线方程为： x=1， 根据两点 A：（ 1,0） ， B：（54,53）可以得到直线： 2x+y-2=0,则与 y 轴的交点即为上顶点坐标（ 2,0） 2=b ，与 x 轴的交点即为焦点 1=c ，根据公式 5,5222=+= acba ，即椭圆方程为： 14522=+yx（ PS:此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐。但是，是不是就做不出来呢，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在理科教材第 147页第 23 题。所以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么？） 三 .选做题：请考生在下列两题中任选一题作答 .若两题都做，则按做的第

7、一题评阅计分 .本题共 5 分 . 15（ 1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为 cos4sin2 += ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 . 答案： 02422=+ yxyx 。解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点： 1、 sin,cos = yx ， 2、222yx += 即可。根据已知 cos4sin2 += = ,4y2,42222yxxxy+=+=+ 化简可得： 所以解析式为： 02422=+ yxyx 15 (2).(不等式选择题）对于实数x，y，若 11 x ， 12 y ，则 12 + yx 的最大值为 .

8、（ 2）此题，看似很难，但其实不难，首先解出 x 的范围， 20 x ，再解出 y 的范围， 31 y ，最后综合解出 x-2y+1 的范围 1,5 ，那么绝对值最大，就去 5 （ PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出。所以高考注重的还是基础 +基础！ ） 四 .本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 12 分） 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别 .公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品

9、尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 .若 4 杯都选对，则月工资定为 3500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为 2100 元 .令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数 .假设次人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 . （ 1）求 X 的分布列； （ 2）求此员工月工资的期望 . 解答： （ 1）选对 A 饮料的杯数分别为 0= ， 1= ， 2= ， 3= ， 4= ， 其概率分布分别为： ()7010484404=CCCP ， ()70161483414=CCCP ， ()70362482424=CCCP ，()70163481434=CCC

10、P ， ()7014484404=CCCP 。 （ 2） () 2280210070170167036280070163500701=+= 。 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 CBA , 的对边分别是 cba , ，已知2sin1cossinCCC =+ . （ 1）求 Csin 的值； （ 2）若 8)(422+=+ baba ，求边 c的值 . 解： （ 1）已知2sin1cossinCCC =+ 2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin22222CCCCCCC+=+ 整理即有： 012sin22cos22sin02sin2sin22cos2sin22=

11、+=+CCCCCCC又 C 为 ABC 中的角， 02sin C412sin2cos2cos2sin2412cos2sin212cos2sin222=+=CCCCCCCC43sin432cos2sin2 = CCC（ 2） ()8422+=+ babaQ ( ) ( ) 2,2022044442222=+=+ babababa 又47sin1cos2= CCQ ， 17cos222=+= Cabbac 18.（本小题满分 12 分） 已知两个等比数列 na ， nb ，满足 3,2,1),0(3322111= abababaaa . （ 1）若 a =1，求数列 na 的通项公式； （ 2）若

12、数列 na 唯一，求 a的值 . .解： （ 1） 当 a=1 时，332213,2,21 ababab +=+=+= ， 又 nnba ,Q 为等比数列， 不妨设 na公比为1q ，由等比数列性质知： ( )322312232)2( aabbb +=+= ，同时又有()( ) ( ) ( ) 22322322,121212112112113112=+=+=+= qqqqaqaqaaqaa 所以： ()1,221=nann（ 2 ） na 要唯一， 当公比 01q 时，由332213,2,21 ababab +=+=+= 且=3122bbb ()()( ) 01343121212121=+=+

13、 aaqaqaqaaq ， 0aQ ， 0134121=+ aaqaq 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） () ( ) ( )014013442+ aaaaa ，此时满足条件的 a 有无数多个，不符合。 当公比 01=q 时，等比数列 na 首项为 a ，其余各项均为常数 0 ，唯一，此时由()()( ) 01343121212121=+=+ aaqaqaqaaq ，可推得31,013 = aa 符合 综上：31=a 。 19.（本小题满分 12 分） 设 .22131)(23axxxxf += （ 1）若 )(xf 在 ),32( + 上存在单调递增区间，求 a的取值范围； （

14、2）当 20 += aaf （ 2）已知 0=+= aaf ( ) ,012224164+=+= aaf ， () 083408162164314 = babyax上一点， NM, 分别是双曲线 E的左、右定点，直线 PNPM, 的斜率之积为51. （ 1）求双曲线的离心率； （ 2）过双曲线 E的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 BA, 两点， O为坐标原点， C为双曲线上的一点，满足 OBOAOC += ，求 的值 . 解： （ 1）已知双曲线 E： ()0,012222= babyax， ( )00, yxP 在双曲线上， M， N 分别为双曲线E 的左右顶点，所以 ()0,aM ，

15、 ( )0,aN ，直线 PM ， PN 斜率之积为1551220220220200000=+=ayaxaxyaxyaxyKKPNPM而 1220220=byax，比较得5305651222222=+=aceabacab （ 2）设过右焦点且斜率为 1 的直线 L： cxy = ，交双曲线 E 于 A， B 两点，则不妨设()()2211, yxByxA ，又 ( )2121, yyxxOBOAOC +=+= ，点 C 在双曲线 E 上： ()() ( ) ( )222222121212122221221510255 ayxyyxxyxayyxx =+=+ *（ 1） 又 联立直线 L 和双曲

16、线 E 方程消去 y 得： 05104222=+ accxx 由韦达定理得：452221acxx+= ， ()222222121212545ccaccxxcxxyy +=+= 代入 （ 1）式得： 4-027127222222=+ ，或aaaaa 21.（本小题满分 14 分） （ 1）如图，对于任一给定的四面体4321AAAA ，找出依 次排列的四个相互平行的平面 4321, ，使 得iiA （ i=1,2,3,4） ，且其中每相邻两个平面间 的距离都相等； （ 2）给定依次排列的四个相互平行的平面4321, ，其中每相邻两个平面间的距离为 1，若一个正四面体4321AAAA 的四个顶点满足

17、：iiA （ i=1,2,3,4） ，求该正四面体4321AAAA 的体积 . 解： （ 1） 将直线41AA 三等分， 其中另两个分点依次为32, AA ,连接3322, AAAA ,作平行于3322, AAAA 的平面，分别过3322, AAAA ，即为32, 。同理，过点41, AA 作平面41, 即可的出结论。 （ 2）现设正方体的棱长为 a,若 则有,11= MNMA ，211aMA = ， aEADAED2521121111=+= ，由于 ,1111111EDMAEADA = 得， 5=a ， 那么，正四面体的棱长为 102 = ad ，其体积为355313= aV （即一个棱长为 a 的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）