2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（文史类）.pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 棱柱的体积公式 VSh= ( ) ()

2、()PA B PA PB= + 其中 S 表示棱柱的底面面积。 h表示棱柱的高。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1 i是虚数单位，复数131ii= A 2 i B 2 i+ C 12i D 12i+ 2设变量 x， y 满足约束条件1,40,340,xxyxy+则目标函数 3zxy= 的最大值为 A -4 B 0 C43D 4 3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 -4，则输出 y 的值为 A ,0 5 B 1 C 2 D 4 4设集合 |20, |0A x Rx B x Rx= = ， 则“ x AB”是“ x C ”的 A充分而不必要条件

3、 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 5已知244log 3.6, log 3.2, log 3.6abc=则 A abc B acb C bac D cab 6已知双曲线22221( 0, 0)xyabab=的左顶点与抛物线22( 0)ypxp= 的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（ -2， -1） ，则双曲线的焦距为（ ） A 23 B 25 C 43 D 45 7已知函数 () 2sin( ),f xxxR =+，其中 0, , ( )f x 设函数2() ( 2) ( 1),f xx xxR= 。若函数 ()yfxc=的图象

4、与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ） A (1,1 (2, )+ B (2,1 (1,2 C (,2)(1,2 D -2， -1 第卷 注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知集合 |12,A xRx Z= 的左、右焦点分别为 F1， F2。点 (,)Pab满足212| |.PF F F= （）求椭圆的离心率 e； （）设直线 PF2与椭圆相交于 A， B 两点，若直线 PF2与圆22(1)( 3)16xy+ + =相交于M， N 两点，且5|8M

5、NAB= ，求椭圆的方程。 19 （本小题满分 14 分）已知函数32() 4 3 6 1,f x x tx tx t x R= +，其中 tR （）当 1t = 时，求曲线 ()yfx= 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （）当 0t 时，求 ()f x 的单调区间； （）证明：对任意的 (0, ), ( )tfx+ 在区间 (0,1) 内均存在零点 20 （本小题满分 14 分） 已知数列 nnab与 满足1*11 13(1)(2) 1, , , 2.2nnnn nn nba ba b nN a+ = + = =且 （）求23,aa的值； （）设*21 21,nn nca anN+=

6、 ，证明 nc 是等比数列； （）设nS 为 na 的前 n项和，证明*21 21212 2121().3nnnnSSSSnnNaa a a+ + L 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 40 分。 1 4ADCC 5 8BBAB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 30 分。 9 3 10 4 11 110 12 18 137214 5 三、解答题 （ 15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分 13 分。 （）解：

7、4， 6， 6 （） （ i）解：得分在区间 20,30) 内的运动员编号为3 4 5 10 11 13, , , .AAAA A A从中随机抽取 2人，所有可能的抽取结果有： 3 4 35 310 31 313 45 , , , , , , , , , , , ,AA AA AA AA AA AA410, AA ， 411 413 510 51 513 1011 1013 1 13 , , , , , , , , , , , , , , , AA AA AA AA AA A A A A AA ，共 15 种。 （ ii）解： “从得分在区间 20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人，这 2

8、 人得分之和大于 50” （记为事件 B）的所有可能结果有：45 410 41 510 101 , , , , , , , , , AA AA AA AA A A ，共 5 种。 所以51() .15 3PB= （ 16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分 13 分。 （）解：由3,2 3 ,2B Cb a cb a= =可得 所以22222233144cos .2333222aaabcaAbcaa+= =（）解：因为1cos , (0, )3AA= ，所以222sin 1 cos3AA= = 274cos

9、 2 2cos 1 . sin 2 2sin cos .99AA AAA= = = =故 所 以72422872cos 2 cos 2 cos sin 2 sin .4449291AAA + += = = （ 17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分 13 分。 （）证明：连接 BD， MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD的中点，又 M 为 PD 的中点，所以 PB/MO。因为 PB 平面 ACM， MO 平面 ACM，所以 PB/平面 ACM。 （）证明：因为

10、45ADC =，且 AD=AC=1， 所以 90DAC =，即 ADAC ，又 PO平面 ABCD， AD 平面 ABCD，所以 ,PO AD AC PO O =而 ，所以 AD 平面 PAC。 （）解：取 DO 中点 N，连接 MN， AN，因为 M 为 PD 的中点，所以 MN/PO，且11,2MNPO PO= 由 平面 ABCD，得 MN 平面 ABCD，所 以 MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，在 RtDAO 中，11,2AD AO= = ，所以52DO = ，从而1524AN DO=， 在145,tan554MNRt ANM MANAN=中 ，即直线 AM 与平面 A

11、BCD 所成角的正切值为45.5（ 18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分 13 分。 （）解：设12( ,0), ( ,0)( 0)Fc Fc c ，因为212| |PF FF= ， 所以22() 2ac b c+=，整理得2210,1cc caa a+ = =得 （舍） 或11,.22cea=所以 （）解：由（）知 2, 3acb c=，可得椭圆方程为22 23412x yc+=，直线 FF2的方程为 3( ).yxc

12、= A， B 两点的坐标满足方程组22 23412,3( ).x ycyxc +=消去 y 并整理，得2580xcx=。解得1280,5x xc=，得方程组的解21128,0,53, 3 3.5xcxycyc=不妨设833,55Ac c， (0, 3 )B c ， 所以22833 16| 3 .55 5AB c c c c=+=于是5|2.8MNABc= 圆心()1, 3 到直线 PF2的距离|333| 3|2|.22ccd += 因为222|42MNd+=，所以223(2 ) 16.4cc+= 整理得2712520cc+=，得267c = （舍） ，或 2.c = 所以椭圆方程为221.16

13、 12xy+= （ 19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。 （）解：当 1t = 时，32 2() 4 3 6, (0) 0, () 12 6 6fx x x xf f x x x=+ = = + (0) 6.f = 所以曲线 ()yfx= 在点 (0, (0)f 处的切线方程为 6.yx= （）解：22() 12 6 6f xxtxt =+，令 () 0fx = ，解得 .2txtx=或 因为 0t ，以下分两种情况讨论： （ 1）若 0, ,2tttx 时， ()f x

14、 在 0,2t内的单调递减，在 ,2t+内单调递增，以下分两种情况讨论： （ 1）当 1, 22tt即 时， ()f x 在（ 0， 1）内单调递减， 2(0) 10,(1) 6 4 3 64423 0.ft f tt= = + + 所以 () ,12tfx在 内存在零点。 若()3377(1, 2), 1 1 0.24 4ttf tt t=+ 所以 () 0,2tfx在 内存在零点。 所以，对任意 (0,2), ( )tfx 在区间（ 0， 1）内均存在零点。 综上，对任意 (0, ), ( )tfx+ 在区间（ 0， 1）内均存在零点。 （ 20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基

15、础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。 （）解：由1*3(1),2nnbnN+=，可得2, ,1,nnbn=为奇数为偶数,又()1121nnn nnba ba+=+， 当12 1 231, 2 1, 2, ;2naa a a=+= =时由可得 当23 32,2 5, 8.naa a=+= =时可得 （）证明：对任意*nN 2121 2221nnnaa+=+ 22211nnnaa+=+ -，得21 21 121 2132 , 32 , 4nnnnn nncaa cc+= = =即于是 所以 nc 是等比数列。 （）证明：12a =

16、，由（）知，当*2kN k 且 时， 21 1 3 1 5 3 7 5 21 23()()()( )k kkaaaaaaaa aa =+ + + + L 135 23 212(1 4 )23(22 2 2 ) 23 214kkk=+ + + + + =+ =L 故对任意*2121,2.kkkNa= 由得21 21 21 *22122 1, 2,2kk kkkaaN +=+ = 所以 因此，21234 212()()( ).2kSaaaa aa=+ + =L 于是，21222112.2kkkkkSSa= = + 故21221 221 2 22121 21212 1221.14(1)22kkkkkkkkkkSS kk kaa+= + = =