【考研类试卷】数学-常见几何图形及答案解析.doc

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1、数学-常见几何图形及答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：24，分数：96.00)1.在四边形 ABCD 中，设 AB 的长为 8，A:B:C:D=3:7:4:10，CDB=60，则ABD 的面积是( )。A8 B32 C4 D16（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列命题中，正确的是( )。A任意两个等腰三角形相似 B任意两个直角三角形相似C任意两个锐角等腰三角形相似 D任意两个等边三角形相似（分数：4.00）A.B.C.D.3.平面图形由一等边三角形 ABC 与半圆 CDB 组成(如右图所示)，其面积为 ，若将此图形绕其对称轴旋转 180，则得到的旋

2、转体的体积为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.4.正圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为 ( )。（分数：4.00）A.B.C.D.5.如右图所示，ABCD 为正方形，DE=4 时正方形的面积是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.6.如右图所示，正方形 ABCD 的面积是 25，矩形 DCEF 中 CF=8，则 DF 的长为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.7.如下图所示，梯形二底角A=60，B=45，CD=8，AD=6，则 BC 的长是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.8.邻边相等的平行四边形，如右图所示，A=60，则此平行四边

3、形的周长是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.在长方体 ABCDA1B1C1D1(见右图)中，高 A1A=1， BAB 1=B 1A1C1=30。则这个长方体的体对角线长是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.10.一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积是底面积的( )倍。A2 B4 C4 D（分数：4.00）A.B.C.D.11.如右图所示，圆锥侧面积是全面积的 ，则侧面积展开图的圆心角等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.12.球的内接正方体的边长为 (见右图)，则此球的表面积是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.如两个相似三角形的面积之比是 1:4

4、，那么它们的边长之比为( )。A1:16 B1:8 C1:4 D1:2（分数：4.00）A.B.C.D.14.若一个长方体的表面积是 22cm2，所有棱长之和为 24cm，则长方体的体对角线长为( )cm。（分数：4.00）A.B.C.D.15.如下图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB=1，D 在棱 BB1上，且 BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 ( )。（分数：4.00）A.B.C.D.16.如下图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA 1=3，分别过 BC、 A 1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为

5、。若 V1:V2:V3=1:4:1，则截面 A1EFD1的面积为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.17.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )。A90 B60 C45 D30（分数：4.00）A.B.C.D.18.设 A、B、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.19.如下图所示：在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB， EF

6、= ，EF 与面AC 的距离为 2，则该多面体的体积是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.20.一个长方体同一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体对角线的长是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.21.在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB= （分数：4.00）A.B.C.D.22.64 个直径都为 （分数：4.00）A.B.C.D.23.一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( )。A3 B4 C （分数：4.00）A.B.C.D.24.棱长为 a 的正方体中，连结相邻表面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 ( )。（分数：4.00）A.B.

7、C.D.数学-常见几何图形答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：24，分数：96.00)1.在四边形 ABCD 中，设 AB 的长为 8，A:B:C:D=3:7:4:10，CDB=60，则ABD 的面积是( )。A8 B32 C4 D16（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如右图所示，由于四边形 ABCD 的 4 个内角之和为 360，又A:B:C:D=3:7:4:10，而 3+7+4+10=24，又已知CDB=60，则ADB=90，故ABD 为等腰直角三角形，已知斜边 AB=8，则高 h=4，于是面积为2.下列命题中，正确的是( )。A任意两个

8、等腰三角形相似 B任意两个直角三角形相似C任意两个锐角等腰三角形相似 D任意两个等边三角形相似（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为对任意两个等边三角形，其 3 个内角均为 60，故 3 个内角对应相等，必然对应边也成比例，故相似。A、B、C 均不能保证两个三角形的 3 个内角相等，故均不一定相似。故正确答案为 D。3.平面图形由一等边三角形 ABC 与半圆 CDB 组成(如右图所示)，其面积为 ，若将此图形绕其对称轴旋转 180，则得到的旋转体的体积为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设半圆 BDC 的直径 BC=2R，依题意，平面图形面积 S=SABC

9、+S 半圆 CDB故 R=2旋转体体积4.正圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为 ( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设圆锥体的侧面展开图为右图所示，其中 l=2r(r 为底面小圆的半径)。由题意，底面面积 S1=r 2，侧面面积又已知 S2=2S1，故 Rr=-2r 2，即 R=2r，所以故正确答案为 A。5.如右图所示，ABCD 为正方形，DE=4 时正方形的面积是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 CED 是一个等腰三角形，斜边 DE=4，故直角边正方形 ABCD 的面积 S=CD2=6.如右图所示，正方形 ABC

10、D 的面积是 25，矩形 DCEF 中 CF=8，则 DF 的长为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为正方形 ABCD 的面积是 25，故正方形一边 CD 的长为 5，在直角三角形 DCF 中，勾CD=5，股 CF=8，故 DF2=CD2+CF2=52+82=89，即 DF=7.如下图所示，梯形二底角A=60，B=45，CD=8，AD=6，则 BC 的长是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 题干中的条件 CD=8 是无用的。因为 AD=6，A=60，在 RtAED 中，ADE=30所以 AE=3，DE 2=AD2-AE2=62-32，DE=因为 CF

11、=DE= ，在 RtBFC 中，B=45故 BC=8.邻边相等的平行四边形，如右图所示，A=60，则此平行四边形的周长是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 在直角三角形AFD 中，已知 DF=3，A=60，设 AD=a，则 AF= (30角定理)根据勾股定理，有 AD2=AF2+DF2故周长=4a=9.在长方体 ABCDA1B1C1D1(见右图)中，高 A1A=1， BAB 1=B 1A1C1=30。则这个长方体的体对角线长是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 在 RtBAB1 中，B 1BA=90BAB 1=30，且 BB1=AA1=1，所以 AB=

12、。又在 RtA 1B1C1中，A 1B1C1=90，A 1B1=AB=故 B1C1=1，体对角线10.一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积是底面积的( )倍。A2 B4 C4 D（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为圆柱侧面展开图是正方形，故圆柱的高 h=2r。于是侧面积 故底面积是11.如右图所示，圆锥侧面积是全面积的 ，则侧面积展开图的圆心角等于( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为侧面积是全面积的 ，又 S 全 =S 侧 +S 底 ，故 S 侧 =2S 底 ，即 rl=2r 2，因此 l=2r，如右图所示，又 的长=底面周长=2r圆心角的弧度数

13、=弧长+半径= =故正确答案为 B。12.球的内接正方体的边长为 (见右图)，则此球的表面积是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 正方体的对角面才能过球心，AC为直径13.如两个相似三角形的面积之比是 1:4，那么它们的边长之比为( )。A1:16 B1:8 C1:4 D1:2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设两个三角形的边长分别为 a,b,c 及 a、b、c，3 个内角分别为A、B、C 及A、B、C。14.若一个长方体的表面积是 22cm2，所有棱长之和为 24cm，则长方体的体对角线长为( )cm。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设长方体

14、相邻的 3 个棱长分别为 a，b，c，据题意，有而体对角线长由得 a+b+c=6(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc故 a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)=36-22=14于是 l=15.如下图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB=1，D 在棱 BB1上，且 BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 ( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如右图所示，取 AC 中点 N，连结 BN，过 D 点作 MDBN 交平面 AA1C1C 于点 M，因为ABC 为正三角形，故 BNAC又因为 C1CBN，C

15、1C、AC 平面 AA1C1C故 BN平面 AA1C1C，又 DMBN，故 DM平面 AA1C1C，连结 AM，则MAD 即为所求角 ，在等边ABC 中，因为 AB=1，故 BN=在 RtDBA 中因为 AB=1，BD=1，故 AD=因而 ，故16.如下图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA 1=3，分别过 BC、 A 1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 。若 V1:V2:V3=1:4:1，则截面 A1EFD1的面积为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由图形易知截面 A1EFD1为矩形，几何体 AEA1-DFD1为一直棱

16、柱， EBE 1A1-FCF1D1为一平行六面体故 BE=2AE，又因为 AE+BE=6故 AE=2，BE=417.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )。A90 B60 C45 D30（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 易证，当作为侧面的三角形 ADC 垂直于作为底面的三角形 ABC 时，三棱锥的高最大，此时三棱锥的体积也最大。过 D 点作 DOAC，连结 BO，则 DO平面 ABC故DBO 即为直线 BD 和平面 ABC 所成的角18.设 A、B、C、D 是球面上的四个点，且

17、在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知可得 ABCD 是正方形，设其对角线交点为 O1，球心为 O，球的半径为 R，球到截面的距离为 d，则，故O 1AO=30在 RtAO 1O 中，O 1AO=30故19.如下图所示：在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB， EF= ，EF 与面AC 的距离为 2，则该多面体的体积是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法一：从而可排除 A、B、C 三项。解法二：如右图所示：连结 EB、E

18、C，四棱锥 E-ABCD 的体积 ，由于 AB=2EF，EFAB故 SEAB =2SBEF故多面体 EF-ABCD 的体积20.一个长方体同一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体对角线的长是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设长方体共一顶点的三条边长分别为 a=1，b= ，c= ，则对角线 l 的长为 21.在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：22.64 个直径都为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：23.一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( )。A3 B4 C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 球心为正四面体的中心，过球心和一条棱作截面(如右图所示)，设球半径 OA=R，F 为 AB 中点，又正四面体底面外接圆半径24.棱长为 a 的正方体中，连结相邻表面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 ( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 正方体各面中心连线构成正八面体，沿侧面中心将八面体分割为两个正四棱锥，该正四棱锥底面边长为 ，高为 ，则