2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海春季卷)数学文.docx
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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (上海春季卷 )数学文 一、填空题 (本大题满分 36 分 )本大题共有 12题,要求直接填写结果,每题填对得 3分,否则一律得 0分 . 1.(3 分 )函数 y=log2(x+2)的定义域是 _. 解 析 :欲使函数有意义,须有 x+2 0,解得 x -2, 所以函数的定义域为 (-2, +). 答案 : (-2, +). 2.(3 分 )方程 2x=8 的解是 _. 解 析 : 由 2x=8=23,可得 x=3,即此方程的解为 3, 答案 : 3. 3.(3 分 )抛物线 y2=8x 的准线方程是 _. 解 析 : 抛物线的方程为 y2=8x 抛
2、物线以原点为顶点,开口向右 . 由 2p=8,可得 =2,可得抛物线的焦点为 F(2, 0),准线方程为 x=-2 答案 : x=-2 4.(3 分 )函数 y=2sinx 的最小正周期是 _. 解 析 : 函数 y=2sinx 的最小正周期是 = =2 , 答案 : 2. 5.(3 分 )已知向量 , .若 ,则实数 k=_. 解 析 : 根据向量平行的充要条件可得关于 k 的方程,解出即可 . 答案 : 由 ,得 1(k -6)-9k=0,解得 k=- , 故答案为: . 6.(3 分 )函数 y=4sinx+3cosx 的最大值是 _. 解 析 : 函数 y=4sinx+3cosx=5(
3、 sinx+ cosx)=5sin(x+), (其中, cos= , sin= ) 故函数的最大值为 5, 答案 : 5. 7.(3 分 )复数 2+3i(i 是虚数单位 )的模是 _. 解 析 : 利用模长公式 |z|= ,代入计算即可得出复数 2+3i(i 是虚数单位 )的模 . 答案 : 复数 2+3i, 2+3i 的模 = . 故答案为: . 8.(3 分 )在 ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c,若 a=5, c=8, B=60 ,则 b=_. 解 析 : 在 ABC 中, a=5, c=8, B=60 , 根据余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos
4、B=25+64-258cos60=49 解之得 b=7(舍负 ) 答案 : 7 9.(3 分 )正方体 ABCD-A1B1C1D1中,异面直线 A1B与 B1C 所成角的大小为 _. 解 析 : 连接 A1D,由正方体的几何特征可得: A1DB 1C, 则 BA 1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角, 连接 BD,易得: BD=A1D=A1B 故 BA 1D=60 答案 : 60 10.(3 分 )从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动,选出的 3 人中男女同学都有的概率为 _ (结果用数值表示 ). 解 析 : 先求对立事件 “ 选出的 3 人中只有男同
5、学或只有女同学 ” 的概率,然后根据对立事件的概率和为 1 可得答案 . 答案 : 从 10 人中选出的 3 人中只有男同学或只有女同学的概率为: = , 则选出的 3 人中男女同学都有的概率为: 1- = . 故答案为: . 11.(3 分 )若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 Sn=_. 解 析 : 设等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn,则由题意可得 ,解得 a、 b 的值,即可求得数列的前 n 项和 Sn的解析式 . 答案 : 设等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn,则由题意可得 ,解得 , 故数列的前 n 项和 Sn= , 故答案
6、为 . 12.(3 分 )36 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 36=223 2,所以 36 的所有正约数之和为 (1+3+32)+(2+23+23 2)+(22+223+2 23 2)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得 2000 的所有正约数之和为 _. 解 析 : 这是一个类比推理的问题,在类比推理中,参照上述方法, 2000 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 2000=245 3,所以 2000 的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53),即可得出答案 . 答案 : 类比 36 的所有正约数之和的方法,有: 2000 的
7、所有正约数之和可按如下方法得到:因为 2000=245 3, 所以 2000 的所有正约数之和为 (1+2+22+23+24)(1+5+52+53)=4836. 可求得 2000 的所有正约数之和为 4836. 故答案为: 4836. 二 .选择题 (本大题满分 36 分 )本大题共有 12 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的 .考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得 3 分,否则一律得 0分 . 13.(3 分 )展开式为 ad-bc 的行列式是 ( ) A. B. C. D. 解 析 : 根据 叫做二阶行列式,它的算法是: ad-bc, 由题意得, =ad-bc
8、. 答案: B. 14.(3 分 )设 f-1(x)为函数 f(x)= 的反函数,下列结论正确的是 ( ) A. f-1(2)=2 B. f-1(2)=4 C. f-1(4)=2 D. f-1(4)=4 解 析 : f -1(x)为函数 f(x)= 的反函数, f -1(x)=x2, (x0) , f -1(2)=4, f-1(4)=16, 答案: B. 15.(3 分 )直线 2x-3y+1=0 的一个方向向量是 ( ) A. (2, -3) B. (2, 3) C. (-3, 2) D. (3, 2) 解 析 : 由题意可得:直线 2x-3y+1=0 的斜率为 k= , 所以直线 2x-3
9、y+1=0 的一个方向向量 =(1, ),或 (3, 2) 答案: D. 16.(3 分 )函数 f(x)= 的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解 析 : 因为 - 0,所以 f(x)在 (0, +) 上单调递减,排除选项 B、 C; 又 f(x)的定义域为 (0, +) , 故排除选项 D, 答案: A. 17.(3 分 )如果 a b 0,那么下列不等式成立的是 ( ) A. B. ab b2 C. -ab -a2 D. 解 析 : 由于 a b 0,不妨令 a=-2, b=-1,可得 =-1, ,故 A 不正确 . 可得 ab=2, b2=1, ab b2,故 B 不正确 .
10、 可得 -ab=-2, -a2=-4, -ab -a2,故 C 不正确 . 答案: D. 18.(3 分 )若复数 z1, z2满足 z1= ,则 z1, z2在复数平面上对应的点 Z1, Z2( ) A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 y=x 对称 解 析 : 若复数 z1, z2满足 z1= ,则 z1, z2的实部相等,虚部互为相反数,故 z1, z2在复数平面上对应的点 Z1, Z2关于 x 轴对称, 答案: A. 19.(3 分 )(1+x)10的二项展开式中的一项是 ( ) A. 45x B. 90x2 C. 120x3 D. 252
11、x4 解 析 : (1+x)10的二项展开式的通项公式为 Tr+1= xr,故当 r=3 时,此项为 120x3, 答案: C. 20.(3 分 )既是偶函数又在区间 (0, )上单调递减的函数是 ( ) A. y=sinx B. y=cosx C. y=sin2x D. y=cos2x 解 析 : 由于函数 y=sinx 和 y=sin2x 都是奇函数,故排除 A、 C. 由于函数 y=cosx 是偶函数,周期等于 2 ,且在 (0, ) 上是减函数,故满足条件 . 由于函数 y=cos2x 是偶函数,周期等于 ,在 (0, )上是减函数,在 ( , ) 上是增函数,故不满足条件 . 答案:
12、 B. 21.(3 分 )若两个球的表面积之比为 1: 4,则这两个球的体积之比为 ( ) A. 1: 2 B. 1: 4 C. 1: 8 D. 1: 16 解 析 : 设两个球的半径分别为 r1、 r2,根据球的表面积公式, 可得它们的表面积分别为 S1=4 , S2=4 两个球的表面积之比为 1: 4, = = = ,解之得 = (舍负 ) 因此,这两个球的体积之比为 = =( )3= 即两个球的体积之比为 1: 8 答案: C 22.(3 分 )设全集 U=R,下列集合运算结果为 R 的是 ( ) A. Z uCN B. N uCN C. uC ( uC ) D. uC 0 解 析 :
13、全集 U=R, Z uCN=R, N uCN= , uC ( uC )= , uC 0=x R|x0. 答案: A. 23.(3 分 )已知 a, b, c R, “b 2-4ac 0” 是 “ 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方 ”的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 解 析 : 若 a0 ,欲保证函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方,则必须保证抛物线开口向上,且与 x 轴无交点; 则 a 0 且 =b 2-4ac 0. 但是,若 a=0 时,如果 b=0, c 0,则函数 f(x)=ax
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