【考研类试卷】三角学、平面解析几何(一)及答案解析.doc

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1、三角学、平面解析几何(一)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：43，分数：100.00)1.某个锐角的正弦和余弦是二次方程 ax2+bx+c=0 的不同的两个根，则 a，b，c 之间的关系是_。Ab 2=a2+2ac Bb 2=a2-4acCb 2=a2-2ac Db 2=a2+4ac（分数：3.00）A.B.C.D.2.若三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则表达式 的值为_。A B C1 D （分数：3.00）A.B.C.D.3.如果 sin(+)=0.8，cos(-)=0.3，那么(sin-cos)(sin-cos)=_。

2、A0.6 B0.5 C-0.5 D-0.6（分数：3.00）A.B.C.D.4.已知 a0， ，则 的值是_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.5.三个边长为 1 的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段相交的锐角为 ，tan=_。ABC （分数：3.00）A.B.C.D.6.等腰ABC 中，AB=AC= ，底边 BC3，则顶角A 的取值范围是_。A BC D （分数：3.00）A.B.C.D.7.如图，在正方形网格中，A，B，C 是三个格点。设BCA=，则 tan 的值是_。A-1 BC （分数：3.00）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos110，

3、sin110)，B(cos50，sin50)，则由坐标原点 O 到线段 AB 中点 M 的距离是_。A B C （分数：3.00）A.B.C.D.9.如图，BAF=FEB=EBC=ECD=90，ABF=30，BFE=45，BCE=60且AB=2CD，则 tanCDE=_。A BC D （分数：3.00）A.B.C.D.10.ABC 中，A:B:C=3:2:7，如果从 AB 上的一点 D 做射线 l，交 AC 或 BC 边于点 E，使ADE=60，且 l 分ABC 所成两部分图形的面积相等，那么_。Al 过 C 点(即 E 点与 C 重合) Bl 不过 C 点而与 AC 相交Cl 不过 C 点而

4、与 BC 相交 Dl 不存在（分数：3.00）A.B.C.D.11.ABC 中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形 BC 边上的中线长是 x 的函数 y=f(x)，则当 x 在(0，)中变化时，函数 f(x)的取值的范围是_。A(0，5) B(1，4) C(3，4) D(2，5)（分数：3.00）A.B.C.D.12. =_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.13.设 是ABC 的一个内角，满足 （分数：3.00）A.B.C.D.14.已知 是第三象限的角，且有 ，则 sin2=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.15.sin163sin223+sin253

5、sin313=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.已知 sinsin，那么下列命题成立的是_。A若 ， 是第一象限的角，则 coscosB若 ， 是第二象限的角，则 tantanC若 ， 是第三象限的角，则 coscosD若 ， 是第四象限的角，则 tantan（分数：2.00）A.B.C.D.17.函数 y=-xcosx 的部分图像是_。ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.18.若 ，sin+cos，sin+csb，则_。Aab Bab Cab1 D （分数：2.00）A.B.C.D.19.在(0，2)内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围是_。A B

6、C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.函数 y=x+sin|x|，x-，的大致图像是_。ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.21.若函数 f(x)=sin(x+)的图像(部分)如图所示，则 和 的取值是_。A=1，B=1，CD （分数：2.00）A.B.C.D.22.函数 ，x0，为增函数的区间是_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.为了得到函数 的图像，可以将函数 y=cos2x 的图像_。A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 （分数：2.00）A.B.C.D.24.函数 y=sin(x+)(0)是 R 上的

7、偶函数，则 =_。A0 B C （分数：2.00）A.B.C.D.25.函数 y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为_。A B C （分数：2.00）A.B.C.D.26. 是 （分数：2.00）A.B.C.D.27.如图所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 AB=1，D 在棱 BB1上，且 BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.28.已知 ，则 tan2x=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.已知 ，那么 tan 的值为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3

8、0.已知 ，那么 =_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.31.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图像关于 对称，那么 a=_。A B （分数：2.00）A.B.C.D.32.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.33.下列道路交通标志图案中，轴对称的图形是_。ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.34.如图，D 为ABC 内一点，使得BAD=BCD，且BDC=90。过 A，D，B 三点作圆 O，若 M 为 AC 的中点，AB=5， ，则圆 O 的半径等于_。（分数：2.00）A.B.C.D.35.如图所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形。已知

9、阴影部分的面积为 1500 平方厘米，则正ABC 的面积等于_平方厘米。（分数：2.00）A.B.C.D.36.参数方程 （分数：2.00）A.B.C.D.37.在圆 x2+y2-6x-8y+21=0 所围区域(含边界)中，P(x，y)和 Q(x，y)是使得 分别取得最大值和最小值的点，线段 PQ 的长是_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.38.如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径 AB 垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于 ，那么光线与地平面所成的角度是_。（分数：2.00）A.B.C.D.3

10、9.设一个圆的圆心为 P(6，m)，该圆与坐标轴交于 A(0，-4)，B(0，-12)两点，则 P 到坐标原点的距离是_。A B8C10 D （分数：2.00）A.B.C.D.40.曲线 上的点与单位圆 x2+y2=1 上的点之间的最短距离为 d，则_。Ad=1 Bd(0，1)C D （分数：2.00）A.B.C.D.41.已知两平行平面 、 之间的距离为 d(d0)，l 是平面 内的一条直线，则在平面 内与直线 l平行且距离为 2d 的直线有_。A0 条 B1 条C2 条 D4 条（分数：2.00）A.B.C.D.42.设点(x 0，y 0)在圆 C：x 2+y2=1 的内部，则直线 x0x

11、+y0y=1 和圆 C_。A不相交B有一个交点C有两个交点，且两交点间的距离小于 2D有两个交点，且两交点间的距离等于 2（分数：2.00）A.B.C.D.43.如图中给出了平面直角坐标系中直线 l：y=ax+b 的图像，那么坐标为(a，b)的点在_。（分数：2.00）A.B.C.D.三角学、平面解析几何(一)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：43，分数：100.00)1.某个锐角的正弦和余弦是二次方程 ax2+bx+c=0 的不同的两个根，则 a，b，c 之间的关系是_。Ab 2=a2+2ac Bb 2=a2-4acCb 2=a2-2ac Db 2=a

12、2+4ac（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 假设题设锐角的正弦和余弦分别为 x1和 x2，则 ，0x 1，2 1。因为 x1和 x2又是二次方程 ax2+bx+c=0 不同的两个根，所以有和 ，则2.若三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则表达式 的值为_。A B C1 D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 在三角形 ABC 中，有a2=b2+c2-2bccosA，b 2=a2+c2-2accosB，c 2=a2+b2-2abcosC 故，3.如果 sin(+)=0.8，cos(-)=0.3，那么(sin-cos)(sin-cos)=_。A

13、0.6 B0.5 C-0.5 D-0.6（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 因为(sin-cos)(sin-cos)=sinsin+coscos-sincos-cossin=cos(-)-sin(+)=0.3-0.8=-0.5故正确答案为 C。4.已知 a0， ，则 的值是_。A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 此题要是按 展开计算非常麻烦，我们这里就以特殊代一般，这是解决选择题的最好办法。不妨设 a=-1，则 cos=-1，sin=0。5.三个边长为 1 的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段相交的锐角为 ，tan=_。ABC （分数：3.00）A

14、.B.C.D. 解析：解析 如图所示， 是BDF 的一个外角，因此 =+，因为 ，故6.等腰ABC 中，AB=AC= ，底边 BC3，则顶角A 的取值范围是_。A BC D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 三角函数题目。由题知 ，所以7.如图，在正方形网格中，A，B，C 是三个格点。设BCA=，则 tan 的值是_。A-1 BC （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 =ACB=ACD+BCD，且根据方格的数量可知：tanACD=3，tanBCD=2，则8.在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos110，sin110)，B(cos50，sin50)，则由坐标原点 O 到

15、线段 AB 中点 M 的距离是_。A B C （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 如图所示。根据 A、B 的坐标可知，OA=OB=1，BOx=50，AOx=110，则AOB=110-50=60。又 M 是 AB 的中点，则 OMAB，AOM=BOM= AOB=30。在 RtBOM 中，OM=OBcosBOM=cos30= 。9.如图，BAF=FEB=EBC=ECD=90，ABF=30，BFE=45，BCE=60且AB=2CD，则 tanCDE=_。A BC D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题应借助三角函数求解。在 RtABF 中，AB=2CD 且ABF=30

16、压，则 = ；又在RtEBF 中，BFE=45，BE=BFsinBFE= ；在 RtBEC 中，BCE=60， = ；在RtCDE 中，10.ABC 中，A:B:C=3:2:7，如果从 AB 上的一点 D 做射线 l，交 AC 或 BC 边于点 E，使ADE=60，且 l 分ABC 所成两部分图形的面积相等，那么_。Al 过 C 点(即 E 点与 C 重合) Bl 不过 C 点而与 AC 相交Cl 不过 C 点而与 BC 相交 Dl 不存在（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 如图，因在ABC 中，A:B:C=3:2:7 且A+B+C=180，故有 ， 。考虑临界位置，即 C 与 E

17、 重合，此时由于ADE=60，则ACD=75，DCB=30，且得到 DC=DB。在ACD 中，因为 7545，所以 ADDC=DB。又因ADE=60恒成立，欲使 DE 分ABC 为面积相等的两块，DE 应向左方平移，即射线 l 不过C 点而与 AC 相交，故应选 B。11.ABC 中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形 BC 边上的中线长是 x 的函数 y=f(x)，则当 x 在(0，)中变化时，函数 f(x)的取值的范围是_。A(0，5) B(1，4) C(3，4) D(2，5)（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 如图可知，SABC =SABD +SADC12. =_。A B

18、C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 设 ，=arccot3，则 ， ，且 ，cot=3，由此得且 +(0，)，故即原式=13.设 是ABC 的一个内角，满足 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 ，若 ，则 1sin+cos14.已知 是第三象限的角，且有 ，则 sin2=_。A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 因为(2k+1)(2k+1)+ ，所以 2(2k+1)22(2k+1)+。于是有 sin20，可排除 B、D，又得15.sin163sin223+sin253sin313=_。A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.

19、解析：解析 sin163sin223+sin253sin313=sin(180-17)sin(180+43)+sin(270-17)sin(360-43)=-sin17sin43+cos17cos43=cos(17+43)=cos60=16.已知 sinsin，那么下列命题成立的是_。A若 ， 是第一象限的角，则 coscosB若 ， 是第二象限的角，则 tantanC若 ， 是第三象限的角，则 coscosD若 ， 是第四象限的角，则 tantan（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法 1：要求 sinsin 与 coscos 同时成立，则在 ， 所在的象限上，正、余弦函数应有

20、相同的增减性。由于在第一象限上正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数，故可排除 A；由于在第三象限上，正弦函数是减函数，而余弦函数是增函数，故可排除 C。要求 sinsin 和 tantan 同时成立，则在 ， 所在的象限上，正弦函数与正切函数应有相同的增减性，由于在第二象限上正弦函数是减函数，而正切函数是增函数，所以排除 B，故正确答案为D。解法 2：令 =60，=30，则17.函数 y=-xcosx 的部分图像是_。ABCD （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法 1：由所给函数是奇函数，可知函数的图像关于原点中心对称，故排除 A、C。当时，y0，故排除 B。故正确答案为 D。

21、解法 2：因为 y=-xcosx，故当 时，y0；当18.若 ，sin+cos，sin+csb，则_。Aab Bab Cab1 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ， ，又 ，而 y=sinx 在 上为增函数，故 ，即19.在(0，2)内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围是_。A BC D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 sinxcosx 角 x 的终边位于一、三象限角平行线上方，故20.函数 y=x+sin|x|，x-，的大致图像是_。ABCD （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由奇偶性定义可知，函数 y=x+sin|x|，x-，

22、为非奇非偶函数，选项 A、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数，故正确答案为 C。21.若函数 f(x)=sin(x+)的图像(部分)如图所示，则 和 的取值是_。A=1，B=1，CD （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由图像可知 T=4，故 ，由图像过点 ，代入 ，解得22.函数 ，x0，为增函数的区间是_。A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 ，其在 R 上的单调递增区间为：解得 ，令 k=0，得在0，内的单调递增区间为23.为了得到函数 的图像，可以将函数 y=cos2x 的图像_。A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移

23、 个单位长度 D向左平移 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 y=cos2x 向右平移 个单位可得 y=sin2x，y=sin2x 向右平移 个单位长度可得的图像，故将 y=cos2x 向右平移 个单位长度得24.函数 y=sin(x+)(0)是 R 上的偶函数，则 =_。A0 B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 当 时， ，而 cosx 是 R 上的偶函数。其他选项当 =0 时，y=sinx；当 = 时，y=-sinx，均为奇函数；当时，25.函数 y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为_。A B C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 原

24、函数式可化为y=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x=1+(sin2x-cos2x)得26. 是 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由 ，所以 的必要条件。又当 时，有 ，所以 不是27.如图所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 AB=1，D 在棱 BB1上，且 BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 取 AC 中点 N，连接 BN，过 D 点作 MDBN 交平面 AA1C1C 于点 M，因为ABC 为正三角形，故 BNAC，又因为 C1CBN，C 1C、AC 平面

25、AA1C1C，故 BN平面 AA1C1C，又 DMBN，故 DM 上平面 AA1C1C，连接 AM，则MAD 即为所求角 a，在等边ABC 中，因为 AB=1，故 。在 RtDBA 中，因为 AB=1，BD=1，故 AD= ，因而 ，故28.已知 ，则 tan2x=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，故 ，由倍角公式： ，故29.已知 ，那么 tan 的值为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由解得30.已知 ，那么 =_。A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 解法 1：因为 ，所以 ，因为 ，故

26、 ，因为 cos2=cos 2-sin 2-(cos-sin)(cos+sin)= ，从而得 ，故正确答案为 A。解法 2： ，故 ，从而得 ，故正确答案为 A。解法 3：因为 ，所以 ，即 ，从而， ，得31.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图像关于 对称，那么 a=_。A B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法 1：因为 ，根据正弦函数的图像知：在对称轴处 y 达到最值，故 ，即 ，故(a+1) 2=0，得 a=-1，故正确答案为 D。解法 2：y=f(x)=sin2x+acosx 的图像关于 对称，所以，即 (其中 xR)，故32.函数 （分数：2.00）A.

27、 B.C.D.解析：解析 解法 1：=sin2x+csc2x+cos2x+sec2x=1+1+cot2x+1+tan2x=3+cot2x+tan2x因为 tan2x+cot2x2|tanx|cotx|=2，故当|tanx|=|cotx|，即 (kZ)时，tan 2x+cot2x 取最小值 2，即 cot2x+tan2x2，故所求函数 y5，+)，故正确答案为 A。解法 2：当|sin2x|=1， (kZ)，即 时，|sin2x|取最大值，这时正好有 ，则有 的等号成立，故这时 y 取最小值 1+4=5，故所求函数 y5，+)，故正确答案为 A。解法 3：当 sin22x=1， (kZ)，即 时

28、，|sin2x|取得最大值。而由题意得到 sin2xcos2x0，则xk 且 (kZ)，则 2xk(kZ)，故 sin22x0，因而 (kZ)时，33.下列道路交通标志图案中，轴对称的图形是_。ABCD （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 四个选项中的图形都可看作是 1 个或多个图形的组合，只有这些分解后的图形分别轴对称且有公共对称轴时原图形才是轴对称的。据此分析，选项 A 中的 Z 不是轴对称的，故整个图形不是轴对称的；选项 B 和 C 均可分解成三个轴对称的图形，但没有公共对称轴，所以总的图形也不是轴对称的；选项D 的图形分解成的圆形和线段，均是轴对称的，且有两条公共对称轴，分

29、别垂直和重叠于线段。所以正确答案为 D。34.如图，D 为ABC 内一点，使得BAD=BCD，且BDC=90。过 A，D，B 三点作圆 O，若 M 为 AC 的中点，AB=5， ，则圆 O 的半径等于_。（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 连接点 B 与圆心 O，并延长交圆于点 E，连接 AE 和 DE，如图所示。根据外接圆的性质可知，BAD=BED，BDE=BAE=90，又根据题意有，BAD=BCD，BDC=90则可得BED=BCD，BDC=BDE=90，且 C、D 和 E 三点共线。又 RtBDE 和 RtBDC 共用直角边 BD，故 RtBDERtBDC，D 为 CE 的中点

30、。又已知，M 为 AC 的中点， ，故而可得 DMAE 且 AE=2DM= 。在 RtBAE 中，由勾股定理可知， ，则求得圆。的半径 r=3，所以正确答案为 C。35.如图所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形。已知阴影部分的面积为 1500 平方厘米，则正ABC 的面积等于_平方厘米。（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于MNP 的任意性，我们可将此三角形旋转到其各边与ABC 各边平行，如图所示：显然AOE 与MOG 相似，又 OM=OE=2OG，故 OG:OE=GM:EA=1:2，所以 AB=2MN，设 AB=a，则 ，平方厘米，因此36.参数方程 （分数：

31、2.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知 ， ，故参数方程可化为(x-2) 2+(y+3)2=3，是一个以(2，-3)为圆心，37.在圆 x2+y2-6x-8y+21=0 所围区域(含边界)中，P(x，y)和 Q(x，y)是使得 分别取得最大值和最小值的点，线段 PQ 的长是_。A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 圆的方程可化为：(x-3) 2+(y-4)2=22，即圆心为 O(3，4)，半径为 2，整个圆处于第一象限。直线 y=kx 与圆相切时， 取得最大值和最小值，如图所示，上下切点即为 P 和 Q。连接OP，OQ，PQ 和 OO。根据圆的切线的性质，OP

32、=OQ=2，OPO=OQO=90，则OPOOQO，OO平分POQ，OOPQ 且平分 PQ 于点 M。长度 OO= 。则在 RtOOQ 中， ， 。在 RtOMQ 中， = ，故应选 C。38.如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径 AB 垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于 ，那么光线与地平面所成的角度是_。（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 如图，过线段 AB 的中点 O 在木板半圆面内作 OCAB 交半圆于点 C，则 。同理在椭圆面内作 ODAB 交椭圆于点 D，连接 CD。OD 是椭圆的半长轴，长

33、度设为 b，且 D 点是 C 点的投影点，则 CD平行于光线，即ODC 为光线与地平面所成的角。ABOC，ABCDCOD 为两面夹角，又木板面垂直于地面，则COD=90。半圆面积为 ，半椭圆的面积为 ，因为 ，则 OD=b= 。在 RtCOD 中，39.设一个圆的圆心为 P(6，m)，该圆与坐标轴交于 A(0，-4)，B(0，-12)两点，则 P 到坐标原点的距离是_。A B8C10 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 如图所示，由垂径定理可知 AM=4。40.曲线 上的点与单位圆 x2+y2=1 上的点之间的最短距离为 d，则_。Ad=1 Bd(0，1)C D （分数：2.0

34、0）A.B.C.D. 解析：解析 如图，曲线 上任意一点的坐标为(x， )，它到单位圆圆心的距离为： ，当且仅当 时等号成立。最短矩离 。因为 = ，所以 ，即 ，故应选 D。41.已知两平行平面 、 之间的距离为 d(d0)，l 是平面 内的一条直线，则在平面 内与直线 l平行且距离为 2d 的直线有_。A0 条 B1 条C2 条 D4 条（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由图可知，满足条件的直线有 2 条。42.设点(x 0，y 0)在圆 C：x 2+y2=1 的内部，则直线 x0x+y0y=1 和圆 C_。A不相交B有一个交点C有两个交点，且两交点间的距离小于 2D有两个交点，且两交点间的距离等于 2（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因点(x 0，y 0)在圆 C 的内部，则 。圆心(0，0)到直线距离 d=43.如图中给出了平面直角坐标系中直线 l：y=ax+b 的图像，那么坐标为(a，b)的点在_。（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 直线 l 在 x 轴和 y 轴的截距分别为