【考研类试卷】一元函数积分学(二)及答案解析.doc

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1、一元函数积分学(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：50，分数：100.00)1.设函数 （分数：2.00）A.B.C.D.2. =_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 ，那么 =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.4. =_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5. =_。A B （分数：2.00）A.B.C.D.6.若 f(x)的导函数是 e-x+cosx，则 f(x)的一个原函数是_。A-e -x+sinx Be -x-cosxC-e -x-cosx De -x+sinx（分数：2.00）A

2、.B.C.D.7. =_。A B （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f(x)有连续导数，且 f(0)=0，f(0)0， （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列函数中，_是 e|x|的原函数。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.10.下列运算正确的是_。Akf(x)dx=kf(x)dx BCf(2x)dx=f(2x)+c D （分数：2.00）A.B.C.D.11. （分数：2.00）A.B.C.D.12.下列运算正确的是_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.B.C.D.14.f(x)在0，+)上可导，f(0

3、)=0，并有反函数 g(x)，若 （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 ，其中 （分数：2.00）A.B.C.D.16.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.17.下列积分中，_可以经换元后利用公式 完成积分。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.18. =_。ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.19. =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.20. =_。Aln(e -x+1)+c B （分数：2.00）A.B.C.D.21.x(lnx+e x)dx=_。Axe x+ex+xlnx+x+c Bxe x-ex+xlnx-x+cC D （分数：2.00）A

4、.B.C.D.22. =_。Axlnlnx+c Bxlnx+cC2lnlnx+c D （分数：2.00）A.B.C.D.23.设 ，则f(x-1)dx=()。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.24. =_。A B C1 D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 ，则 =_。A0 B （分数：2.00）A.B.C.D.26.设 f(x)为连续函数，则 =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.27. （分数：2.00）A.B.C.D.28.积分 （分数：2.00）A.B.C.D.29. =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.30.设 ，则 =_。A

5、 BC D （分数：2.00）A.B.C.D.31.f(x)是以 3 为周期的连续奇函数，已知 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.32.设 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，那么 =_。A B Ce+1 D （分数：2.00）A.B.C.D.33. =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.34. =_。Aln2 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.35. =_。A B C （分数：2.00）A.B.C.D.36.根据定积分的几何意义，在区间a，b上，若 f(x)0，使不等式(b-a)f(a) （分数：2.00）A.B.C.D.37.广义积分_收敛。A BC

6、D （分数：2.00）A.B.C.D.38.广义积分_收敛。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.39. =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.40. （分数：2.00）A.B.C.D.41.曲线 f(x)=(x-1)(x+2)(2-x)与 x 轴围成的平面图形的面积为_。ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.42.设函数 f(x)在(-，+)上可导，f(1)=1，函数 （分数：2.00）A.B.C.D.43.设函数 f(x)在区间a，b上非负，且在(a，b)内 f“(x)0，f(x)0，I 1= ， （分数：2.00）A.B.C.D.44.设函数 f(x)在(

7、-，+)内可导，且满足关系式 xf(x)= x4-3x2+4+ （分数：2.00）A.B.C.D.45.设函数 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，则方程 （分数：2.00）A.B.C.D.46.曲线 和直线 x=-2，x=2 及 x 轴所围的图形的面积是_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.47. （分数：2.00）A.B.C.D.48.设曲线 y=ax2(a0，x0)与 y=1-x2交于点 A，过坐标原点和点 A 的直线与曲线 y=ax2围成一平面图形，当 a=_时，该图形绕 x 轴旋转一周的体积最大。A5 B4 C3 D2（分数：2.00）A.B.C.D.49.若曲线

8、y=cosx 与 x 轴和 y 轴所围图形的面积被曲线 y=asinx，y=bsinx(ab0)三等分，则a，b 的值分别为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.50.摆线 的一拱绕 x 轴旋转所成旋转曲面的面积为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.一元函数积分学(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：50，分数：100.00)1.设函数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 2. =_。A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 3.设 ，那么 =_。A BC D （分数：2.00）A.

9、B.C.D.解析：解析 设 x-2=t，则 dx=dt，且当 x=1 时，t=-1；当 x=4 时，t=2。于是4. =_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 x=sint，则 dx=costdt，且当 x=0 时，t=0；当 x=1 时， ，于是5. =_。A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 令 lnx=t，则 x=et，dx=e tdt，且当 x=1 时，t=0；x=e 时，t=1，于是移项，得6.若 f(x)的导函数是 e-x+cosx，则 f(x)的一个原函数是_。A-e -x+sinx Be -x-cosxC-e -x-cosx D

10、e -x+sinx（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f(x)=e-x+cosx，得f(x)=-e-x+sinx+c1(c1为任意常数)又f(x)dx=(-e -x+sinx+c1)dx=e-x-cosx+c1x+c2 (c2为任意常数)取 c1=c2=0 时，f(x)的一个原函数为 e-x-cosx，故正确答案为 B。7. =_。A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 8.设 f(x)有连续导数，且 f(0)=0，f(0)0， （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 要使必须9.下列函数中，_是 e|x|的原函数。A BC D （分数：2.00）A.B

11、.C. D.解析：解析 F(x)是 e|x|的原函数，必要条件是 F(x)可导，可导必连续，经验证，仅 C 中 F(x)在 x=0 连续，故正确答案为 C。10.下列运算正确的是_。Akf(x)dx=kf(x)dx BCf(2x)dx=f(2x)+c D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 A 中等式仅当 k0 时成立，C 中 ，D 也仅在无穷积分收敛条件下成立，但题中两个积分均发散，故仅 B 成立。若取 ，显然11. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 求导前要先作整理：从而有12.下列运算正确的是_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A、

12、D 中相对于求导变量，积分为常量，导数均为零，故 D 正确。B 中属复合函数求导，结果应为 2xf(x4)。C 中形式像定积分，但 maxx，t内含 x，应先化为变限积分形式再求导，即于是13.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 于是整理，得14.f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，并有反函数 g(x)，若 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 两边求导，有f(x)gf(x)=(2x+x2)ex，即 f(x)=(2+x)ex再积分 f(x)=f(x)dx=(1+x)e x+c，又 f(0)=0，得 c=-1于是 f(x)=(1+x)ex-1，故正

13、确答案为 C。15.设 ，其中 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 f(x)在0，2内仅有一个间断点，有界，故 f(x)可积，因此，g(x)必连续，故正确答案为D。16.函数 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 先整理，得再求导，有得驻点为 t=，由于在(0，1)上 单调减小，其中 不可能取到。或 1，故 (0，1)，又17.下列积分中，_可以经换元后利用公式 完成积分。A BC D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由故 A 满足题意，而 B、D 经变换可化为 ，C 则不能化为18. =_。ABCD （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 将积分

14、式分母有理化，再分项积分有19. =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 ，则原积分=20. =_。Aln(e -x+1)+c B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由21.x(lnx+e x)dx=_。Axe x+ex+xlnx+x+c Bxe x-ex+xlnx-x+cC D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 分项后用分部积分法求解，有22. =_。Axlnlnx+c Bxlnx+cC2lnlnx+c D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本积分分项后，单独积分，难以用基本积分公式积分，并用初等函数表示结果，对于23

15、.设 ，则f(x-1)dx=()。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 且f(u)du 在 x=0 连续，则有 c2=c1+1，c 1=c2-1，于是也有24. =_。A B C1 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由对称性 表示圆心为原点，半径为 1 的半个圆的面积。因此，原积分=25.设 ，则 =_。A0 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 先计算于是有 26.设 f(x)为连续函数，则 =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 被积函数为变上限积分函数，用分部积分法，有27. （分数：2.00）A.B

16、.C. D.解析：解析 在 x=0 处无定义但非无界点，可积，设 x=-t原积分=于是有28.积分 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用换元积分法整理积分式，再判断，设 u=tx，于是原积分=29. =_。A BC D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 30.设 ，则 =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 31.f(x)是以 3 为周期的连续奇函数，已知 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 此题无法用排除法，而是利用定积分的常用公式由 得 从而32.设 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，那么 =_。A B Ce

17、+1 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 令 u=2x-t，则 du=-dt故有 等式两边对 x 求导，得化简得 令 x=1，得故33. =_。A BC D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 ，令故原式=34. =_。Aln2 B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 用分部积分法：35. =_。A B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 36.根据定积分的几何意义，在区间a，b上，若 f(x)0，使不等式(b-a)f(a) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 此题用几何图形来分析比较好理解，根据 A、B、C 的条件可

18、以作出相应的图形，如图所示：(b-a)f(a)是矩形面积； 是曲线梯形面积；37.广义积分_收敛。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 lnx=u，各积分依次变换为对于积分38.广义积分_收敛。A BC D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 x+时， ，由 发散，知无穷积分 A、B 均发散，又 x+时，39. =_。A BC D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 40. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对原积分分项积分，有其中41.曲线 f(x)=(x-1)(x+2)(2-x)与 x 轴围成的平面图形的面积为_。ABCD

19、（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)在(-2，1)上为负，在(1，2)上为正，曲线 y=f(x)与 x 轴围成图形的面积为42.设函数 f(x)在(-，+)上可导，f(1)=1，函数 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 按变限定积分的求导公式，有 g(x)=exf(ex)-f(1+x)，再求导，可得g“(x)=exf(ex)+e2xf(ex)-f(1+x)于是有 g“(0)=e0f(e0)+e0f(e0)-f(1+0)=f(1)+f(1)-f(1)=1故正确答案为 D。43.设函数 f(x)在区间a，b上非负，且在(a，b)内 f“(x)0，f(x)0，I 1=

20、 ， （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 f“(x)0，f(x)0，x(a，b)可知曲线 y=f(x)，xa，b单调下降且是凹的，如图所示，则 I1表示梯形 ABCD 的面积，I 2表示a，b上的曲线 y=f(x)下的曲边梯形的面积，I 3表示矩形ABCE 的面积，由此可知有I3I 2I 144.设函数 f(x)在(-，+)内可导，且满足关系式 xf(x)= x4-3x2+4+ （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 等式两边求导，可得xf(x)+f(x)=6x3-6x+f(x)f(x)=6x2-6由此可得 f(x)=2x3-6x+c，c 为任意常数。但由题设等式可知当

21、 x=2 时，有45.设函数 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，则方程 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 考虑函数 ，则由 f(t)及 在a，b上的连续性，知函数 (x)在a，b上有连续的导数。因为 且46.曲线 和直线 x=-2，x=2 及 x 轴所围的图形的面积是_。A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 如图所示，由于函数 为奇函数，故有所围图形的面积 S 为：47. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由分部积分法有由此可得48.设曲线 y=ax2(a0，x0)与 y=1-x2交于点 A，过坐标原点和点 A 的直线与曲线 y=ax2

22、围成一平面图形，当 a=_时，该图形绕 x 轴旋转一周的体积最大。A5 B4 C3 D2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 当 x0 时，由 解得 ，故直线 OA 的方程为 。旋转体的体积令49.若曲线 y=cosx 与 x 轴和 y 轴所围图形的面积被曲线 y=asinx，y=bsinx(ab0)三等分，则a，b 的值分别为_。A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 如图所示，设曲线 y=asinx，y=bsinx 与曲线 y=cosx 的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则cosx1=asinx1，cosx 2=bsinx2，得由 ab，易知 x1x 2，依题设有积分整理，得 由式有将其代入式并化简得解得50.摆线 的一拱绕 x 轴旋转所成旋转曲面的面积为_。A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 旋转曲面的面积公式为由于曲线的方程为参数方程故 因为 故