【考研类试卷】考研数学（数学三）模拟试卷471及答案解析.doc

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1、考研数学（数学三）模拟试卷 471 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数，且 f(一 1)=1，则 （分数：2.00）A.一 4B.4C.D.3.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数 y=f(x)的曲线如图所示，则 f(x)有 （分数：2.00）A.两个极小值点，一个极大值点，三个拐点B.一个极小值点，一个极大值点，两个拐点C.一个极小值点，一个极大值点，三个拐点D.一个极小值点，两个极大值点，三个拐点4.

2、曲线 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个5.下列级数中属于条件收敛的是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.a=一 5 是齐次方程组 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件，但不是必要条件C.必要条件，但不是充分条件D.既不是必要条件又不是充分条件7.n 维向量 =(12，0，0，12) T ，A=E 一 4 T ，=(1，1，1) T ，则 A 的长度为（分数：2.00）A.B.C.nD.n 2 8.设 X，Y 为随机变量，PXY0= ,Pmax(X,Y)0= 则 Pmin(X，Y0= （分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X 的密度函数为 则下

3、列服从标准正态分布的随机变量是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.n 为给定的自然数，极限 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)=x 2 e ax 在(0，+)内有最大值 1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_13.设平面区域 D=(x，y)|x 3 y1，一 1x1，f(x)是定义在一 a，a(a1)上的任意连续函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则

4、Emin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.抛物线 y=x 2 上任意点(a，a 2 )(a0)处引切线 L 1 ，在另一点处引另一切线 L 2 ，L 2 与 L 1 垂直，(I)求 L 1 与 L 2 交点的横坐标 x 1 ； ()求 L 1 ,L 2 与抛物线 y=x 2 所围图形的面积 S(a)； ()问 a0 取何值时 S(a)取最小值（分数：2.00）_18.(I)求积分 f(t)= （分数：2.00）_19.设某企业生产一种产品，其成本 C(Q)=

5、-16Q 2 +100Q+1000，平均收益 =a 一 (a0，0b24)，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 E p = （分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.设数列a n ，b n 满足 (n=1，2，3，)，求证： (I)若 a n 0，则 b n 0； ()若 a n 0(n=1，2，3，)， （分数：2.00）_22.设 1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，7，a，4) T ， 3 =(5，17，一 1，7) T 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 当 a=3 时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 设 a=3， 4 是与

6、 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何一个 4 维向量（分数：2.00）_23.已知三元二次型 x T Ax 的平方项系数都为 0，=(1，2，一 1) T 满足 A=2 求 x T Ax 的表达式 求作正交变换 x=Qy，把 x T Ax 化为标准二次型（分数：2.00）_24.设甲袋中有 9 个白球，1 个黑球；乙袋中有 10 个白球每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放人另一袋中，试求： (I)这样的交换进行了 3 次，黑球仍在甲袋中的概率 p 3 ； ()这样的交换进行了 n次，黑球仍在甲袋中的概率 p n ；（分数：2.00）_25.设二

7、维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D=(x，y)|0yx2 一 y试求：(I)X+Y 的概率密度；()X 的边缘概率密度；()PY02|X=15（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 471 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数，且 f(一 1)=1，则 （分数：2.00）A.一 4B.4C. D.解析：解析：注意 f(x)也以 3 为周期，f(一 1)=f(2)，利用导数可求

8、得极限3.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数 y=f(x)的曲线如图所示，则 f(x)有 （分数：2.00）A.两个极小值点，一个极大值点，三个拐点B.一个极小值点，一个极大值点，两个拐点C.一个极小值点，一个极大值点，三个拐点 D.一个极小值点，两个极大值点，三个拐点解析：解析：由图可知，f(x)有两个零点：x 1 0，x 2 0，且在 x 1 两侧 f(x)由正变为负，即f(x)先增后减，于是 x 1 为极大值点；类似分析可知 x 2 为极小值点x=0 为 f(x)不存在的点(第二类间断点)，在 x=0 两侧均有 f(x)0，因此 x=0 不是极值点但在 x=0 两侧 f(x)由

9、减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 另外，除 x=0 点外，考察 f(x)的增减性，还有两个点 x 3 ，x 4 ，使 f(x)在它们的两侧改变增减性因此这两个点也是曲线 y=f(x)的拐点 综合上述分析，应选(C) 4.曲线 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 解析：解析：5.下列级数中属于条件收敛的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)，(B)，(C)不是条件收敛由6.a=一 5 是齐次方程组 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件，但不是必要条件 C.必要条件，但不是充分条件D.既不是必要条件又不是充分

10、条件解析：解析：根据克拉姆法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为 07.n 维向量 =(12，0，0，12) T ，A=E 一 4 T ，=(1，1，1) T ，则 A 的长度为（分数：2.00）A.B. C.nD.n 2 解析：解析：A=(E 一 4 T )= 一 4( T )= 一 4=(一 1，1，1，一 1) T ， 8.设 X，Y 为随机变量，PXY0= ,Pmax(X,Y)0= 则 Pmin(X，Y0= （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：9.设随机变量 X 的密度函数为 则下列服从标准正态分布的随机变量是 （分数：2.00

11、）A.B.C.D. 解析：解析： 而(A)，(B)，(C)三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.n 为给定的自然数，极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：此极限是 1 型未定式 其中大括号内的极限是 型未定式，由洛必达法则，有 11.设 f(x)=x 2 e ax 在(0，+)内有最大值 1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(x)在(0，+)内可导，且取得最大值，所以其最大值必在 f(x)的驻点处取得由f(x)=2xe ax +ax 2 e a

12、x =0 知 为 f(x)在(0，+)内唯一的驻点，故 12.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.设平面区域 D=(x，y)|x 3 y1，一 1x1，f(x)是定义在一 a，a(a1)上的任意连续函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令 F(x)=(x+1)f(x)+(x 一 1)f(一 x) 则 F(一 x)=(一 x+1)f(一 x)+(一 x 一 1)f(x) =一(x一 1)f(一 x)+(x+1)f(x)=一 F(x) 即 F(x)为奇函数 (x+1)f(x)+(x 一 1)f(一 x)

13、dxdy = -1 1 (x+1)f(x)+(x 一 1)f(一 x)dx 14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 Emin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：minX，Y= 由题设 X，Y 独立，则有 Z=XYN(0，2 2 )，于是 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.抛物线 y=x 2 上任意点(a，a 2 )(a0)处引切线

14、 L 1 ，在另一点处引另一切线 L 2 ，L 2 与 L 1 垂直，(I)求 L 1 与 L 2 交点的横坐标 x 1 ； ()求 L 1 ,L 2 与抛物线 y=x 2 所围图形的面积 S(a)； ()问 a0 取何值时 S(a)取最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)抛物线 y=x 2 在点(a，a 2 )处的切线为 L 1 ：y=a 2 +2a(x 一 a)，即y=2axa 2 另一点(b，b 2 )处的切线为 L 2 ：y=b 2 +2b(x 一 b)，即 y=2bxb 2 它们的交点(x 1 ，y 1 )满足 ()L 1 ，L 2 与 y=x 2 所围图形的面积 由

15、 x 1 的表达式知，x 1 b=a 一 x 1 ()求导解最值问题由 )解析：18.(I)求积分 f(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()t0 时 f(t)与初等函数相同，故连续又 故 f(t)在 t=0 也连续因此 f(t)在(一，+)连续 )解析：19.设某企业生产一种产品，其成本 C(Q)= -16Q 2 +100Q+1000，平均收益 =a 一 (a0，0b24)，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 E p = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：收益函数 R(Q)= 当取得最大利润时，边际收益等于边际成本， 即 MR=MC 又 MR=R=a 一 bQ，于

16、是 44=C(Q)=2Q 2 32Q+1 00， 即 Q 2 一 16Q+28=0 解得 Q 1 =14， Q 2 =2 故当 Q=14 时， 企业利润取极大值 )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因区域 D 关于 y 轴对称 为偶函数 对 D 1 ，D 2 引入极坐标 )解析：21.设数列a n ，b n 满足 (n=1，2，3，)，求证： (I)若 a n 0，则 b n 0； ()若 a n 0(n=1，2，3，)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 a n 0 证 b n 0 证明数列不等式 转化为证明函数不等式 e x 1+x，(x

17、0) 令 f(x)=e x 一(1+x)，则 f(x)=e x 一 10(x0) 又由 f(x)在0，+)连续 f(x)在0，+)单调上升 f(x)f(0)=0(x0) e x 1+x(x0) 一 a n 1，即b n 0 )解析：22.设 1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，7，a，4) T ， 3 =(5，17，一 1，7) T 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 当 a=3 时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 设 a=3， 4 是与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何一个 4 维向量（分数：2.00）_正

18、确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 r( 1 ， 2 ， 3 )3 得 a=一 3 与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量即齐次方程组 的非零解，解此方程组： )解析：23.已知三元二次型 x T Ax 的平方项系数都为 0，=(1，2，一 1) T 满足 A=2 求 x T Ax 的表达式 求作正交变换 x=Qy，把 x T Ax 化为标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 则条件 A=2 即 得 2a 一 b=2，a 一 c=4，b+2c=一 2，解出a=b=2，c=一 2 此二次型为 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 先求 A

19、特征值 于是 A 的特征值就是 2，2，一 4 再求单位正交特征向量组 属于 2 的特征向量是(A 一 2E)x=0 的非零解 得(A一 2E)x=0 的同解方程组：x 1 一 x 2 一 x 3 =0 显然 1 =(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为 2 =(1，一 1，c) T (这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得 c=2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量 1 ， 2 再把它们单位化： 属于一 4 的特征向量是(A+4E)x=0 的非零解 求出 3 =(1，一 1，一 1) T 是一个解，单位化： )解析：24.设甲袋中有 9 个白球，1 个黑球；乙袋中有 10

20、个白球每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放人另一袋中，试求： (I)这样的交换进行了 3 次，黑球仍在甲袋中的概率 p 3 ； ()这样的交换进行了 n次，黑球仍在甲袋中的概率 p n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)不管黑球在甲袋中还是在乙袋中，每次试验只有两种结果：取到黑球和取不到黑球，取到黑球的概率是 01，且各次试验相互独立三次取球交换可以看成三次独立试验，而黑球仍在甲袋中的概率，是 3 次取球中黑球被取到 0 次或 2 次的概率，因此所求概率为 p 3 =C 3 0 (01) 0 (09) 3 +C 3 2 (01) 2 09=0756 ()根据(I)的分析，当交

21、换了 n 次以后，黑球仍在甲袋中的事件是黑球被抓到了偶数次，也就是二项分布中所有含 01 的偶次幂项的和，故所求概率为 )解析：25.设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D=(x，y)|0yx2 一 y试求：(I)X+Y 的概率密度；()X 的边缘概率密度；()PY02|X=15（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)如图，区域 D 即AOB 的面积 S D =1，因此(X，Y)的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z2 时， 于是 X+Y 的概率密度 f(z)为 或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y 的概率密度由于 f(x，z 一 x)只有在0zxx2 一(z 一 x)时才不为 0，即只有当 xz2 时 ()当 X=15 时 f X (15)=05，条件密度 )解析：