【考研类试卷】考研数学(数学一)模拟试卷477及答案解析.doc
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1、考研数学(数学一)模拟试卷 477 及答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 g(x)可微,f(x)=ln 2 (1+g(x)+21n(1+g(x),f(1)=1,g(1)= (分数:2.00)A.1B.0C.2D.3.设 (分数:2.00)A.有界,不可积B.可积,有间断点C.连续,有不可导点D.可导4.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且 f(x)的傅里叶级数为 则 n1 时,a n =_ (分数:2.00)A.B.C.D.5.下列二元函数在点(
2、0,0)处可微的是 (分数:2.00)A.B.C.D.6.设 A 是 54 矩阵,r(A)=4,则下列命题中错误的为(分数:2.00)A.AX=0 只有零解B.AA T X=0 有非零解C.对任何 5 维向量 ,AX= 都有解D.对任何 4 维向量 ,A T X= 都有无穷多解7.设 则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是 (分数:2.00)A.B.C.D.8.设事件 A,B,C 是一个完备事件组,即它们两两互不相容且其和为 ,则下列结论中一定成立的是(分数:2.00)A.A,B,C 是一个完备事件组B.A,B,C 两两独立C.D.是两两对立事件9.设 XN(0,1),X 1 ,X 2 ,X 7
3、 是取自 X 的简单随机样本 服从 t(n)分布,则(c,n)为 (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.设 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 =(x,y)满足 (分数:2.00)填空项 1:_12.函数 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 L 为曲线x+y=1,则 L xds= 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设实对称矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_15.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(,; 2 , 2 ;0),则 Emin(X,Y)= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00
4、)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义,且满足 (分数:2.00)_18.设 xOy 平面第一象限中有曲线 :y=y(x),过点 ,y(x)0又 M(x,y)为 上任意一点,满足:弧段 (分数:2.00)_19.设函数 z=z(x,y)由方程 (分数:2.00)_20.()设 f(x)在(0,+)可导,f(x)0(x(0,+),求证 f(x)在(0,+)单凋上升()求证:在(0,+)单调上升,其中 n 为正数()设数列 (分数:2.00)_21.设 ()求 (分数:2.00)_22.设 4 阶矩阵 A=( 1 ,
5、 2 , 3 , 4 ),方程组 Ax= 的通解为(1,2,2,1) T +c(1,一2,4,0) T ,c 任意 记 B=( 3 , 2 , 1 , 一 4 )求方程组 Bx= 1 一 2 的通解(分数:2.00)_23.设 A 为 n 阶实对称矩阵,满足 A 2 =E,并且 r(A+E)=kn ()求二次型 x T Ax 的规范形 ()证明 B=E+A+A 2 +A 3 +A 4 是正定矩阵,并求B(分数:2.00)_24.已知(x,y)为一个二维随机变量,X 1 =X+2Y,X 2 =X 一 2Y(X 1 ,X 2 )的概率密度为 f(x 1 ,x 2 ) (分数:2.00)_25.进行
6、独立重复试验直到试验取得首次成功为止,设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验,其各批试验次数分别为 5,4,8,3,4,7,3,1,2,3求:()试验成功率 p 的矩估计值; ()试验失败率 q 的最大似然估计值(分数:2.00)_考研数学(数学一)模拟试卷 477 答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 g(x)可微,f(x)=ln 2 (1+g(x)+21n(1+g(x),f(1)=1,g(1)= (分数:2.00)A.1B.
7、0 C.2D.解析:解析:f(x)=(ln(1+g(x)+1) 2 1= 3.设 (分数:2.00)A.有界,不可积B.可积,有间断点C.连续,有不可导点 D.可导解析:解析:先求出分段函数 f(x)的变限积分当 0x1 时, F(x)= 0 x f(t)dt= 0 x costdt=sinx; 当 1x2 时, F(x)= 0 1 f(t)dt+ 1 x f(t)dt= 0 1 costdt+ 1 x (t-1)dt 易验证 F(x)在0,2上连续 当 x1 时显然 F(x)可导,且 F - (1)=(sinx) x=1 =cosx x=1 =一 , F + (1)=( 4.设 f(x)是周
8、期为 2 的周期函数,且 f(x)的傅里叶级数为 则 n1 时,a n =_ (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:这是求傅里叶系数的问题若 f(x)以 2l 为周期,按公式 取 l=1,得 a n = -1 1 f(x)cosnxdx= 0 2 f(x)cosnxdx (周期函数积分性质) = 0 1 f(x)cosnxdx+ 1 2 f(x)cosnxdx = 0 1 f(x)cosnxdx 5.下列二元函数在点(0,0)处可微的是 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:本题中的这 4 个函数均有 f(0,0)=0按可微定义,若 f(0,0)=0,则 f(x,y)在点(
9、0,0)处可微,且 f(x,y)=o() (0) B 中的 f(x,y)满足: 6.设 A 是 54 矩阵,r(A)=4,则下列命题中错误的为(分数:2.00)A.AX=0 只有零解B.AA T X=0 有非零解C.对任何 5 维向量 ,AX= 都有解 D.对任何 4 维向量 ,A T X= 都有无穷多解解析:解析:A 对,因为 rA=未知数个数 4B 对,因为 AA T 是 5 阶矩阵,而 r(AA T )5C 错,因为存在 5 维向量 不可用 A 的列向量组表示,使得 AX= 无解D 对,因为 r(A T )=方程个数 4,对任何 4 维向量 ,r(A T )不会大于 47.设 则下列矩阵
10、中与 A 合同但不相似的是 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:首先可排除 A,因为 rA=2,而 A 矩阵的秩为 1,所以它与 A 不合同两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正,负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手 求出E 一 A=(+3)( 一 3),A 的特征值为 0,一 3,3 显然 C 中矩阵的特征值也是 0,一 3,3,因此它和 A 相似,可排除。 剩下 BD 两个矩阵中,只要看一个D 中矩阵的特征值容易求出,为 0,一 1,1,因此它和 A 合同而不相似 (也可计算出 B 中矩阵的特征值为 0,1
11、,4,因此它和 A 不合同)8.设事件 A,B,C 是一个完备事件组,即它们两两互不相容且其和为 ,则下列结论中一定成立的是(分数:2.00)A.A,B,C 是一个完备事件组B.A,B,C 两两独立C. D.是两两对立事件解析:解析: 而任何事件与概率为 1 的事件都独立,因此应选 C 进一步分析,由于ABC=,若 相容;若9.设 XN(0,1),X 1 ,X 2 ,X 7 是取自 X 的简单随机样本 服从 t(n)分布,则(c,n)为 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由于 X i N(0,1)且相互独立,故 X 5 2 +X 6 2 +X 7 2 一 2 (3)且相互独立,
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