【考研类试卷】考研数学（数学一）模拟试卷473及答案解析.doc

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1、考研数学（数学一）模拟试卷 473 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设函数 y=y(x)由参数方程 =( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.4.直线 l：x-1=y=1-z 在平面 ：x-y+2z-1=0 上的投影直线 l 0 的方程为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设级数 (-1) n a n 2 n 收敛，则级数 （分数

2、：2.00）A.敛散性不定B.条件收敛C.发散D.绝对收敛6.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆 正确的有( )个（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 3 维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 = 1 + 2 - 3 ， 2 =3 1 - 2 ， 3 =4 1 - 3 ， 4 =2 1 -2 2 + 3 ，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.设 X 为随机变量，若矩阵 A=

3、（分数：2.00）A.X 服从区间0，2的均匀分布B.X 服从二项分布 B(2，05)C.X 服从参数为 1 的指数分布D.X 服从正态分布9.设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)+ （分数：2.00）A.事件 A 和 B 互不相容B.事件 A 和 B 互相对立C.事件 A 和 B 互不独立D.事件 A 和 B 相互独立二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=-1，已知曲线积分 L xe 2x -6f(x)sinydx-5f(x)-f(x)cosydy 与路径无关，则 f(x

4、)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设曲线的方程为 x=a.cost，y=asint，z=kt，其中 0t2，其线密度为 (x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，则该曲线关于 z 轴的转动惯量 I z = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 y 1 =xe+e 2x ，y 2 =xe x -e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 n 阶方阵 A 与 B 相似，A 2 =2E，则A+A-B-E= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 XU

5、(0，1)，YE(1)，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX= 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知 f(x)= ，且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：2.00）_18.计算曲线积分 I= L (y 2 -z 2 )dx+(2z 2 -x 2 )dy+(3x 2 -y 2 )dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向（分数：2.00）_19.设 f(x，y)=x 3 +y 3 =3x 2 -3y 2 ，求

6、f(x，y)的极值及其在 x 2 +y 2 16 上的最大值（分数：2.00）_20.设函数 f(x)连续，证明： 0 a f(x)dx x a (y)dy= （分数：2.00）_21.设有方程组 （分数：2.00）_22.已知矩阵 A= （分数：2.00）_23.设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求()随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；()Y 的概率密度；()概率 PX+Y1（分数：2.00）_24.设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台，发生故障时停用而另一台自动

7、开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T 的：()概率密度 f(t)；()数学期望和方差（分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 473 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：y=2(x-1)(x-3) 2 +2(x-1) 2 (x-3)，y=4(3x 2 -12x+11)=0 解得 y=0 的两个根，且两根两侧二阶导数符号都变号

8、故应选(C)3.设函数 y=y(x)由参数方程 =( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由所给参数方程，得 当 x=9 时，由 9=x=1+2t 2 知 t=2(因为 t1)，则 4.直线 l：x-1=y=1-z 在平面 ：x-y+2z-1=0 上的投影直线 l 0 的方程为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：先求出过直线 l 且与已知平面 垂直的平面 1 的方程，然后由平面 1 与两面 的方程即可得直线 l 0 的方程 设经过 l 且垂直于平面 的平面方程为 1 ：A(x-1)+By+C(z-1)=0， 则由条件可知 A-B+2C=0，A+B-C=0，

9、 由此解得 A：B：C=-1：3：2， 于是 1 的方程为 x-3y-2z+1=0 从而 l 0 的方程为 5.设级数 (-1) n a n 2 n 收敛，则级数 （分数：2.00）A.敛散性不定B.条件收敛C.发散D.绝对收敛 解析：解析：由级数收敛的必要条件推出 a n 2 2 =0，再由正项级数的比较判别法推导 a n 收敛 因为级数 (-1) n a n 2 n 收敛，故 (-1) n a n 2 n =0，即 a n 2 n =0，于是有 =0，又因为级数 收敛，所以 a n 收敛，即 6.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中 若 A 可逆，则 B 可逆； 若

10、 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆 正确的有( )个（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：命题、是借助行列式来判别，而是利用定义来判别 由于(A-E)B=AB-B=A+B-B=A，若 A 可逆，则 B 可逆，即正确 若 A+B 可逆，则AB=A+B0，则B0，即 B 可逆，正确 由于 A(B-E)=B，AB-E=B，若 B 可逆，则A0，即 A 可逆，从而 A+B=AB 可逆，正确 对于，由 AB=A+B，可得(A-E)(B-E)=E，故 A-E 恒可逆 故应选(D)7.设 3 维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 =

11、1 + 2 - 3 ， 2 =3 1 - 2 ， 3 =4 1 - 3 ， 4 =2 1 -2 2 + 3 ，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：利用 1 ， 2 ， 3 ， 4 与 1 ， 2 ， 3 之间的线性表示关系求解 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=( 1 ， 2 ， 3 ) =AC 由 1 ， 2 ， 3 线性无关，A 可逆，所以，R(B)=R(C) 8.设 X 为随机变量，若矩阵 A= （分数：2.00）A.X 服从区间0，2的均匀分布 B.X 服从二项分布 B(2，05)C.X 服从参数为 1 的指数

12、分布D.X 服从正态分布解析：解析：利用特征值概念以及重要分布的性质做判断 由E-A= 9.设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)+ （分数：2.00）A.事件 A 和 B 互不相容B.事件 A 和 B 互相对立C.事件 A 和 B 互不独立D.事件 A 和 B 相互独立 解析：解析：利用条件概率公式及独立定义得结论 因为 即 P(AB)= 由条件概率公式得，所以 P(AB)1-P(B)=P(B) ， P(AB)=P(B)P(AB)+二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y-1=0）解析：解析： 当 x=0 时，

13、t=0，11.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=-1，已知曲线积分 L xe 2x -6f(x)sinydx-5f(x)-f(x)cosydy 与路径无关，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：曲线积分与路径无关 ，故有 f(x)-5f(x)cosy= xe 2x -6f(x)siny， 即f(x)-5f(x)cosy=xe 2x -6f(x)cosy， 消去 cosy，整理得 f-5f+6f=xe 2x ， 对应齐次方程的特征方程为 r 2 -5r+6=(r-2)(r-3)=0， 对应齐次方程的通解为 Y=C 1

14、 e 2x +C 2 e 3x ， 由于=2 是特征根，故设 f=x(Ax+B)e 2x ，代入方程可求出 A= ，B=-1，于是方程的通解为 f(x)=C 1 e 2x +C 2 e 3x - x(x+2)e 2x ， 再由 f(0)=0 及 f(0)=-1，可求出 C 1 =C 2 =0， 因而所求函数为f(x)= x(x+2)e 2x 故应填 12.设曲线的方程为 x=a.cost，y=asint，z=kt，其中 0t2，其线密度为 (x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，则该曲线关于 z 轴的转动惯量 I z = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： a 2

15、 (3a 2 +4 2 k 2 ) ）解析：解析：令所设曲线为 ，则 ：x=acost，y=asint，z=kt(0t2)，且 关于 z 轴的转动惯量 I z 为 I z = (x 2 +y 2 ).(x，y，z)ds = (x 2 +y 2 ).(x 2 +y 2 +z 2 ).ds = 0 2 a 2 (a 2 +k 2 t 2 ) = a 2 (3a 2 +4 2 k 2 ) 故应填 a 2 (3a 2 +4 2 k 2 ) 13.已知 y 1 =xe+e 2x ，y 2 =xe x -e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解，则该

16、方程的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=xe x +C 1 e 2x +C 2 e -x）解析：解析：由解的结构定理可得 y 1 -y 2 =e -x ，y 3 -y 2 =e 2x 是对应齐次微分方程的两个解，而 e -x 与 e 2x 线性无关，于是该方程对应的齐次线性微分方程的通解为 Y= e 2x +C 2 e -x ( ，C 2 为任意常数) 从而原方程的通解为 y=y 1 +y=xe x +e 2x + e 2x +C 2 e -x =xe x +C 1 e 2x +C 2 e -x (C 1 =1+ 14.设 n 阶方阵 A 与 B 相似，A

17、2 =2E，则A+A-B-E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：AB+A-B-E=(A-E)B+A-E=(A-E)(B+E) 又因为 A 2 =2E，得(A-E)(A+E)=E 再由 A，B 相似，得 A+E 和 B+B 相似，从而A+E=B+E 于是， AB+A-B-E=A-E.B+E =A-E.A+E=E=1 故应填 115.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1）解析：解析：f X (x)= 所以联合概率密度为 故 PYX= 三、解答题(

18、总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知 f(x)= ，且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)= ，又因为 f(0)=0，代入 表达式得 C=0，故 同理，由 g(x)=及 g(0)=0，得 g(x)=ln(1+x)于是 )解析：解析：先积分，求出 F(x)和 g(x)的表达式，再求极限注意在求极限时应尽量利用无穷小量的等价代换简化计算过程18.计算曲线积分 I= L (y 2 -z 2 )dx+(2z 2 -x 2 )dy+(3x 2 -y 2 )dz，其中 L

19、是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取为平而 x+y+z=2 的上侧被 L 所围成的部分，的单位法向量为n= (1，1，1)，即 cos=cos=cos)= 由斯托克斯公式，得 其中在 xOy 面上的投影域 D 为x+y1(如图 1-2 所示)在上：z=2-x-y，(x，y)D， 因此 )解析：解析：空间曲线积分主要有两种计算方法：一是参数法，即将空间曲线用参数方程表示，再将空间曲线积分转化为定积分；二是用斯托克斯公式，将问题转化为第二类曲面积分显然，本题用斯托克斯公式最方便19.设 f(x，y)=x

20、3 +y 3 =3x 2 -3y 2 ，求 f(x，y)的极值及其在 x 2 +y 2 16 上的最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可得 解得 x 1 =0，x 2 =2，y 1 =0，y 2 =2 即共有 4 个极值可疑点：(0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2) 又因为 则在点(0，0)处， B 2 -AC=0-(-6)(-6)=-360 且 A=-60 所以点(0，0)是一个极大值点且极大值为 f(0，0)=0 同理，f(2，2)=-8 是一个极小值；而 f(0，2)与 f(2，0)不是极值 由上面讨论可知，f(x，y)在闭域 D 上的最大值，若在 D 内达到

21、，必是在(0，0)点取得，但也可能在 D 的边界上，故建立拉格朗日函数 令 L(x，y，)=x 3 +y 3 -3x 2 -3y 2 +(x 2 +y 2 -16)， 则有 解得：x=0，y=4 或 x=4，y=0 或 x= 因此 f(x，y)在 D 上的最大值为 )解析：解析：先求出函数 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 16 内的极值可疑点(x i ，y i )(i=1，2，m)；再利用极值的充分判别法判断每个点是否为极值点，若是极值点，则求出对应的极值；最后由拉格朗日乘数法求得 f(x，y)在 D 的边界上的可疑极值，将以上所得函数值进行比较，便可得到结果20.设函数 f(x)连

22、续，证明： 0 a f(x)dx x a (y)dy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 1-3 所示， 0 a f(x)dx x a f(y)dy= 0 a x a f(x)f(y)dydx = D1 (x)f(y)dydx(由对称性) = 0 a 0 a f(x)f(y)dydx = 0 a f(x)dx 0 a f(y)dy = 0 a f(x)dx 2 )解析：解析：所证等式的右边是定积分，左边是累次积分，而且发现式子左边无论是先对 y 还是先对 x 积分，里层的积分均无法积出，因此要另辟蹊径若把左边看成二重积分： 0 a x a f(x)f(y)dydx， 右边亦视为二

23、重积分： 21.设有方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 Ax=0 的基础解系 由于 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 =2 2 - 3 ，得 R(A)=3又因为 1 -2 2 + 3 +0. 4 =0， 故 Ax=0 基础解系为(1，-2，1，0) T 再求 Ax= 的一个特解 由于 = 1 + 2 + 3 + 4 ，故(1，1，1，1) T 为一个特解所以，Ax=的通解为 (1，1，1，1) T +k(1，-2，1，0) T ，k 为常数)解析：22.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 是 A 的特征值，由于 A 2 =A，所以 2 =，

24、且 A 有两个不同的特征值，从而 A 的特征值为 0 和 1 又因为 A 2 =A，即 A(A-E)=O，故 R(A)+R(A-E)=n.事实上，因为 A(A-E)=O，所以 R(A)+R(A-E)n 另一方面，由于 E-A 与 A-E 的秩相同，则有 n=R(E)=R(E-A)+AR(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E)， 从而 R(A)+R(A-E)=n 当 =1 时，因为 R(A-E)=n-R(A)=n-s，从而齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系含有 s 个解向量，因此，A 属于特征值 1 有 s 个线性无关特征向量，记为 1 ， 2 ， s 当 =0 时，因为 R(A)=

25、s，从而齐次线性方程组(0.E-A)x=0 的基础解系含 n-s 个解向量因此，A 属于特征值 0 有行一 s 个线性无关的特征向量，记为 s+1 ， s+2 ， n 于是 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量，所以 A 可对角化，并且对角阵为 ()令P=( 1 ， 2 ， 3 ， n )，则 A=PAP -1 ，所以 A-2E=PAP -1 -2E=A-2E= )解析：解析：利用非齐次线性方程组解的结构求解先求对应导出组的基础解系，再求一个特解23.设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 y 在区间(0，x)上服从均匀分布，

26、求()随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；()Y 的概率密度；()概率 PX+Y1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(U，V)的可能取值为(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)，则 PU=1，V=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= PU=1，V=2=0； PU=2，V=1=PX=2，Y=1)+PX=1，Y=2 =PX=2)PY=1+PX=1)PY=2= PU=2，V=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= 故(U，V)的概率分布为(II)由(U，V)的概率分布可得 所以 Cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V)= )解析：24.设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台，发生故障时停用而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T 的：()概率密度 f(t)；()数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()E(X)= 令 为 的矩估计量 ()似然函数为 对数似然函数为 对数似然方程为 其最大似然估计值为 ，即 的最大似然估计量为 )解析：解析：利用 E(X)=