【考研类试卷】考研数学（数学一）模拟试卷472及答案解析.doc

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1、考研数学（数学一）模拟试卷 472 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.极限 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数4.设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2

2、)是比 xsinx m 高阶的无穷小，而 xsinx m 是比 e x2 -1 高阶的无穷小，则正整数 m 等于( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.点 P 0 (2，1，1)到平面 ：x+y-z+1=0 的距离 d=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，A * 是 A 的伴随矩阵，则有( )（分数：2.00）A.A * x=0 的解均为 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均为 A * x=0 的解C.Ax=0 与 A * x=0 无非零公共解D.Ax=0 与 A * x=0 恰好有一个非零公共解7.设

3、3 维向量 4 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关B.向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关C.向量组 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关D.向量组 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性相关8.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1)，则 E(X)=( )（分数：2.00）A.06B.05C.04D.19.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松

4、分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本记 （分数：2.00）A.B.C.-1D.1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 -x 在点(1，0)处有公共切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.极限 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 u=e -x sin （分数：2.00）填空项 1:_13.向量场 A=(x 2 -y)i+4zj+x 2 k 的旋度为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y=1-e -2X 的概率密度 f

5、Y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设函数 f(t)有二阶连续的导数， （分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c，在其上的点 P(1，2)处的曲率圆的方程为 （分数：2.00）_20.设 f(x)三阶可导，且 f(a)0， f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+fa+(x-a) (01) (*)证明： （分数：2.00）_21.设 f(x)在-2，2上具有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= -x x (

6、x+t)dt. 证明：级数 （分数：2.00）_22.设齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系为 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T Bx=0 的基础解系为 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：2.00）_23.已知矩阵 A= （分数：2.00）_24.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1上服从均匀分布，令 Z=X-Y，求：()X与 Y 的边缘概率密度函数并判断随机变量 X 与 Y 的独立性；()随机变量函数 Z 的概率密度函数；()Co

7、v(X，Y)（分数：2.00）_25.已知总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 472 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.极限 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：利用洛必达法则及变上限定积分求导公式，直接计算即可3.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C

8、.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数解析：解析：用排除法 对于(B)选项，取 f(x)=cosx+1 为偶函数，则 F(x)=sinx+x+1 为 f(x)的一个原函数，但 F(x)不是奇函数，故排除(B)项 对于(C)选项，令 f(x)=sinx，则 f(x)是周期函数，且f(x)的一个原函数是 4.设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx m 高阶的无穷小，而 xsinx m 是比 e x2 -1 高阶的无穷小，则正整数 m 等于( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：由条件

9、知5.点 P 0 (2，1，1)到平面 ：x+y-z+1=0 的距离 d=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：直接利用公式： ，其中平面方程为 Ax+By+Cz+D=0，点的坐标是(x 0 ，y 0 ，z 0 ) 由点到平面的距离公式，得 6.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，A * 是 A 的伴随矩阵，则有( )（分数：2.00）A.A * x=0 的解均为 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均为 A * x=0 的解 C.Ax=0 与 A * x=0 无非零公共解D.Ax=0 与 A * x=0 恰好有一个非零公共解解析：解析：利用 A

10、x=0 的解的性质以及 A * 的性质，从而求得 A * x=0 解的性质 由题意 n-R(A)2，从而 R(A)n-2，由 R(A)与 R(A * )之间关系知 R(A * )=0，即 A * =O，所以任选一个 n 维向量均为 A * x=0 的解 故应选(B)7.设 3 维向量 4 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关B.向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关 C.向量组 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关D.向量组 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性相关解析：解析：对于(A)、(

11、B)选项可以利用如下结论：若 1 ， m 线性无关，且 ， 1 ， m 线性相关，则 可由 1 ， m 线性表示 对于(C)、(D)选项，可通过举反例加以排除 4 个 3 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以(B)正确 对于(C)选项，取 1 = ，易知 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性相关，故(C)不正确 对于(D)选项，取 1 = 8.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1

12、，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1)，则 E(X)=( )（分数：2.00）A.06B.05C.04 D.1解析：解析：已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，可以验证 F 1 (2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X 2 ，其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数，且 X 2 = ，记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 (x)，概率密度函数为 f 2 (x)，所以 X 的分布函数为 F(x)=04 F 1 (x)+06F 2 (x) 两边同时对 x 求导，得 f(x)=04f 1 (x)+

13、06f 2 (x)于是 - + xf(x)dx=04 - + xf 1 (x)dx+06 - + xf 2 (x)dx 即 E(X)=04E(X 1 )+06E(X 2 )=04E(X 1 )+06E 9.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本记 （分数：2.00）A. B.C.-1D.1解析：解析：利用 因为 X 服从泊松分布 P()，则 E(X)=D(X)=， 由 E(T)= 2 ，可得 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 -x 在点(1，0)处有公共切线，则 （分数：2.00）填

14、空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：利用有公共切线求出 f(1)、f(1)，再利用导数定义求出极限值 因为曲线 y=f(x)与 y=x 2 -x 在点(1，0)处有公共切线，所以 f(1)=0，f(1)=1，从而知 11.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然乘积(n+1)(n+2)(n+n)无法表达，若简化放大、缩小却得不到相同的极限，只能往定积分方面考虑 因为 ，取其对数，得 因此可看成把0，1分成 n 等份，小区间长度为 可视为函数 ln(1+x)在分点 上的值，因此 上式= 0 1 ln(1+x)dx=xln(1+x) 0

15、1 - 0 1 =ln2-x-ln(1+x) 0 1 =ln2-1+ln2 =2ln2-1， 所以，原式=e 2ln2-1 =e 2ln2 e= 故应填 12.设 u=e -x sin （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先由函数关系式求出一阶、二阶偏导函数，再将点 的坐标代入即可 于是故应填13.向量场 A=(x 2 -y)i+4zj+x 2 k 的旋度为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4i-2xj+k）解析：解析：由旋度公式得14.设A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先求伴随矩阵

16、A * ，进而求得 A * 所有元素之和，即为A的所有代数余子式之和 由于 A * =(A ij )，只要能求出 A 的伴随矩阵，就可求出A ij 因为 A * =AA -1 ，而A= 又由分块矩阵求逆，有 从而 A * = ，故 故应填 15.设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y=1-e -2X 的概率密度 f Y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用公式或一般方法求 y=g(X)的概率密度 因为 X 服从以 2 为参数的指数分布，所以 X 的概率密度为 由 y=1-e -2X 得 x=h(y)= ，所以 Y 的概率密度为 故应填 三

17、、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设函数 f(t)有二阶连续的导数， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，所以 利用对称性， )解析：解析：题中 g(x，y)是 r 的复合函数，r 又是 x，y 的具体函数，运用多元复合函数的链式求导法则求出两个二阶偏导数并求和即可18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是一块矩形域，如图 5-1 所示 )解析：19.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c，在其上的点 P(1，2)处的曲率圆的方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：

18、曲线 L：y=ax 2 +bx+c 经过点 P(1，2)，从而 2=a+b+c 曲率圆 在点 P 处的切线的斜率为 与 L 在此点的切线斜率相等故 y P =(2ax+b) P =2a+b=1 又 L 在点 P 处曲率应与曲率圆的曲率相等，且曲率圆的曲率为 故 )解析：解析：利用曲线在点 P(1，2)处与曲率圆在该点处二者的切线斜率、曲率相等便可求出 a，b，c 的值20.设 f(x)三阶可导，且 f(a)0， f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+fa+(x-a) (01) (*)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+fa+(x-a)

19、 把 f(x)在 x=a 处展为泰勒公式 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ (x-a) 2 +o(x-a) 3 ) 其二阶导数为 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+o(x-a)， 把 x=a+(x-a)代入上式，得 fa+(x-a)=f(a)+f(a)(x-a)+o(x-a) -整理，得 fa+(x-a)=f(a)+ (x-a)+o(x-a) 、联立 (x-a)+o(x-a)=f(a)(x-a)+o(x-a)， 即 因此 )解析：解析：先写出函数 f(x)在 x=a 处的三阶带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，再由 f(x)的已知表达式即可证得结论成立21.设 f(x)在-2，2上具有

20、连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= -x x (x+t)dt. 证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 由拉格朗日中值定理，得 又因为 f(x)在-2，2上连续，则f(x)在-2，2上有界，即存在正数 M0，有 f(x)M，x-2，2 因此 又因为 收敛 所以 )解析：解析：综合运用积分运算方法和性质推导出22.设齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系为 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T Bx=0 的基础解系为 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共

21、解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()假设可以，即 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ，则(k 1 ，k 2 ，k 3 ，0) T 是 Ax= 的解 从而(k 1 ，k 2 ，k 3 ，0) T -(-1，1，0，2) T =(k 1 +1，k 2 -1，k 3 ，-2) T 就是 Ax=0 的解 但是显然(k 1 +1，k 2 -1，k 3 ，-2) T 和(1，-1，2，0) T 线性无关 所以 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示 ()因为(-1，1，0，2) T 是 Ax= 的解，则 =- 1 + 2 +2 4 又因为(1，-1，2，0) T 是 Ax=0 的解，则

22、 1 - 2 + 3 =0 所以， 和 3 都可由 1 ， 2 ， 4 线性表示 又由 R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)=R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3，所以， 1 ， 2 ， 4 是极大无关组)解析：解析：()利用反证法； ()由条件所给方程组的解，来确定向量之间的线性关系23.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型的矩阵为 A= ，则二次型的正、负惯性指数都是 1，可知 R(A)=2， A= =-(a+2)(a-1) 2 =0， 所以 a=-2，或 a=1，又 a=1 时，显然 R(A)=1，故只取 a=-2 ()此时E-A=(+3)(-3)，

23、所以 A 的特征值是 3，-3，0 当 1 =3 时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为 1 =(1，0，1) T ； 当 2 =-3 时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为 2 =(1，-2，-1) T ； 当 3 =0 时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为 3 =(1，1，-1) T 将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 故有正交阵 因此所求的正交变换为 )解析：解析：先根据惯性指数求得 a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得 f 的最值24.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1上服从均匀分布，令 Z=X-Y，求

24、：()X与 Y 的边缘概率密度函数并判断随机变量 X 与 Y 的独立性；()随机变量函数 Z 的概率密度函数；()Cov(X，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如图 5-2 所示，由题设可得 由(U，V)有四个可能值：(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，则 PU=0，V=0=PXY，X2Y=PXY= PU=0，V=1=PXY，X2Y=0， PU=1，V=0=PXY，X2Y=P(YX2Y= PU=1，V=1=1- 故 U 和 V 的联合分布为 ()UV，U 和 V 的分布为 于是有 E(U)= Cov(U，V)=E(UV)-E(U).E(V)= 所以 )解析：25.已

25、知总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 表示第 i 周的需求量，i=1，2，3，则 X 1 ，X 2 ，X 3 独立同分布 ()令U 2 =X 1 +X 2 ， f 2 (u)= - + f(x)f(u-x)dx= 0 u (ux-x 2 )e -u dx= 令 U 3 =X 1 +X 2 +X 3 ， f 3 (u)= - + f 2 (x)f(u-x)dx= ()因为 Y=maxX 1 ，X 2 ，X 3 ， 所以 F Y (y)=F(y) 3 ，其中 F(x)= 0 x f(t)dt= 故 f Y (y)=F Y (y)=3F(y) 2 f(y)= )解析：