【考研类试卷】考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷8及答案解析.doc

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1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 8及答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 （分数：2.00）A.1，0，一 2B.1，1，一 3C.3，0，一 2D.2，0，一 33.已知 A是 4阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A+2ED.A一 4E4.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T

2、B.A 2C.A -1 D.AE5.已知 a=(1，一 2，3) T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6B.a=2，b=一 6C.a=2，b=6D.a=一 2b=一 66.设 A是 n阶矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) （分数：2.00）A.1个B.2个C.3个D.4个7.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A的特征向量C.若 是 A 2 的

3、特征向量，那么 是 A的特征向量D.若 是 2A的特征向量，那么 是 A的特征向量8.已知三阶矩阵 A与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A属于特征值 =一 3的特征向量是( )（分数：2.00）A.B.A+2C.A 2 一 AD.A 2 +2A 一 39.设 A是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，一 2 )，则 P 一 1 AP=( )（分数：2.00）A.B.C.D.10.已知 （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )B.( 1 ， 2 +

4、3 ， 2 一 2 3 )C.( 1 ， 3 ， 2 )D.( 1 + 2 ， 1 2 ， 3 )11.设 A为 n阶可逆矩阵，A 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. 一 1 A n B. 一 1 AC.AD.A二、填空题(总题数：14，分数：28.00)12.设 3阶方阵 A的特征值分别为一 2，1，1，且 B与 A相似，则2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 3阶矩阵 A的特征值分别为 1，2，2，E 为 3阶单位矩阵，则4A 一 1 一 E= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 3阶方阵 A的特征值是 1，2，3

5、，它们所对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ，令 P=(3 3 ， 1 ，2 2 )，则 P 一 1 AP= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A有一个特征值一 2，则 B=A 2 +2E必有一个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A是 n阶矩阵，=2 是 A的一个特征值，则 2A 2 一 3A+5E必定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A是 3阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A一定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_19.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A是 3

6、阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0和 1对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，一 1，1) T ，则特征值 2对应的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 A为 2阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的 2维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设 n阶可逆矩阵 A的一个特征值是一 3，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_23.若 3维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_24.设 =(

7、1，一 1，a) T 是 （分数：2.00）填空项 1:_25.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：32.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_27.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 （分数：2.00）_28.设矩阵 （分数：2.00）_29.设 3阶方阵 A的特征值为 1 =2， 2 =一 2， 3 =1；对应的特征向量依次为 （分数：2.00）_30.设 A 2 一 3A+2E=O，证明：A 的特征值只能取 1或 2（分数：2.00）_设=(a 1 ，a 2 ，a n )

8、T ，a 1 0，A=aa T ，（分数：4.00）(1).证明 =0 是 A的 n一 1重特征值；（分数：2.00）_(2).求 A的非零特征值及 n个线性无关的特征向量（分数：2.00）_31.已知 （分数：2.00）_设 A为 3阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A的特征值；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP=A（分数：2.00）_32.设矩阵 A与 B相似，且 （分数：2.00）_33.设 A，B，C

9、是 n阶方阵，满足 r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(A T 一 2E)=O证明：AA，并求 A及A（分数：2.00）_设 A，B 是 n阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明：（分数：4.00）(1).AB和 BA有相同的特征值，且 ABBA；（分数：2.00）_(2).对一般的 n阶矩阵 A，B，是否必有 ABBA?（分数：2.00）_34.已知 A是 3阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(A+E)（分数：2.00）_35.设 A是 3阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3维列向量，且 A

10、 1 = 1 一 2 +3 3 ，A 2 =4 1 3 2 +5 3 ，A 3 =0求矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_36.设 A是 n阶矩阵，A=E+xy T ，x 与 y都是 n1矩阵，且 y T x=2，求 A的特征值、特征向量（分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 8答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 （分数：2.00）A.1，0，一 2B.1，1，一 3C.3，0，一 2D.2，0，一 3

11、解析：解析：根据特征值的性质： i = ii 现在a ii =1+(一 3)+1=一 1，故可排除选项 C显然，矩阵 A中第 2、3 两列成比例，易知行列式A=0，故 =0 必是 A的特征值，因此可排除选项 B 对于选项 A和选项 D，可以用特殊值法，由于 3.已知 A是 4阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A+2E D.A一 4E解析：解析：因为 A * 的特征值是 1、一 1、2、4，所以A * =一 8，又因为A * =A n-1 ，即A 3 =一 8，于是A=一 2那么，矩阵 A的

12、特征值是： 因此，AE 的特征值是 4.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T B.A 2C.A -1 D.AE解析：解析：由于EA T =(E 一 A) T =EA，A 与 A T 有相同的特征多项式，所以 A与 A T 有相同的特征值由 A=A，0 可得到：A 2 = 2 ，A -1 = -1 ，(AE)=(一 1)，说明 A 2 、A 一 1 、AE 与 A的特征值是不一样的(但 A的特征向量也是它们的特征向量)所以应选 A5.已知 a=(1，一 2，3) T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6 B.a=2，b=一 6C.

13、a=2，b=6D.a=一 2b=一 6解析：解析：设 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，按定义有6.设 A是 n阶矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) （分数：2.00）A.1个B.2个 C.3个D.4个解析：解析：由 A=，0，有 A 2 =A()=A= 2 ，0，即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量 又 知 必是矩阵 属于特征值 7.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量B.若 是 A *

14、的特征向量，那么 是 A的特征向量C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A的特征向量D.若 是 2A的特征向量，那么 是 A的特征向量 解析：解析：如果 是 2A的特征向量，即(2A)=，0那么 ，所以 是矩阵 A属于特征值 的特征向量由于(E 一 A)x=0与(E 一 A T )x=0不一定同解，所以 不一定是 A T 的特征向量例如 8.已知三阶矩阵 A与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A属于特征值 =一 3的特征向量是( )（分数：2.00）A.B.A+2C.A 2 一 A D.A 2 +2A 一 3解析：解析：因为

15、A 3 +2A 2 一 3A=0故(A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A 2 一 A)，因为，A，A 2 线性无关，那么必有 A 2 一 A0，所以 A 2 一 A 是矩阵 A+3E属于特征值=0 的特征向量，即矩阵 A属于特征值 =一 3的特征向量所以应选 C9.设 A是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，一 2 )，则 P 一 1 AP=( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 A 2 =3 2 ，有 A(一 2 )=3(一 2 )，即当 2 是矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量时，一 2 仍是

16、矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量同理，2 3 仍是矩阵 A属于特征值 =一2的特征向量当 P 一 1 AP=A时，P 由 A的特征向量所构成，A 由 A的特征值所构成，且 P与 A的位置是对应一致的，已知矩阵 A的特征值是 1，3，一 2，故对角矩阵 A应当由 1，3，一 2构成，因此排除选项B、C由于 2 3 是属于 =一 2的特征向量，所以一 2在对角矩阵 A中应当是第 2列，所以应选 A10.已知 （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )C.( 1 ， 3 ， 2 )D.( 1 + 2 ， 1 2 ， 3 ) 解析：解析：若

17、 11.设 A为 n阶可逆矩阵，A 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. 一 1 A n B. 一 1 A C.AD.A解析：解析：设向量 x(x0)是与 对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有 Ax=Ax 上式两边左乘 A * ，并考虑到 A * A=AE 得 A * Ax=A * (x)即 Ax=A * x，从而 可见 A * 有特征值 二、填空题(总题数：14，分数：28.00)12.设 3阶方阵 A的特征值分别为一 2，1，1，且 B与 A相似，则2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 16）解析：

18、解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有13.设 3阶矩阵 A的特征值分别为 1，2，2，E 为 3阶单位矩阵，则4A 一 1 一 E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据已知条件 A的特征值为 1，2，2，A 一 1 的特征值为 14.设 3阶方阵 A的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ，令 P=(3 3 ， 1 ，2 2 )，则 P 一 1 AP= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 3 3 ， 1 ，2 2 分别为 A的对应特征

19、值 3，1，2 的特征向量，所以 15.已知 A有一个特征值一 2，则 B=A 2 +2E必有一个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 =一 2是 A的特征值，所以根据特征值的性质， 2 +2=(一 2) 2 +2=6是 B=A 2 +2E的特征值16.设 A是 n阶矩阵，=2 是 A的一个特征值，则 2A 2 一 3A+5E必定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如果 是 A的一个特征值， 是对应于 的一个特征向量，则 A=，因此有 A 2 =A()=A= 2 因此可知(2A 2 一 3A+5

20、E)=2A 2 一 3A+5=(2 2 一 3+5)，所以 22 2 一 32+5=7一定是 2A 2 一 3A+5E的一个特征值17.设 A是 3阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A一定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得 满足18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：根据矩阵 A的特征多项式 可得矩阵 A的特征值为 7，1，1又因为A= i ，可得A=7因为如果 A=，则有 19.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案

21、：*）解析：解析： 所以 A的特征值为20.设 A是 3阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0和 1对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，一 1，1) T ，则特征值 2对应的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(一 1，0，1) T ，t0）解析：解析：设所求的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有 21.设 A为 2阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的 2维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A的非零特征值为 1（分数：2.00）填

22、空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设条件，得 记 P=( 1 ， 2 )，因 1 ， 2 线性无关，故 P=( 1 ， 2 )是可逆矩阵因此 则 A与 B相似，从而有相同的特征值 因为 22.设 n阶可逆矩阵 A的一个特征值是一 3，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据矩阵特征值的特点，A 有特征值一 3，所以 有特征值 有特征值23.若 3维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 T =2，所以 T =(

23、 T )=2，故 T 的非零特征值为 224.设 =(1，一 1，a) T 是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析： 是 A * 的特征向量，设对应于 的特征值为 0 ，则有 A * = 0 ，该等式两端同时左乘 A，即得 AA * =A= 0 A，即 展开成方程组的形式为 25.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此 +3+(一 1)= i =3，所以 a=1又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有 三、解答题(总题数：14，分数：

24、32.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：27.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设对应于 2 = 3 =1的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，根据题设，A为实对称矩阵，因此 T 1 =0，即 x 2 +x 3 =0，解得 2 =(1，0，0) T ， 3 =(0，1，一 1) T 又由 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 1 ， 2 2 ， 3 3 )，故有 A=( 1 1 ， 2 2 ， 3 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) 一 1 )解

25、析：28.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A= 由于A=70，所以 0又因 A * A=AE，故有 于是有 因此， 为 B+2E的特征值,对应的特征向量为 P 一 1 故 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7 当 1 = 2 =1时，对应线性无关的两个特征向量可取为 当 3 =7时，对应的一个特征向量可取为 因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3 对应于特征值 9的全部特征向量为 ，其中 k 1 ，k 2 是不全为零的任意常数； 对应于特征值 3的全部特征向量为 )解析：29.设 3阶方阵 A的特征值为 1 =2， 2

26、 =一 2， 3 =1；对应的特征向量依次为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A的特征值互异，故 p 1 ，p 2 ，p 3 线性无关，令 P=(p 1 ，p 2 ，p 3 )，P是可逆矩阵，则 从而 A=PAP 一 1 )解析：30.设 A 2 一 3A+2E=O，证明：A 的特征值只能取 1或 2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A的特征值，非零向量 x是矩阵 A对应于 的特征向量，则(A 2 一3A+2E)x= 2 x一 3x+2x=( 2 一 3+2)x=0，由于 x0，则 2 一 3+2=0，即 =1 或 =2故矩阵 A的特征值只能取 1或 2)解

27、析：设=(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，a 1 0，A=aa T ，（分数：4.00）(1).证明 =0 是 A的 n一 1重特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为对称阵，故 A与对角阵 A=diag( 1 ， 2 ， n )相似，其中 1 ， 2 ， n 是 A的全部特征值因为 A= T 且 a 1 0，所以 r(A)=1，从而 r(A)=1，于是 A只有一个非零对角元，即 =0 是 A的 n1重特征值)解析：(2).求 A的非零特征值及 n个线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 =a T a， 2 = n =0因为 Aa=aa T a

28、=(a T a)a= 1 a，所以 p 1 =a是对应于 1 =a T a的特征向量对于 2 = n =0，解方程 Ax=0，即 aa T x=0已知 a0，因此 a T x=0，即 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0，所以其余(n 一 1)个线性无关特征向量为 p 2 =(一 a 2 ，a 1 ，0，0) T ， p 3 =(一 a 3 ，0，a 1 ，0) T ， p n =(一 a n ，0，0，a 1 ) T )解析：31.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为： 则 A的特征值为 1 =2n一 1， 2 =n一 1，其中 n一 1为重

29、根当 1 =2n一 1时，解齐次方程组( 1 EA)x=0，对系数作初等变换，有 得到基础解系 3 =(1，1，1) T 当 2 =n一 1时，齐次方程组( 2 EA)x=0等价于 x 1 +x 2 +x n =0，得到基础解系 2 =(一 1，1，0，0) T ， 3 =(一 1，0，1，0) T ， n =(一 1，0，0，1) T 则 A的特征向量是：k 1 1 和 k 2 2 +k 3 3 +k n n )解析：设 A为 3阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 （分数：4

30、.00）(1).求矩阵 A的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得 由于 1 , 2 , 3 线性无关，即矩阵 P 1 可逆，所以 P 1 一 1 AP 1 =B，因此矩阵 A与 B相似，则 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(E 一 B)x=0，得矩阵 B对应于特征值 =1 的特征向量 1 =(一 1，1，0) T ， 2 =(一 2，0，1) T ；由(4E 一 B)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量 3 =(0，1，1) T )解析：32.设矩阵 A与 B相似，且 （分数：2.00）_正确答案

31、：(正确答案：由于 AB，则有， 于是得 a=5，b=6且由 A一 B，知 A与 B有相同的特征值，于是 A的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6当 =2 时，解齐次线性方程组(2EA)x=0 得到基础解系为 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量当 =6 时，解齐次线性方程组(6EA)x=0，得到基础解系是(1，一 2，3) T ，即属于 =6 的特征向量那么，令 )解析：33.设 A，B，C 是 n阶方阵，满足 r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(A T 一 2E)=O证明：AA，并求 A及A（分数：2.00）_正确

32、答案：(正确答案：由已知条件，r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(A T 一 2E)=O若 r(C)=n，则 r(B)=0，在(A+E)C=O 两边右乘 C 一 1 ，得 A+E=0，即 A=一 E故 AA=一 E若 r(B)=n，则 r(C)=0，在 B(A T 一2E)=O两边左乘 B 一 1 ，得 A T 一 2E=O，即 A T =2E故 A=(2E) T =2EA=2E若 r(C)=r，rn，r0，则 r(B)=nr将矩阵 C进行列分块，方程组(A+E)x=0 至少有 r个线性无关解向量，即 A有特征值 =一1，且至少是 r重根对 B(A T 一 2E)=O两边转置，可得(

33、A 一(2E) T )B T =(A一 2E)B T 因 r(B T )=r(B)=n一 r，那么将 B T 进行列分块，则方程组(A 一 2E)x=0至少有 nr个线性无关解，即 A有特征值=2，且至少有 nr重根因 r(B)+r(C)=n，故 =一 1是 r重特征值；=2 是 n一 r重特征值，且 A有 n个线性无关特征向量故 AA，其中 )解析：设 A，B 是 n阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明：（分数：4.00）(1).AB和 BA有相同的特征值，且 ABBA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，A=n!0，故 A可逆则有EAB=A(A 一 1 一B=AEBAA

34、 一 1 E 一 BA即 AB和 BA有相同的特征多项式，故 AB和 BA有相同的特征值若取可逆矩阵 P=A，则有 P 一 1 ABP=A 一 1 ABA=BA，故 ABBA)解析：(2).对一般的 n阶矩阵 A，B，是否必有 ABBA?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对一般的 n阶矩阵 A，B，有 ABBA )解析：34.已知 A是 3阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(A+E)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，则A=(0)，于是 A n

35、 = n 那么用 右乘 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0，得( 4 +2 3 + 2 +2)=0因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=( 3 +2 2 +2)=(+2)( 2 +1)=O由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A的特征值是 0或一 2由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A的特征值是 0，一 2，一 2 因 AA，则有 )解析：35.设 A是 3阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3维列向量，且 A 1 = 1 一 2 +3 3 ，A 2 =4 1 3 2 +5 3 ，A 3 =0求矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_