【考研类试卷】考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)-试卷2及答案解析.doc
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1、考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)-试卷 2及答案解析(总分:52.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 A为 n阶矩阵,下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 A的秩与矩阵 A的非零特征值的个数相等B.若 AB,则矩阵 A与矩阵 B相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn,则 A经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A可对角化,则 A的秩与其非零特征值的个数相等4.设 A,B 为 n阶可逆矩阵
2、,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q,使得 Q T AQ=BC.A,B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B二、填空题(总题数:2,分数:4.00)5.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_6.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:15,分数:40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设二维非零向量 不是二阶方阵 A的特征向量(分数:4.00)(1).证明 ,A 线性无关;(分数:2.00)_(2).若 A 2 +A-6=0,求 A的特征值,讨论 A可否对角化;
3、(分数:2.00)_设 A是三阶矩阵, 1 , 2 , 3 为三个三维线性无关的列向量,且满足 A 1 = 2 + 3 ,A 2 = 1 + 3 ,A 3 = 1 + 2(分数:4.00)(1).求矩阵 A的特征值;(分数:2.00)_(2).判断矩阵 A可否对角化(分数:2.00)_设 A,B 为三阶矩阵,且 AB=A-B,若 1 , 2 , 3 为 A的三个不同的特征值,证明:(分数:4.00)(1).AB=BA;(分数:2.00)_(2).存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP,P -1 BP同时为对角矩阵(分数:2.00)_8.若 A可逆且 AB,证明:A * B * ;(分数:2.0
4、0)_9.若 Ab,证明:存在可逆矩阵 P,使得 APBP(分数:2.00)_10.设 A= (分数:2.00)_设方程组 有无穷多个解, 1 = (分数:4.00)(1).求 A;(分数:2.00)_(2).求A * +3E(分数:2.00)_设 A为三阶实对称矩阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 有非零解且 1 =2是 A的特征值,对应特征向量为(-1,9,1) T (分数:4.00)(1).求 A的其他特征值与特征向量;(分数:2.00)_(2).求 A(分数:2.00)_11.设 A= (分数:2.00)_12.设 A,B 为 n阶矩阵,且 r(A)+r(B)n证明:A,B 有公共
5、的特征向量(分数:2.00)_设 A是 n阶矩阵, 1 , 2 , n 是 n维列向量,且 n 0,若 A 1 = 2 ,A 2 = 3 ,A n-1 = n ,A n =0(分数:4.00)(1).证明: 1 , 2 , n 线性无关;(分数:2.00)_(2).求 A的特征值与特征向量(分数:2.00)_13.设 A为三阶方阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 的通解为 k 1 (分数:2.00)_14.A= (分数:2.00)_15.设 A= (分数:2.00)_考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)-试卷 2答案解析(总分:52.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数
6、:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:A 的特征值为 1,2,0,因为特征值都是单值;所以 A可以对角化,又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A相同且可以对角化,所以选(D)3.设 A为 n阶矩阵,下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 A的秩与矩阵 A的非零特征值的个数相等B.若 AB,则矩阵 A与矩阵 B相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn,则 A经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A可对角化,则 A的秩与其非零
7、特征值的个数相等 解析:解析:(A)不对,如 A= ,A 的两个特征值都是 0,但 r(A)=1;(B)不对,因为 AB 不一定保证 A,B 可以对角化;(C)不对,如 A= ,A 经过有限次行变换化为 ,经过行变换不能化为 因为 A可以对角化,所以存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP= ,于是 r(A)= 4.设 A,B 为 n阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q,使得 Q T AQ=BC.A,B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B 解析:解析:因为 A,B 都是可逆矩阵,所以 A,B 等价,即
8、存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B,选(D)二、填空题(总题数:2,分数:4.00)5.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:由E-A= 6.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:由E-A=0 得 A的特征值为 1 =-2, 2 = 3 =6因为 A有三个线性无关的特征向量,所以 A可以对角化,从而 r(6E-A)=1,解得 a=0三、解答题(总题数:15,分数:40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:设二维非零向量 不是二阶方阵 A的特征向量(分数:4.00)(1).证明
9、 ,A 线性无关;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 ,A 线性相关,则存在不全为零的数 k 1 ,k 2 ,使得 k 1 +k 2 A=0,可设 k 2 0,所以 A= )解析:(2).若 A 2 +A-6=0,求 A的特征值,讨论 A可否对角化;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 2 +A-6=0,得(A 2 +A-6E)=0, 因为 0,所以 r(A 2 +A-6E)2,从而A 2 +A-6E=0,即 3E+A.2E-A=0,则3E+A=0 或2E-A=0 若3E+A0,则 3E+A可逆,由(3E+A)(2E-A)=0,得 (2E-A)=0,即 A=2,矛盾; 若
10、2E-A0,则 2E-A可逆,由(2E-A)(3E+A)=0,得 (3E+A)=0,即 A=-3,矛盾,所以有3E+A=0 且2E-A=0,于是二阶矩阵 A有两个特征值-3,2,故 A可对角化)解析:设 A是三阶矩阵, 1 , 2 , 3 为三个三维线性无关的列向量,且满足 A 1 = 2 + 3 ,A 2 = 1 + 3 ,A 3 = 1 + 2(分数:4.00)(1).求矩阵 A的特征值;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 1 , 2 , 3 线性无关,所以 1 + 2 + 3 0,由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 ),得 A的一个特征值 1 =2;
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