【考研类试卷】考研数学二(概率论与数理统计)-试卷3及答案解析.doc
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1、考研数学二(概率论与数理统计)-试卷 3及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 F 1 (x)和 F 2 (x)分别为 X 1 和 X 2 的分布函数,为使 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数中应取( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设连续型随机变量 X的分布函数和概率密度函数分别为 F(x)和 f(x),则( )(分数:2.00)A.0f(x)1B.P(X=x)F(x)C.P(X=x)=
2、F(x)D.P(X=z)=f(z)4.设随机变量 X服从正态分布 N(0,1),对给定的 (0,1),数 u 满足 P(Xu )=,若使等式P(Xx)=095 成立,则 x=( )(分数:2.00)A.u 0.475 B.u 0.975 C.u 0.025 D.u 0.05 5.设随机变量 X的概率密度为 f(x),且有 f(一 x)=f(x),F(x)为 X的分布函数,则对任意实数 a,有( )(分数:2.00)A.F(-a)=1一 0 a f(x)dxB.F(-a)= C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-16.设随机变量 X服从 N( 1 , 1 2 ),Y 服从 N( 2
3、 , 2 2 ),且 PX- 1 1)PX- 2 1),则( )(分数:2.00)A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 7.设 X服从 N(, 2 ),且 PXPx,则( )(分数:2.00)A.B.C.=D., 的大小关系不能确定8.设随机变量 Y在0,1上服从均匀分布,F(x)(0F(x)1)是严格单调递减且连续的函数,则由关系式Y=F(X)定义的随机变量 X的分布函数是( )(分数:2.00)A.F(x)B.F -1 (x)C.1一 F(x)D.1一 F -1 (x)二、填空题(总题数:8,分数:16.00)9.设 X的概率密度为 f(x),分布函数为 F(x),对固定
4、的 x 0 ,若使函数 (分数:2.00)填空项 1:_10.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= ,表示对 X独立的三次观察中事件X (分数:2.00)填空项 1:_11.一射手进行射击,击中目标的概率为 p(0p1),现在他领到 5发子弹,进行射击直到命中目标或子弹用完为止,以 X表示他射击实际脱靶的次数,则 Px=1= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 )(0),且二次方程 y 2 +4y+X:0 无实根的概率为 (分数:2.00)填空项 1:_13.设随机变量 X在区间a,b(a0)上服从均匀分布,且 P0x3= (分数:2.00)填空项
5、 1:_14.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_15.设随机变量 X服从 N(2, 2 ),且 P2X4=03,则 PX0= 1(分数:2.00)填空项 1:_16.已知随机变量 X的分布函数 F(x)是连续的严格单调函数,Y=1 一 2X,F(025)=075,PYk=025,则 k= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:19,分数:38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_18.设随机变量 X的概率分布为 PX=k=C (分数:2.00)_19.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)= ,
6、试求(1)常数 A,B;(2)随机变量 X落在( (分数:2.00)_20.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= ,求(1)常数 a,b 的值;(2) (分数:2.00)_21.设随机变量 X的概率分布为 PX=k= (分数:2.00)_22.设某地在任何长为 t的时间间隔内发生地震的次数 X服从参数为 t 的泊松分布,时间以周计,0,(1)设 T为两次地震之间的间隔时间,求 T的概率分布;(2)求相邻两周内至少发生三次地震的概率;(3)求连续 8周无地震的条件下,在未来 7周内仍无地震的概率(分数:2.00)_23.设在一段时间内进入某商店的顾客人数 X服从参数为 的泊松分布,每个顾客购
7、买某件物品的概率为p(0p1),并且每个顾客购买该物品是相互独立的,以 Y表示购买这种物品的顾客人数,求 Y的概率分布(分数:2.00)_24.设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)_25.已知随机变量 X的概率密度为 f X (x)= e -|x| ,一x+,又设 求(1)求 x的分布函数;(2)求 y的概率分布和分布函数;(3)计算 pY (分数:2.00)_26.设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x),分布函数为 F(x),当 x0 时满足 xf“(x)=(1一 x)f(x),当x0 时,f(x)=0问常数 a为何值时,概率 PaXa+1最大(分数:2.00
8、)_27.设随机变量 X的绝对值不大于 1,且 Px=-1= (分数:2.00)_28.设随机变量 X的分布函数为 F(x),如果 F(0)= (分数:2.00)_29.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)_30.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)_31.设 x的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)_32.设随机变量 x的概率密度 f(x)= (分数:2.00)_33.设随机变量 X的概率密度 f(x)= (分数:2.00)_34.设随机变量 X和 Y相互独立,且都服从标准正态分布 N(0,1),求 Z=(X+Y) 2 的概率密度 f Z (
9、Z)(分数:2.00)_35.设随机变量 X在区间(一 2,3)上服从均匀分布,Y= (分数:2.00)_考研数学二(概率论与数理统计)-试卷 3答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 F 1 (x)和 F 2 (x)分别为 X 1 和 X 2 的分布函数,为使 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数中应取( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:本题考查分布函数的性质,如果 X分布函
10、数为 F(x),则 F(一)=0,F(+)=1,可以得到a,b 应满足的关系 由已知 F 1 (+)=F(+)=1,从而 F(+)=a+b=1,满足该关系的只有(A)3.设连续型随机变量 X的分布函数和概率密度函数分别为 F(x)和 f(x),则( )(分数:2.00)A.0f(x)1B.P(X=x)F(x) C.P(X=x)=F(x)D.P(X=z)=f(z)解析:解析:本题主要考查连续型随机变量分布的概念和性质,分布函数是事件的概率,即 F(x)=PXx,需要注意概率密度 f(x)=F“(x),其本身并不表示事件的概率 因为 f(x)0,没有 f(x)1 的限制,故(A)错误 又 F(x)
11、=PXx,而事件X=x4.设随机变量 X服从正态分布 N(0,1),对给定的 (0,1),数 u 满足 P(Xu )=,若使等式P(Xx)=095 成立,则 x=( )(分数:2.00)A.u 0.475 B.u 0.975 C.u 0.025 D.u 0.05 解析:解析:本题考查标准正态分布上侧分位点的概念,可以利用概率密度图形分析 如图 21所示由 P(Xx)=095,得 P(Xx)=1 一 P(Xx)=005,故 x= =u 0.025 ,从而应选C 5.设随机变量 X的概率密度为 f(x),且有 f(一 x)=f(x),F(x)为 X的分布函数,则对任意实数 a,有( )(分数:2.
12、00)A.F(-a)=1一 0 a f(x)dxB.F(-a)= C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-1解析:解析:由分布函数的定义,将其用概率密度表示,再通过积分换元可得结果 因为 f(-x)=f(x), - 0 f(x)dx= 0 + f(x)dx= 而 F(一 a)= - -a f(x)dx= - 0 f(x)dx+ 0 -a f(x)dx,令 x=一 t,则 0 -a f(x)dx=一 0 a f(一 t)dt=一 0 a f(t)dt=一 0 a f(x)dx,所以 F(一 a)= 6.设随机变量 X服从 N( 1 , 1 2 ),Y 服从 N( 2 , 2 2 ),
13、且 PX- 1 1)PX- 2 1),则( )(分数:2.00)A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 解析:解析:7.设 X服从 N(, 2 ),且 PXPx,则( )(分数:2.00)A. B.C.=D., 的大小关系不能确定解析:解析:8.设随机变量 Y在0,1上服从均匀分布,F(x)(0F(x)1)是严格单调递减且连续的函数,则由关系式Y=F(X)定义的随机变量 X的分布函数是( )(分数:2.00)A.F(x)B.F -1 (x)C.1一 F(x) D.1一 F -1 (x)解析:解析:设 X的分布函数是 F X (x)=Pxx=PF(X)F(x)=PYF(x),由于
14、 Y在0,1上服从均匀分布,故 F X (x)=PYF(x)= 二、填空题(总题数:8,分数:16.00)9.设 X的概率密度为 f(x),分布函数为 F(x),对固定的 x 0 ,若使函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:考查概率密度的性质如果 X为连续型随机变量,概率密度为 f(x),则主要利用 - + f(x)dx=1求取 f(x)中未知参数,本题还要注意 F“(x)=f(x) 由题意,要求 g(x)0, - + g(x)dx=1,即有 10.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= ,表示对 X独立的三次观察中事件X (分数:2.00)填空项 1:
15、_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:本题的关键是判断出 Y的概率分布由于 Y表示对 X独立的三次观察中事件x 出现的次数,因此 Y服从二项分布 B(3,p),而 p=PX 由已知Y 服从二项分布 B(3p)11.一射手进行射击,击中目标的概率为 p(0p1),现在他领到 5发子弹,进行射击直到命中目标或子弹用完为止,以 X表示他射击实际脱靶的次数,则 Px=1= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:P(1-p))解析:解析:考查独立重复试验中的“有限几何分布”,需要具备把实际问题提炼成概率模型的能力计算事件X=1的概率,关键是理解清楚它的含义,即X=1相当于事件”“
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