【考研类试卷】考研数学二真题2016年及答案解析.doc

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1、考研数学二真题 2016年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.a1，a2，a3B.a2，a3，a1C.a2，a1，a3D.a3，a2，a12.已知函数 则 f(x)的一个原函数是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.反常积分 （分数：4.00）A.收敛，收敛B.收敛，发散C.发散，收敛D.发散，发散4.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则_ （分数：4.00）A.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点B.函数 f(x)有 2个极值点，曲线

2、 y=f(x)有 3个拐点C.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 1个拐点D.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点5.设函数 f i (x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且 f“ i (x 0 )0(i=1，2)，若两条曲线 y=f i (x)(i=1，2)在点(x 0 ，y 0 )处具有公切线 y=g(x)，且在该点处曲线 y=f 1 (x)的曲率大于曲线 y=f 2 (x)的曲率，则在 x 0 的某个邻域内有_（分数：4.00）A.f1(x)f2(x)g(x)B.f2(x)f1(x)g(x)C.f1(x)g(x)f2(x)D.f2(x)g(x)f1

3、(x)6.已知函数 （分数：4.00）A.f“x-f“y=0B.f“x+f“y=0C.f“x-f“y=fD.f“x+f“y=f7.设 A，M 是可逆矩阵，且 A与 B相似，则下列结论错误的是_ A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+B-1相似（分数：4.00）A.B.C.D.8.设二次型 （分数：4.00）A.a1B.a-2C.-2a1D.a=1或 a=-2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10.极限 （分数：4.00）11.以 y=x 2 -e x 和 y=x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程

4、为 1 （分数：4.00）12.已知函数 f(x)在(-，+)上连续， （分数：4.00）13.已知动点 P在曲线 y=x 3 上运动，记坐标原点与点 P间的距离为 l若点 P的横坐标时间的变化率为常数 v 0 ，则当点 P运动到点(1，1)时，l 对时间的变化率是 1 （分数：4.00）14.设矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 （分数：10.00）_17.已知函数 z=z(x，y)由方程(x 2 +y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求 z=z(x，y)的极值 （分数：10.00）_18.设 D是由

5、直线 y=1，y=x，y=-x 围成的有界区域，计算二重积分 （分数：10.00）_19.已知 y 1 (x)=e x ，y 2 (x)=u(x)e x 是二阶微分方程(2x-1)y“-(2x+1)y“+2y=0 的两个解若 u(-1)=e，u(0)=-1，求 u(x)并写出微分方程的通解 （分数：10.00）_20.设 D是由曲线 （分数：11.00）_已知函数 f(x)在 上连续，在 内是函数 （分数：11.00）(1).求 f(x)在区间 （分数：5.50）_(2).证明 f(x)在区间在 （分数：5.50）_设矩阵 （分数：11.00）(1).求 a的值；（分数：5.50）_(2).求

6、方程组 A T Ax=A T 的通解（分数：5.50）_已知矩阵 （分数：11.00）(1).求 A 99 ；（分数：5.50）_(2).设 3阶矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 )满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 ， 2 ， 3 )，将 1 ， 2 ， 3 分别表示为 1 ， 2 ， 3 的线性组合（分数：5.50）_考研数学二真题 2016年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.a1，a2，a3B.a2，a3，a1 C.a2，a1，a3D.a3，a2，a1解析：考点 洛必达法则 解析 等价无穷

7、小 当 x0 + 时， 2.已知函数 则 f(x)的一个原函数是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 分段函数原函数 解析 由定理可知，原函数可导，由此原函数必然连续，所以原函数在 x=1处连续，A 和 C被排除 在 B选项中，可以验证 F“ + (1)=2，根据题意又可知，原函数满足 F“(1)=f(1)=0 故 B不符合，因此选 D3.反常积分 （分数：4.00）A.收敛，收敛B.收敛，发散 C.发散，收敛D.发散，发散解析：考点 广义积分敛散性判别 解析 由题意可知：式为 则式收敛 式为 4.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则_

8、（分数：4.00）A.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点B.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 3个拐点 C.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 1个拐点D.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点解析：考点 函数极值点和拐点 解析 由极值的充分条件可知，某一点左右导函数符号发生改变，则该点即为极值点，因此由图易知函数 f(x)有 2个极值点 由拐点的充分条件可知，曲线在某一点左右导函数的单调性发生改变，则该点是曲线的拐点，因此曲线y=f(x)有 3个拐点故选 B5.设函数 f i (x)(i=1，2)具有二阶连续导

9、数，且 f“ i (x 0 )0(i=1，2)，若两条曲线 y=f i (x)(i=1，2)在点(x 0 ，y 0 )处具有公切线 y=g(x)，且在该点处曲线 y=f 1 (x)的曲率大于曲线 y=f 2 (x)的曲率，则在 x 0 的某个邻域内有_（分数：4.00）A.f1(x)f2(x)g(x) B.f2(x)f1(x)g(x)C.f1(x)g(x)f2(x)D.f2(x)g(x)f1(x)解析：考点 函数连续及极限的保号性 解析 由题意可知，f“ i (x)连续且 f“ i (x)(x 0 )0，又依据连续的定义和极限的保号性，在 x 0 的某邻域 U(x 0 )内有 f“ i (x)

10、0，故 f i (x)在 U(x 0 )内是凸的 又由于在 x=x 0 处具有公切线 y=g(x)，因此曲线与切线的位置关系为 f i (x)g(x) 又由于在 x 0 处 y=f 1 (x)的曲率大于 y=f 2 (x)的曲率，所以 f“ 1 (x 0 )f“ 2 (x 0 )0 令 F(x)=f 1 (x)-f 2 (x)，因为在 x=x 0 处具有公切线 y=g(x)，所以 F(x 0 )=0，F“(x 0 )=0 再由 F“(x 0 )0，得 F(x 0 )=0为 F(x)的极大值，因在 x 0 的某邻域 U 1 (x 0 )内 F(x)0，所以 f 1 (x)f 2 (x) 故 f

11、1 (x)f 2 (x)g(x)，选 A6.已知函数 （分数：4.00）A.f“x-f“y=0B.f“x+f“y=0C.f“x-f“y=fD.f“x+f“y=f 解析：考点 多元函数偏导数 解析 由已知条件 得 7.设 A，M 是可逆矩阵，且 A与 B相似，则下列结论错误的是_ A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+B-1相似（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵相似 解析 由相似定义可知，A 与 B相似，存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，则 B T =(P -1 AP) T =P T A T (P -1 )

12、T =P T A T (P T ) -1 =(P T ) -1 -1 A T (P T ) -1 ，故 A正确 B -1 =(P -1 AP) -1 =P -1 A -1 (P -1 ) -1 =P -1 A -1 P， 故 B正确 B+B -1 =P -1 AP+P -1 A -1 P=P -1 (A+A -1 )P， 故 D正确 所以不正确的为 C，故选 C8.设二次型 （分数：4.00）A.a1B.a-2C.-2a1 D.a=1或 a=-2解析：考点 二次型正惯性指数 解析 由题意已知，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )对应的矩阵为 由 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)

13、9.曲线 （分数：4.00）解析： 考点 渐近线 解析 由渐近线公式易得 由此可知，斜渐近线为 10.极限 （分数：4.00）解析：sin1-cos1 考点 定积分定义 解析 由题意可知， 又由定积分定义得 11.以 y=x 2 -e x 和 y=x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 1 （分数：4.00）解析：y“-y=2x-x 2 考点 一阶非齐次线性微分方程 解析 设一阶非齐次线性微分方程为 y“+p(x)y=q(x) 根据线性微分方程解的关系可知，x 2 -(x 2 -e x )=e x 为 y“+p(x)y=0的解，所以 p(x)=-1 又因为 y=x 2 为 y“+p(x)y=

14、g(x)的解，所以 q(x)=2x-x 2 由此可得一阶非齐次线性微分方程为 y“-y=2x-x 2 12.已知函数 f(x)在(-，+)上连续， （分数：4.00）解析： 考点 高阶导数 解析 由题意，当 x=0时 f(0)=1 将 两边同时对 x求导，得 f“(x)=2(x+1)+2f(x)，其中 f“(0)=4； 将 f“(x)=2(x+1)+2f(x)两边同时对 x求导，得 f“(x)=2+2f“(x)，其中 f“(0)=10； 将 f“(x)=2+2f“(x)两边同时对 x求导，得 由此归纳可得 f (n) (x)=2 n-2 f“(x)所以 13.已知动点 P在曲线 y=x 3 上

15、运动，记坐标原点与点 P间的距离为 l若点 P的横坐标时间的变化率为常数 v 0 ，则当点 P运动到点(1，1)时，l 对时间的变化率是 1 （分数：4.00）解析： 考点 导数 解析 由距离定义并结合题意易得 两边同时对 t求导得 又因为 x=1， 所以 14.设矩阵 （分数：4.00）解析：2 考点 矩阵等价 解析 设 对 B进行初等行变换，得 得 r(B)=2 因为 A与 B等价，所以 r(A)=r(B)=2，于是行列式 即 a=2或 a=-1 又因为当 a=-1时，行列式 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 求极限16

16、.设函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题意可知， 所以 f“(x)=4x 2 -2x=2x(2x-1) 令 f“(x)=0，得 (x0)，且 根据极小值定义可知，f(x)在 处取极小值，且为最小值 17.已知函数 z=z(x，y)由方程(x 2 +y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求 z=z(x，y)的极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：根据题意，将方程(x 2 +y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0两边分别同时对 x，y 求偏导数得 令 解得 又对式关于 x求偏导数，对式关于 y求偏导数，对式关于 y求偏导数，将式、式代入得 解得 18.设 D

17、是由直线 y=1，y=x，y=-x 围成的有界区域，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题意可得积分区域 所以 19.已知 y 1 (x)=e x ，y 2 (x)=u(x)e x 是二阶微分方程(2x-1)y“-(2x+1)y“+2y=0 的两个解若 u(-1)=e，u(0)=-1，求 u(x)并写出微分方程的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：根据题意，将 y 2 =u(x)e x 代入原方程可得 (2x-1)e x u“(x)+2u“(x)+u(x)-(2x+1)e x u“(x)+u(x)+2u(x)e x =0，整理得(2x-1)u“(x)+(2x-

18、3)u“(x)=0 变量分离得 对两边进行积分，得 即 20.设 D是由曲线 （分数：11.00）_正确答案：()解析：根据题意，将 化成直角坐标系下的方程，可得 从而 所以体积为 表面积为 已知函数 f(x)在 上连续，在 内是函数 （分数：11.00）(1).求 f(x)在区间 （分数：5.50）_正确答案：()解析：由题意可知 且 f(0)=0，则 所以 f(x)在 上的平均值为 (2).证明 f(x)在区间在 （分数：5.50）_正确答案：()解析：根据题意， 令 f“(x)=0，解得在 上的唯一驻点为 又当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0则 为 f(x)在 内的极小值点，也是

19、最小值点所以 根据单调性可知，函数 f(x)在 内无零点；函数 f(x)在 内有唯一零点 综上所述 f(x)在 设矩阵 （分数：11.00）(1).求 a的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：将增广矩阵进行初等行变换，得 (2).求方程组 A T Ax=A T 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：当 a=0时， 已知矩阵 （分数：11.00）(1).求 A 99 ；（分数：5.50）_正确答案：()解析：根据题意并结合特征值的定义，有 所以 A的特征值为 1 =-1， 2 =-2， 3 =0 当 1 =-1时，解(-E-A)x=0，由于 所以 A对应于 1 =-1的线性无关的

20、特征向量 当 2 =-2时，解(-2E-A)x=0，由于 所以 A对应于 2 =-2的线性无关的特征向量 当 3 =0时，解(0E-A)x=0，即 Ax=0，由于 所以 A对应于 3 =0的线性无关的特征向量 特征向量为 由 P -1 AP= 易知 故 A=PP -1 所以 (2).设 3阶矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 )满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 ， 2 ， 3 )，将 1 ， 2 ， 3 分别表示为 1 ， 2 ， 3 的线性组合（分数：5.50）_正确答案：()解析：由题意可知， B 2 =BA， B 3 =BBA=B 2 A=BAA=BA 2 B 4 =B 2 A 2 =BAA 2 =BA 3 由此可得 B 100 =BA 99 ，所以有