【考研类试卷】考研数学二-高等数学多元函数微积分及答案解析.doc

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1、考研数学二-高等数学多元函数微积分及答案解析(总分：225.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：44.00)1.累次积分 等于（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 k 为常数，则极限（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 z=f(x，y)满足 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则（分数：4.00）A.f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续B.f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微C.存在D.存在6.设 0a1，区域 D 由 x 轴，y 轴，直线 x+y=a

2、及 x+y=1 所围成，且 ， （分数：4.00）A.B.C.D.7.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 在第一象限的部分，则等于（分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 f(x，y)在点(0，0)点菜领域内有定义，且 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于（分数：4.00）A.B.C.D.11.二元函数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：36.00

3、)12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 z=x+y+f(x-y)，且当 y=0 时，z=x 2，则 （分数：4.00）填空项 1:_15.设 （分数：4.00）填空项 1:_16.设 z=f(x，y)，满足 （分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）填空项 1:_19.设 a0， 而 D 表示全平面则 （分数：4.00）填空项 1:_20. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：29，分数：145.00)21.证明 （分数：5.00）_22.设 z=f(2x-y)+g(

4、x，xy)，其中 f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：5.00）_23.设 z=f(x2-y2，e zy)，其中厂具有连续二阶偏导数，求 （分数：5.00）_24.设 u=f(x，y，z)，其中 （分数：5.00）_25.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=a，f y(1，1)=b，g(x)=f(x，f(x，f(x，x)，求 g(1)，g(1)（分数：5.00）_26.设 u=f(x，y，z)，y=(x，t)，t=(x，z)，其中 f， 可微，求 （分数：5.00）_27.设 ，w=ze y取 u，v 为新自变量，w=

5、w(u，v)为新函数，变换方程 + （分数：5.00）_28.设 f(x，y，z)=e xyz2，其中 z=z(x，y)由 z+y+z+xyz=2 所确定，求 fx(0，1，-1)和 fy(0，1，-1)（分数：5.00）_29.已知 u+eu=xy，求 （分数：5.00）_30.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由 exy-y=0 和 ez-xz=0 所确定，求 （分数：5.00）_31.设 u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定：e xy-xy=2和（分数：5.00）_32.设 z=z(x，y)由方程

6、 F(x+y，y+z)=1 所确定，其中 F 具有连续二阶偏导数，求 （分数：5.00）_33.设 ，其中 f 是二阶可微函数，且 f(1)=1， （分数：5.00）_34.已知 u=u(x，y)满足方程 （分数：5.00）_35.3S若函数 z=z(x，y)具有一阶连续偏导数，试证明 的充要条件是 （分数：5.00）_36.求函数 f(x，y)=x 4+y4-(x+y)2的极值。（分数：5.00）_37.求 f(x，y)=xy(a-x-y)的极值（分数：5.00）_38.设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（

7、分数：5.00）_39.求函数 （分数：5.00）_40.在平面 x+y+z=1 上求一点，使它与两定点 P1(1，0，1)，P 2(2，1，0)的距离的平方和最小（分数：5.00）_41.求函数 f(x，y)=xy(4-x-y)在由 x=1，y=0，x+y=6 所围闭区域上的最大值和最小值（分数：5.00）_42.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2，求 f(x，y)在椭圆域 D= （分数：5.00）_43.设 a，b，c 为正实数，试证明（分数：5.00）_44.设 D 是 xOy 平面上有界闭区域，函数 u(x，y)在 D 上定义，在 D

8、的内部成立 u“xx+u“yy+cu=0，其中c0 为常数，证明：(1)u 在 D 上的正最大值(负最小值)不能在 D 的内部取得(2)若 u 在 D 上连续，且在 D 的边界上 u=0，则在 D 上 u0（分数：5.00）_45.交换下列累次积分的次序：（分数：5.00）_46.计算下列二重积分：（分数：5.00）_47.试证明 （分数：5.00）_48.设 f(x，y)在区域 D：0x1，0y1 上可微，且 f(0，0)=O，求极限 （分数：5.00）_49.设 f(x)是0，1上单调增的连续正值函数，证明（分数：5.00）_考研数学二-高等数学多元函数微积分答案解析(总分：225.00，

9、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：44.00)1.累次积分 等于（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由原题可知积分域如右图，则*2.设 k 为常数，则极限（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由 2aba 2+b2得，*3.设 z=f(x，y)满足 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：方法一*由 fy(x，0)=x 知，(x)=x*由 f(x，0)=1 知 (x)=1故应选(B)方法二 (排除法)直接验证，容易验证只有(B)选项中的函数满足 fy(x，0)=0，故选(B)4.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由题设可知*从而可得 a=25.设

10、fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则（分数：4.00）A.f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续B.f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微C.存在 D.存在解析：事实上，由 fx(x0，y 0)存在就可得*存在6.设 0a1，区域 D 由 x 轴，y 轴，直线 x+y=a 及 x+y=1 所围成，且 ， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：注意在 D 内 0x+y1，则ln3(x+y)0由于当*时，sinxx，则0sin 2(x+y)sin(x+y)(x+y)故 JIK7.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：显然 f(x，y)在(0，0)点连续，且*事实

11、上*则 f(x，y)在(0，0)点不可微，故应选(C)8.设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 在第一象限的部分，则等于（分数：4.00）A. B.C.D.解析：积分域如右图，连结(-1，1)和(0，0)点将原积分域 D 分为两个等腰三角形区域 D2和 D3*9.设函数 f(x，y)在点(0，0)点菜领域内有定义，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于*则*取*，显然符合题设条件而 f(x，y)在(0，0)点连续，但两个偏导数 fx(0，0)和 fy(0，0)都不存在，故选项(A)，(C)，(D)均不正确，故应选(B)

12、10.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：等式*两端积分得*则*11.二元函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于*则 f(x，y)在点(0，0)不连续，*故应选(C)二、填空题(总题数：9，分数：36.00)12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：*13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：14.设 z=x+y+f(x-y)，且当 y=0 时，z=x 2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(x-y)）解析

13、：在 z=x+y+f(x-y)中令 y=0 得 x2=x+f(x)，f(x)=x 2-xz=x+y+(x-y)2-(x-y)*15.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(x-y)e xy(2-x2-y2)）解析：令 x+y=u，x-y=v，则 f(u，v)=(a 2+v2)euvf(x，y)=(x 2+y2)exyfx(x，y)-f y(x，y)=2xe xy+y(x2+y2)exy一 2yexy-x(x2+y2)exy=(x-y)exy(2-x2-y2)16.设 z=f(x，y)，满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由*知*由 f(x，0)=x 知 f

14、x(x，0)=1则 (x)=1*由 f(0，y)=y 2知，(y)=y 217. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*18. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*19.设 a0， 而 D 表示全平面则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 2）解析：在由 0x1，0y-x1 所确定的区域 D1内 f(x)g(y-x)=a2其余为零，设 D1的面积为 S，则*20. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：令 D：x 2+y21，则*三、解答题(总题数：29，分数：145.00)21.证明 （分数：5.00）_正确答案：(证

15、明 显然 f(x，y)在(0，0)点连续*故 f(x，y)在(0，0)点连续、可导，但不可微)解析：22.设 z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中 f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：23.设 z=f(x2-y2，e zy)，其中厂具有连续二阶偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：24.设 u=f(x，y，z)，其中 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：25.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=a，f y(1，1)=b，g(x)=f(x，f(x，f

16、(x，x)，求 g(1)，g(1)（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：26.设 u=f(x，y，z)，y=(x，t)，t=(x，z)，其中 f， 可微，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：27.设 ，w=ze y取 u，v 为新自变量，w=w(u，v)为新函数，变换方程 + （分数：5.00）_正确答案：(解 由 w=zey得 z=e-yw*)解析：28.设 f(x，y，z)=e xyz2，其中 z=z(x，y)由 z+y+z+xyz=2 所确定，求 fx(0，1，-1)和 fy(0，1，-1)（分数：5.00）_正确答案：(解 f x(0，1，-1)=1，f y(0，

17、1，-1)=3)解析：29.已知 u+eu=xy，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 等式 u+eu=xy 两端对 x 求偏导得*)解析：30.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由 exy-y=0 和 ez-xz=0 所确定，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：31.设 u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定：e xy-xy=2和（分数：5.00）_正确答案：(解 等式 exy-xy=2 两端对 x 求导得exy(y+xy)-y-xy=0则*等式*两端对 x 求导得*)解析：32.设 z

18、=z(x，y)由方程 F(x+y，y+z)=1 所确定，其中 F 具有连续二阶偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 等式 F(x+y，y+z)=1 两端对 x 求导得*)解析：33.设 ，其中 f 是二阶可微函数，且 f(1)=1， （分数：5.00）_正确答案：(解 f(r)=lnr+1)解析：34.已知 u=u(x，y)满足方程 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：35.3S若函数 z=z(x，y)具有一阶连续偏导数，试证明 的充要条件是 （分数：5.00）_正确答案：(证明 必要性：设*，则*)解析：36.求函数 f(x，y)=x 4+y4-(x+y)2的极值。（分数

19、：5.00）_正确答案：(解 *由此得 y=x，代入上式得驻点(-1，-1)，(1，1)，(0，0)在(-1，-1)，(1，1)点处，AC-B 20，且 A0，取极小值，在(0，0)点处，AC-B 2=0，f(0，0)=0f(x，-x)=2x 40f(x，0)=x 4-x20(|x|充分小)则(0，0)点无极值)解析：37.求 f(x，y)=xy(a-x-y)的极值（分数：5.00）_正确答案：(解 驻点为(0，0)，(0，a)，(a，0)，*，AC-B 2=4xy-(a-2x-2y)2(1)当 a0 时，(0，0)，(0，a)，(a，0)均不是极值点，*为极大值点，*(2)当 a0 时，(0

20、，0)，(0，a)，(a，0)均不是极值点，*为极大值点，*(3)当 a=0 时，驻点只有一个(0，0)点，此时 AC-B2=0，极值充分条件不能判定，此时 f(x，y)=-xy(x+y)若取 y=x，则 f(x，x)=-2x 3，显然(0，0)点任何领域内 f(x，y)可正可负，而 f(0，0)=0，则此时(0，0)不是极值点)解析：38.设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：5.00）_正确答案：(解 *令 zx=0，z y=0 得驻点(9，3)，(-9，-3)容易验证在(9，3)点，AC-B 20，

21、且 A0，则取极小值，z(9，3)=3，在点(-9，-3)处，AC-B 20，且A0，则取极大值，z(-9，-3)=-3)解析：39.求函数 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：40.在平面 x+y+z=1 上求一点，使它与两定点 P1(1，0，1)，P 2(2，1，0)的距离的平方和最小（分数：5.00）_正确答案：(解 令 f(x，y，z)=(x-1) 2+y2+(z-1)2+(x-2)2+(y-1)2+z2令 F=f(x，y，z)+(x+y+z-1)*)解析：41.求函数 f(x，y)=xy(4-x-y)在由 x=1，y=0，x+y=6 所围闭区域上的最大值和最小值（分数：5.

22、00）_正确答案：(解 *)解析：42.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2，求 f(x，y)在椭圆域 D= （分数：5.00）_正确答案：(解 dz=2xdx-2ydy=d(x 2-y2)则 z=x 2-y2+C，由 f(1，1)=2 知，C=2，f(x，y)=x 2-y2+2*z=x2-y2+2=5x2-2 -1，1显然 x=0 时取最小值-2，x=1 时取最大值 3，故fmax=f(1，0)=f(-1，0)=3，f min=f(0，2)=f(0，-2)=-2)解析：43.设 a，b，c 为正实数，试证明（分数：5.00）_正确答案：(证明

23、只要证明函数 xy2z3在条件 x+y+z=k 下的最大值不超过*即可以下略)解析：44.设 D 是 xOy 平面上有界闭区域，函数 u(x，y)在 D 上定义，在 D 的内部成立 u“xx+u“yy+cu=0，其中c0 为常数，证明：(1)u 在 D 上的正最大值(负最小值)不能在 D 的内部取得(2)若 u 在 D 上连续，且在 D 的边界上 u=0，则在 D 上 u0（分数：5.00）_正确答案：(证明 (1)若 u(x，y)在 D 上正最大值在 D 内部某点(x 0，y 0)取得，则(x 0，y 0)为 u(x，y)的极大值点，又 u“xx(x0，y 0)+u“yy(x0，y 0)=-

24、cu(x0，y 0)0，则 u“xx(x0，y 0)和 u“yy(x0，y 0)中至少有一个大于零，不妨设 u“xx(x0，y 0)0，由于二元函数 u(x，y)在(x 0，y 0)取极大值，则一元函数 u(x，y 0)在 x0应取极大值，这与 u“xx(x0，y 0)0 矛盾(2)由于 u(x，y)在有界闭区域 D 上连续，则 u(x，y)在 D 上有最大值和最小值，若 u(x，y)在 D 上不恒为零不妨设 u(x，y)在 D 内部的点(x 0，y 0)处函数值大于零，即 u(x0，y 0)0，则 u(x，y)在 D 上最大值为正，且一定在 D 内部取到，这已与(1)矛盾故在 D 上 u(x，y)0)解析：45.交换下列累次积分的次序：（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：46.计算下列二重积分：（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：47.试证明 （分数：5.00）_正确答案：(证明 积分域如右图，其在第一象限部分记为 D1*)解析：48.设 f(x，y)在区域 D：0x1，0y1 上可微，且 f(0，0)=O，求极限 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：49.设 f(x)是0，1上单调增的连续正值函数，证明（分数：5.00）_正确答案：(证明 设 D：0x1，0y1，*)解析：