【考研类试卷】考研数学二-99及答案解析.doc

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1、考研数学二-99 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：7，分数：7.00)1.微分方程 y“+y=-2x 的通解为 1 （分数：1.00）2.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1 （分数：1.00）3.微分方程 y“-4y=e 2x 的通解为 1 （分数：1.00）4.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y“+3y=2e 2x 的通解为 1 （分数：1.00）5.3 阶常系数线性齐次微分方程 y“-2y“+y“-2y=0 的通解为 y= 1 （分数：1.00）6.已知 y 1 =e 3x -xe 2x ，y 2 =e x -xe 2x =-xe

2、 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 y| x=0 =0，y“| x=0 =1 的解为 y= 1 （分数：1.00）7.设函数 y=y(x)是微分方程 y“+y“-2y=0 的解，且在 x=0 处 y(x)取得极值 3，则 y(x)= 1 （分数：1.00）二、解答题(总题数：24，分数：93.00)8.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x -e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程 （分数：3.00）_9.利用代换 （分数：3.00）_10.用变量代换 x=cost(0t)

3、化简微分方程(1-x 2 )y“-xy“+y=0，并求其满足 y| x=0 =1，y“| x=0 =2的特解 （分数：3.00）_11.已知 y 1 (x)=e x ，y 2 (x)=u(x)e x 是二阶微分方程(2x-1)y“-(2x+1)y“+2y=0 的两个解若 u(-1)=e，u(0)=-1，求 u(x)，并写出该微分方程的通解 （分数：3.00）_12.设 （分数：3.00）_13.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：3.00）_14.设 y=y(x)是区间(-，)内过点 （分数：3.00）_15.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t

4、)具有 2 阶导数，且 ，“(1)=6，已知 （分数：3.00）_已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x （分数：6.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：3.00）_(2).求曲线 （分数：3.00）_16.设函数 y=y(x)满足微分方程 y“-3y“+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 -x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x) （分数：3.00）_17.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：3.00）_设 L 是一条平面曲线，其上任意一点

5、 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 （分数：6.00）(1).试求曲线 L 的方程；（分数：3.00）_(2).求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小（分数：3.00）_18.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点记 为曲线 l 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：3.00）_19.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于

6、L 上 M 0 、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程 （分数：3.00）_20.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程 （分数：3.00）_21.如图所示，C 1 和 C 2 分别是 和 y=e x 的图像，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图像过 C 2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于

7、x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y 记 C 1 ，C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 (x)；C 2 ，C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 (y)如果总有 S 1 (x)=S 2 (y)，求曲线 C 3 的方程 x=(y) （分数：3.00）_22.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式 （分数：3.00）_23.设单位质点在水平面内作直线运动，

8、初速度 v| t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问t 为多少时此质点的速度为 （分数：3.00）_24.某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 （分数：3.00）_25.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 （分数：

9、3.00）_26.有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图所示)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m 3 /min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m 2 /min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) （分数：3.00）_27.已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时间? （分数：8.00）_28.从船上向海中沉放某种探测仪器，

10、按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v) （分数：8.00）_29.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数

11、为 k=6.010 6 )问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? （分数：8.00）_考研数学二-99 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：7，分数：7.00)1.微分方程 y“+y=-2x 的通解为 1 （分数：1.00）解析：y=-2x+C 1 cosx+C 2 sinx，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 解析 特征方程为 r 2 +1=0，解得 r 1 =i，r 2 =-i 对应的齐次方程的通解为 2.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1 （分数：1.00）解析：y=e -x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)，其中 C 1 ，

12、C 2 为任意常数 解析 特征方程为 r 2 +2r+5=0，r 1，2 =-12i 故通解为 y=C 1 e -x cos2x+C 2 e -x sin2x3.微分方程 y“-4y=e 2x 的通解为 1 （分数：1.00）解析： 解析 特征方程为：r 2 -4=0，解得 r 1 =2，r 2 =-2，故 y“-4y=0 的通解 Y=C 1 e -2x +C 2 e 2x 由于非齐次方程右端的非齐次项为 e 2x ，指数上的 2 为特征方程的单根，故原方程特解可设为 y * =Axe 2x ，代入原方程化简得 故所求通解为 4.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y“+3y=2e 2x 的

13、通解为 1 （分数：1.00）解析：C 1 e 3x +C 2 e x -2e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 解析 方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 -4r+3=0，解得 r 1 =3，r 2 =1，故齐次方程的通解为 Y=C 1 e 3x +C 2 e x 因为非齐次项 f(x)=2e 2x ，=2 不是特征方程的根，故可令方程的特解为 y * =Ae 2x ，代入方程得 4Ae 2x -8Ae 2x +3Ae 2x =2e 2x ，求得 A=-2于是方程的通解为 y=Y+y * =C 1 e 3x +C 2 e x -2e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数5.

14、3 阶常系数线性齐次微分方程 y“-2y“+y“-2y=0 的通解为 y= 1 （分数：1.00）解析：C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 inx，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数 解析 原方程对应的特征方程为 r 3 -2r 2 +r-2=0 其根为 r 1 =2，r 2，3 =i，因此原方程的通解为 y=C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx，其中 C 1 ，C 2 ， C3 为任意常数6.已知 y 1 =e 3x -xe 2x ，y 2 =e x -xe 2x =-xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 y| x=

15、0 =0，y“| x=0 =1 的解为 y= 1 （分数：1.00）解析：-e x +e 3x -xe 2x 解析 记 则 是题设二阶常系数非齐次线性微分方程对应的齐次方程的两个解，且 线性无关由此可得题设微分方程的通解是 即 y=C 1 e 3x +C 2 e x -xe 2x 代入初始条件 y| x=0 =0，y“| x=0 =1，得 7.设函数 y=y(x)是微分方程 y“+y“-2y=0 的解，且在 x=0 处 y(x)取得极值 3，则 y(x)= 1 （分数：1.00）解析：e -2x +2e x 解析 求 y(x)归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题 由特征方程 2 +-2=

16、0，即(+2)(-1)=0 得特征根 1 =-2， 2 =1，于是得通解 y=C 1 e -2x +C 2 e x 由初值条件得 二、解答题(总题数：24，分数：93.00)8.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x -e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由题设知，e 2x 与 e -x 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 xe x 是非齐次方程的一个特解，故此方程是 y“-y“-2y=f(x) 将 y=xe x 代入上式，得 f(x)=(xe x )“-(xe

17、 x )“-2xe x =2e x +xe x -e x -xe x -2xe x =e x -2xe x ， 因此所求方程为 y“-y“-2y=e x -2xe x 9.利用代换 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 y=usecx，y“=u“secx+utanxsecx， y“=u“secx+2u“tanxsecx+usec 3 x+utan 2 xsecx， 代入原方程，将原方程化为 u“+2u“tanx+usec 2 x+utan 2 x-2u“tanx-2utan 2 x+3u=e x ， 即 u“+4u=e x 解之，得通解 ，还原成 y，得原方程的通解 10.用变量代换 x

18、=cost(0t)化简微分方程(1-x 2 )y“-xy“+y=0，并求其满足 y| x=0 =1，y“| x=0 =2的特解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 y“，y“代入原方程，得 即 其特征方程为 2 +1=0，解得 =i，于是此方程的通解为 y=C 1 cost+C 2 sint， 从而原方程的通解为 11.已知 y 1 (x)=e x ，y 2 (x)=u(x)e x 是二阶微分方程(2x-1)y“-(2x+1)y“+2y=0 的两个解若 u(-1)=e，u(0)=-1，求 u(x)，并写出该微分方程的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 y 2 (x

19、)=u(x)e x 代入原方程并整理得 (2x-1)u“+(2x-3)u“=0 令 u“(x)=z，则 (2x-1)z“+(2x-3)z=0， 解得 从而 由 u(-1)=e，u(0)=-1，得 12.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 即 f“(x)+f(x)=-sinx 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，初始条件 y| x=0 =f(0)=0，y“| x=0 =f“(0)=1 对应齐次方程的通解为 Y=C 1 sinx+C 2 cosx非齐次方程的特解可设为 y * =x(asinx+bcosx)用待定系数法求得 a=0， 于是 非齐次方程的通解为 由初始条件得 ，C 2 =0

20、，从而 这里为什么可以求一阶导和二阶导要清楚， 13.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设 则 于是有 从而 代入题目所给等式得 故有 即 两边积分得 再由条件 ，得 C=1，即 本题是用导函数的定义建立的微分方程，注意不可以使用洛必达法则求 14.设 y=y(x)是区间(-，)内过点 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当-x0 时，设(x，y)为曲线上任一点，由导数几何意义，法线斜率为 由题意，法线斜率为 ，所以有 分离变量解得 x 2 +y 2 =C， 由初始条件 ，得 C= 2 所以 当 0x 时，y“+y

21、+x=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx-x， y“=-C 1 sinx+C 2 cosx-1 因为曲线 y=y(x)光滑，所以 y(x)连续且可导，由式知 代入，式，得 C 1 =，C 2 =1，故 y=cosx+sinx-x，0x 因此 15.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有 2 阶导数，且 ，“(1)=6，已知 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 由题设 得 从而 (1+t)“(t)-“(t)=3(1+t) 2 ， 即 设 u=“(t)，则有 ，由求解公式得 由 u| t=1 =“(1)=6，知 C 1 =0，于是 “(t)=3t(

22、1+t) 由 ，知 C 2 =0，于是 已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x （分数：6.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解法 1 联立 (2).求曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 16.设函数 y=y(x)满足微分方程 y“-3y“+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 -x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e 2x 设原方程的特解

23、为 y * =Axe x ，得 A=-2，故原方程通解是 y(x)=C 1 e x +C 2 e 2x -2xe x 又已知其图形在点(0，1)处与曲线 y=x 2 -x+1 有公共切线，得 y| x=0 =1，y“| x=0 =-1， 即 C 1 +C 2 =1，C 1 +2C 2 =1解得 C 1 =1，C 2 =0所以 y=(1-2x)e x 两条曲线在某点切线重合有两层含义：在该点有相同的函数值及相同的导数值17.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因曲线向上凸，故 y“0由题设，有 化简，即为 y“=-(

24、1+y “2 ) 曲线经过点(0，1)，故 y(0)=1又因在该点处的切线方程为 y=x+1，即切线斜率为 1，于是 y“(0)=1现在归结为求 的特解 令 y“=p，y“=p“，于是得 p“=-(1+p 2 )，分离变量解得 arctanp=C 1 -x以 p(0)=1 代入，得 ，所以 ，再积分，得 以 y(0)=1 代入，得 ，故所求曲线方程为 取其含有 x=0 在内的连续的一支为 当 时， ，y-，故此函数无极小值当 时，y 取极大值，极大值 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 （分数：6.0

25、0）(1).试求曲线 L 的方程；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Y-y=y“(X-x)， 令 X=0，则该切线在 y 轴上的截距为 y-xy“ 由题设知 令 ，则此方程可化为 解之得 由 L 经过点 于是 L 方程为 即 (2).求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设第一象限内曲线 在点 P(x，y)处的切线方程为 即 它与 x 轴及 y 轴交点分别为 所求面积为 对 x 求导得 令 S“(x)=0，解得 当 时，S“(x)0，因而 是 S(x)在

26、 内的唯一极小值点，即最小值点于是所求切线为 即 18.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点记 为曲线 l 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解法 1 由导数的几何意义，有 y“=tan，即 =arctany“，所以 由题意 ，得 令 y“=p，则 y“=p“，代入式得 p=p(1+p 2 )， 分离变量得 两边积分得 由题意有 y“(0)=1，即当 x=0 时 p=1，代入式得 ，于是有 两边积分得 由题意有 y(0)=0，代入上式得 ，所以 解法 2 由题设及导数的几何意义得 于是有 =y+C 1 ， 由后一

27、个等式得 x+C=ln|sin|， 即 sin=C 2 e x 由题意：曲线 l 与直线 y=x 相切于原点，得 即 ，代入式得 ，从而得 将 y(0)=0 和 代入式得 所以 19.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由已知条件得 两边对 求导得 即 从而 因为 所以 由条件 r(0)=2，知 ，故所求曲线 L 的方程为 即 即 L 为直线 20.设函数 y

28、(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(x)(X-x) 它与 x 轴的交点为 由于 y“(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 又 由条件 2S 1 -S 2 =1 知 两边对 x 求导并化简得 yy“=(

29、y“) 2 令 p=y“，则上述方程可化为 从而 解得 p=C 1 y，即 21.如图所示，C 1 和 C 2 分别是 和 y=e x 的图像，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图像过 C 2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y 记 C 1 ，C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 (x)；C 2 ，C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 (y)如果总有 S 1 (x)=S 2 (y)，求曲线 C 3 的方程 x=(y) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由题设 S 1 (x)=S 2 (y)，知 即 两边对 x 求

30、导，得 由 y=e x ，得 于是 从而 故曲线 C 3 的方程为 22.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 旋转体的体积 ，侧面积 ，由题设条件知 上式两端对 t 求导得 即 由分离变量法解得 即 将 y(0)=1 代入知 C=1，故 于是所求函数为 23.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v| t=0 =v 0 已知

31、阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问t 为多少时此质点的速度为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设质点的运动速度为 v(t)由题设，有 解此方程，得 v(t)=v 0 e -t 由 得 t=ln3到此时刻该质点所经过的路程 24.某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设从 2000 年初(令此时 t=0)开始，第 t 年湖

32、泊中污染物 A 的总量为 m，浓度为 ，则在时间间隔t，t+dt内，排入湖泊中 A 的量为 ，流出湖泊的水中 A 的量为 因而在此时间间隔内湖泊中污染物 A 的改变量 由分离变量法解得 代入初始条件 m| t=0 =5m 0 ，得 于是 25.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设雪堆在时刻 t 的体积 ，侧面积 S=2r 2 ，由题设知 于是 积分得 r=-Kt+C，由 r| t=0 =r 0 ，有 r=

33、r 0 -Kt 又 即 这样 ，从而 26.有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图所示)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m 3 /min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m 2 /min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解法 1 ()设在 t 时刻，液面的高度为 y，则由题设知此时液面的面积为 2 (y)=4+t，从而 t= 2 (y)-4 ()液面的高度为 y 时液体的体积为 上式两边对 y 求导，得 2 (y)=6(y)“(y)， 即 (y)=6“(y) 解此微

34、分方程，得 由 (0)=2 知 C=2，故所求曲线方程为 解法 2 ()在 t 时刻液面的面积为 2 2 +t 由题意知 x 2 =4+t，于是 t 与 (y)之间的关系为 2 (y)=4+t ()设液面高度为 y，在 t 时刻到 t+dt 时刻，液体体积的变化即体积微元满足 3dt=(4+t)dy 解此微分方程得 当 t=0 时，y=0得 ，从而 由 t= 2 (y)-4 得 考虑到 (0)=2， 故所求曲线方程为 27.已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时间? （分数：8.00）_