【考研类试卷】考研数学二-238及答案解析.doc

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1、考研数学二-238 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)，n=1，2，则下列结论正确的是（分数：4.00）_2.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形为则函数 的图形为（分数：4.00）A.B.C.D.3.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：4.00）A.B.C.D.4.设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0，f(x)为 D上的正值连续函数，a，b 为常数，则（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A为

2、4阶实对称矩阵，且 A2+A=O.若 A的秩为 3，则 A相似于（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)=x2(x-1)(x-2)，则 f(x)的零点个数为（分数：4.00）A.0B.1C.2D.37.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f(0)=g(0)=0，则函数 x=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：4.00）A.f“(0)0，g“(0)0B.f“(0)0，g“(0)0C.f“(0)0，g“(0)0D.f“(0)0，g“(0)08.n阶矩阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（分数：4.0

3、0）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 y+y=e-xcosx满足条件 y(0)=0的解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_11.当 X0 时，(x)=kx 2与 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为

4、_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试确定常数 A，B，C 的值，使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中 o(x3)是当 x0 时比 x3高阶的穷小（分数：10.00）_16.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：10.00）_17.设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1处取得极值（分数：10.00）_18.设二元函数计算二重积分 （分数：10.00）_19.()证明：对任意的正整数 n，都有 成立；()设 （分数：10.00）

5、_20.设 D是位于曲线 （分数：10.00）_21.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1-x 2)y“-xy+y=0，并求其满足 （分数：10.00）_22.设四元齐次线性方程组()为（分数：10.00）_23.设 A为 m阶实对称矩阵且正定，B 为 mn阶实矩阵，B T为 B的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B的秩 r(B)=n（分数：14.00）_考研数学二-238 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)，n=1，

6、2，则下列结论正确的是（分数：4.00）_解析：分析 设 u1u 2，由拉格朗日中值定理，u 2-u1=f(2)-f(1)=f( 1)0， 1(1，2)当 n2，u n-u2=f(n)-f(2)=f()(n-2)，(2，n)因 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，从而 f()f( 1)，于是 u n-u2f()(n-2)，即 u nf( 1)(n-2)+u2，由此可得*这表明u n)发散，故选(D)评注 如果 un满足题设条件，且 u1u 2则不能判断u n)的敛散性例如，u n=f(n)=(n-2)2-1，u 1=f(1)=0，u 2=f(2)=-1，u 1u 2，f“(x)=20,*这表

7、明u n2.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形为则函数 的图形为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：3.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 按可微性定义知 f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是存在常数 A与 B使得*当(x，y)(0，0)时成立这又可以改写成 f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是*与选项(C)对比，选项(C)正是以上充分必要条件中 A=B=0的情形因此应选(C)分析二 采用否定法选项(A)仅表明 f(x，y)在点(0，0)处连续，从而不能保证 f(x，y)在点(0，0)

8、处可微选项(B)仅表明 f(x，y)在点(0，0)处两个偏导数 fx(0，0)与 fy(0，0)存在，且为 0，同样不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微选项(D)仅表明 fx(x，y)在点(0，0)处关于 x连续，f y(x，y)在点(0，0)处关于 y连续，这也不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微故应选(C)4.设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0，f(x)为 D上的正值连续函数，a，b 为常数，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由于积分区域 D关于直线 y=x对称，因此*于是*由此即得*故应选(D)评注 题中所给的答案表明本题的二重积分的值与函数

9、f(x)无关，因此可用特例法求解最简单的是取f(x)=1，于是所求的二重积分*其中|D|是区域 D的面积，即|D|=，代入即知应选结论(D)5.设 A为 4阶实对称矩阵，且 A2+A=O.若 A的秩为 3，则 A相似于（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 设 A=，0，则 A2= 2，那么由 A2+A=0有( 2+)=0，进而知 2+=0所以矩阵 A的特征值只能是 0或-1因为 A是实对称矩阵，必有 AA 且 A的主对角元素是 A的特征值，又因 r(A)=r(A)=3故应选(D)6.设函数 f(x)=x2(x-1)(x-2)，则 f(x)的零点个数为（分数：4.00）A.0B.1C.

10、2D.3 解析：分析 由题设知 f(0)=f(1)=f(2)=0，从而按罗尔定理可得 f(x)分别在(0，1)与(1，2)中各有一个零点又因f(x)=2x(x-1)(x-2)+x2(x-2)+x2(x-1)，故 f(0)=0可见 f(x)共有 3个零点，应选(D)7.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f(0)=g(0)=0，则函数 x=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：4.00）A.f“(0)0，g“(0)0 B.f“(0)0，g“(0)0C.f“(0)0，g“(0)0D.f“(0)0，g“(0)0解析：分析 由 x=

11、f(x)g(y)可得*从而知*AC-B2=f“(0)g“(0)f(0)g(0)当 f(0)0，g(0)0，f“(0)0，g“(0)0 时有 A0，AC-B 2o故 z=f(x)g(y)在(0，0)取极小值选(A)8.n阶矩阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：分析 AA*A 有 n个线性无关的特征向量当 1 2时， 1与 2的特征向量必线性无关因此，若 A有 n个不同的特征值，则矩阵 A必有 n个线性无关的特征向量那么矩阵 A必可相似对角化由于矩阵 A的特征值有重根时，矩阵 A

12、仍有可能相似对角化，所以特征值不同是 A能相似对角化的充分条件，并不必要故应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 按函数在某点处连续的定义即知*10.微分方程 y+y=e-xcosx满足条件 y(0)=0的解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -xsinx）解析：分析 本题是一阶线性微分方程初值问题求特解将方程两端同乘积分因子 (x)=e x即得(ye x)=cosx，两边求积分就有*移项得所求的特解为 y=e-xsinx注意，本题也可先求出方程的通解，然后用初值确定其中的任意常数得到

13、解11.当 X0 时，(x)=kx 2与 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 计算可得*这表明当 x0 时 (x)与 (x)是等价无穷小12.设函数 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *13.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 将方程两边求全微分即得*从而*14.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 因为*二次型 f的矩阵是*易见

14、秩 r(A)=2，故二次型 f的秩为 2注意 若认为二次型的标准形是*从而秩 r(f)=3就错误了*从而(1)不是坐标变换，因而*不是 f的标准形三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试确定常数 A，B，C 的值，使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中 o(x3)是当 x0 时比 x3高阶的穷小（分数：10.00）_正确答案：(解法一 本题可改写成极限形式：确定常数 A，B，C 的值，使得*由于常数 A，B，C 取任何值时 I都是*型未定式的极限，从而用洛必达法则可得*为使 I=0，常数 A，B，C 必须使分子的极限*(否则当 1+B-A0 时必有 I=)设 1+

15、B-A=0，则(*)式仍是*型未定式的极限，再连续用洛必达法则即得*由此可见为使 I=0，常数 A，B，C 还要满足 B+4C=0与 1+2B+2C=0解之即得*解法二 把 ex的带皮亚诺余项的麦克劳林公式*代入题设等式，经整理可得*从而使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)成立的充分必要条件是常数 A，B，C 同时满足*解之即得*解法三 设 f(x)=ex(1+Bx+Cx2)-1-Ax，按题目要求知只需确定常数 A，B，C 的值使得当 x0 时 f(x)=o(x3)因 f(x)在 x=0的邻域内具有任何阶连续导数，由 f(x)的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式*令 f(0)=f“

16、(0)=f“(0)=0即得常数 A，B，C 应同时满足 1+B-A=0，1+2B+2C=0 与 1+3B+6C=0，解之得*)解析：16.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：10.00）_正确答案：(证明 设函数 f(x)=xsinx+cosx+x 且 x0，由于f(x)=xcosx+sinx-2sinx+=xcosx-sinx+，f“(x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx0(0x)，从而 f(x)在区间0，单调减少，于是 f(x)f()=0 当 0x 时成立由此即知函数 f(x)在区间0，单调增加，故当 0ab 时有 f(b)f(

17、a)，即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a)解析：17.设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1处取得极值（分数：10.00）_正确答案：(*因为 g(x)可导且在 x=1取极值，从而 g(1)=0，又 g(1)=1，于是*故*=f(1，1)+f“ 11(1，1)+f“ 12(1，1)评注 求得*后，可先求出任意点处的*得*=xf“11+g(x)f“12y+f1+xf“21+g(x)f“22yg(x)+g(x)f2再令 x=1，y=1，并由 g(1)=1，g(1)=0，xy=1，yg(x)=1 最后仍可得*但这比前面的解

18、法要复杂些*往往会简化计算偏导数实质上是一元函数的导数)解析：18.设二元函数计算二重积分 （分数：10.00）_解析：19.()证明：对任意的正整数 n，都有 成立；()设 （分数：10.00）_解析：20.设 D是位于曲线 （分数：10.00）_正确答案：()*()计算可得*由此可见当 a=e时 V(a)取得最小值 V(e)=e 2)解析：21.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1-x 2)y“-xy+y=0，并求其满足 （分数：10.00）_正确答案：(建立 y对 t的一、二阶导数与 y对 x的一、二阶导数之间的关系：*从而原方程可化为 y=y(t)满足的微分方程*不难得出这

19、个方程的通解是 y=C1cost+C2sint将 cost=x与当 0t 时*即得原方程的通解为*由初值*故所求特解为*)解析：评注 本题是一个二阶线性变系数方程，按题目中指出的变量代换可把它化为新变量的函数满足二阶常系数线性微分方程的初值问题，从而可求解22.设四元齐次线性方程组()为（分数：10.00）_正确答案：(1)对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有*得方程组()的基础解系为 1=(5，-3，1，0) T， 2=(-3，2，0，1) T。(2)设 是方程组()和()的非零公共解，则=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2那么 x 1 1+x2 2+x3 1+x4 4=0对系数矩

20、阵 A=( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有*当 a=-1时*得基础解系 1=(-1，-1，1，0) T， 2=(-4，-7，0，1) T所以 Ax=0的通解为k1 1+k2 2=(-k1-4k2，-k 1-7k2，k 1，k 2)T故方程组()和()的公共解*)解析：23.设 A为 m阶实对称矩阵且正定，B 为 mn阶实矩阵，B T为 B的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B的秩 r(B)=n（分数：14.00）_正确答案：(证 必要性设 BTAB是正定矩阵，按正定定义*恒有 xT(BTAB)x0 即(Bx) TA(Bx)0那么*恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0只有零解，故秩 r(B)=n充分性因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知 BTAB为实对称矩阵当秩 r(B)=n时，Bx=0 只有零解，那么*恒有 Bx0因为 A是正定矩阵，那么当 Bx0 时必有(Bx)TA(Bx)0，所以*恒有 xT(BTAB)x0，故矩阵 BTAB是正定矩阵)解析：