【考研类试卷】考研数学二-237及答案解析.doc

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1、考研数学二-237 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内可导，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.方程 x 2 =xsinx+cosx的实根个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.设 f(x)=(x 2 +x-2)|x(x 2 +x-2)|，则 f(x)不可导点的个数是_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.34.若在(-，)内，0，f(x)单调连续，g(x)连续，且 ，则 x0 时， 是 （分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.同阶无穷小，但不等价D.等

2、价无穷小5.若常数 p，q，r，满足 pqr，且使得广义积分 （分数：4.00）A.p+q1B.q+r1C.p+q1，q+r1D.p1，r16.设 y=y(x)由方程 y=xf(x 2 +y 2 )+f(x+y)确定，y(0)=1f(x)二阶可导，且 f“(1)=-1，f“(1)=2，则 =_ A-1 B C （分数：4.00）A.B.C.D.7.设向量组 1 =1，0，2，1， 2 =1，2，0，1， 3 =2，5，-1，4， 4 =2，1，3，2，则向量组的极大无关组的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设 A是三阶不可逆矩阵，已知 Ax= 有通解 ，Ax= 有通解 ，则

3、 A相似于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 f(x)在 x=0点可导，且 f(0)=1，f“(0)=2，则 （分数：4.00）10.设 y=y(x)是由参数方程 所确定的函数，则 （分数：4.00）11.己知 f(1)=1， （分数：4.00）12.若 f(x)=(x+1) 2 sinx，则 f (100) (0)= 1 （分数：4.00）13.设 max(a，b，c)表示 a，b，c 中最大的数，则积分 （分数：4.00）14.设 n阶行列式 ，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，求

4、 （分数：10.00）_16.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，求 （分数：10.00）_17.求定积分 （分数：10.00）_18.设 y=y(x)一阶可导，y(0)=，若对任一点 x(-，+)处函数的增量为 （分数：10.00）_19.设 x 1 0， ，n=1，2，分别就 a0，a=0 和 a0 三种情况讨论 （分数：10.00）_20.设函数 f(x)在0，1上连续、在(0，1)内可导，f(0)=0，当 x(0，1)时，f(x)0 证明：对任意的正整数 m，n，存在 (0，1)，使得 （分数：11.00）_21.设 ， n (x)=n

5、 2 (nx)，n=1，2，若 f(x)的二阶导数存在且有界证明： （分数：11.00）_22.设 A是 n阶矩阵，r(A)=n-r又 Ax=b有 1 ， 2 ， r ， r+1 共 r+1个线性无关解 证明 Ax=b的任一解均可由 1 ， 2 ， r ， r+1 线性表出 （分数：11.00）_23.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX经正交变换可化为 （分数：11.00）_考研数学二-237 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内可导，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D

6、. 解析：解析 选项 A的反例： 选项 B的反例：f(x)=x 3 ，f“(x)=3x 2 ； 选项 C的反例： 选项 D的证明： 所以有， 2.方程 x 2 =xsinx+cosx的实根个数是_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 设 f(x)=x 2 -xsinx-cosx是偶函数，且有 ，f(0)=-10 又 f“(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=x(2-cosx) 当 x(-，0)时， 3.设 f(x)=(x 2 +x-2)|x(x 2 +x-2)|，则 f(x)不可导点的个数是_（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 将 f(x)变形，得

7、 f(x)=(x 2 +x-2)|x(x 2 +x-2)|=(x+2)(x-1)|x(x+2)(x-1)| =(x+2)|x+2|(x-1)|x-1|x|， 函数 f(x)只有一个不可导的点 x=0 这里用到结论：若 存在，则 f(x)=g(x)|x-x 0 |在 x=x 0 处可导的充分必要条件是 4.若在(-，)内，0，f(x)单调连续，g(x)连续，且 ，则 x0 时， 是 （分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小 C.同阶无穷小，但不等价D.等价无穷小解析：解析 由已知，得 因在(-，)内，f(x)单调连续，且 ，则当 x0 时，|f(x)|单调趋于零 所以， 所以， 5.若常数

8、 p，q，r，满足 pqr，且使得广义积分 （分数：4.00）A.p+q1B.q+r1C.p+q1，q+r1D.p1，r1 解析：解析 设 minp，q，r=p，当 x0 + 时，由于 所以，当 minp，q，r=p1 时， maxp，q，r=r，当 x+时，由于 所以，当 maxp，q，r=r1 时， 综上，当 minp，q，r=p1，且 maxp，q，r=r1 时， 6.设 y=y(x)由方程 y=xf(x 2 +y 2 )+f(x+y)确定，y(0)=1f(x)二阶可导，且 f“(1)=-1，f“(1)=2，则 =_ A-1 B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 y

9、=xf(x 2 +y 2 )+f(x+y)，y(0)=1，得 f(1)=1又 y“=f(x 2 +y 2 )+x(2x+2yy“)f“(x 2 +y 2 )+(1+y“)f“(x+y)， y“=2(2x+2yy“)f“(x 2 +y 2 )+ (2x+2yy“)f“(x 2 +y 2 )+y“f“(x+y)+(1+y“) 2 f“(x+y)， 将 x=0，y(0)=1 代入 y“表达式，并由 f(1)=1，f“(1)=-1，得 将 x=0，y(0)=1，y“(0)=0 代入 y“表达式，并由 f“(1)=2，得 7.设向量组 1 =1，0，2，1， 2 =1，2，0，1， 3 =2，5，-1，

10、4， 4 =2，1，3，2，则向量组的极大无关组的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 将 1 ， 2 ， 3 ， 4 处理成列向量，设 ，并作初等行变换，化 A为阶梯型矩阵 显然 线性相关而 均线性无关，故 均是 8.设 A是三阶不可逆矩阵，已知 Ax= 有通解 ，Ax= 有通解 ，则 A相似于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A 是三阶不可逆矩阵，则 Ax=0有非零解，故 A有特征值 1 =0 Ax= 有解 ，即 A=；Ax= 有解 ，即 A=，故 A(+)=+=+ A有 2 =1(对应的特征向量为 +)， A(-)=-=-(-)

11、 A有 3 =-1(对应的特征向量为 -) 三阶矩阵有三个不同的特征值，故 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 f(x)在 x=0点可导，且 f(0)=1，f“(0)=2，则 （分数：4.00）解析：-2 解析 10.设 y=y(x)是由参数方程 所确定的函数，则 （分数：4.00）解析：- 2 解析 由参数方程 得 当 x=2时，由 2=1+e t ，解得 t=0，则 11.己知 f(1)=1， （分数：4.00）解析： 解析 由 y=f(e x2 )得 所以 则 12.若 f(x)=(x+1) 2 sinx，则 f (100) (0)= 1 （分数：4.00）解析：-200

12、解析 记 u(x)=(x+1) 2 ，v(x)=sinx，则当 n2 时，由乘积函数的高阶导数公式得 13.设 max(a，b，c)表示 a，b，c 中最大的数，则积分 （分数：4.00）解析：解析 14.设 n阶行列式 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 将 D n 按第 1行展开 D n -D n-1 =D n-1 -D n-2 ，n=3，4，n 故 D 1 ，D 2 ，D n 是等差数列 又 D 1 =2， ，则公差为 D 2 -D 1 =1；第 n项为 D n =n+1，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 首先

13、求 f(x)的表达式 思路一：令 ，则 因为 故 思路二： 下面计算积分 又 16.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由已知得 F“(x)=f(x)，又由 F(x)f(x)=cos2x，得 从而有 F 2 (x)=sin2x+C又由 F(0)=1，得 C=1，所以 则 17.求定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 18.设 y=y(x)一阶可导，y(0)=，若对任一点 x(-，+)处函数的增量为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由 可知， 已知 y(0)=，

14、上式两边做定积分，得 19.设 x 1 0， ，n=1，2，分别就 a0，a=0 和 a0 三种情况讨论 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 如果 存在，设 则 ，得方程 即 A 2 =a可见，必须 a0， 此时，数列x n 必是正数列 设函数 则当 x0 时， 可见，f(x)是有界的，所以数列x n 是有界的 下面仅须讨论其单调性，若是单调数列则其必收敛 再由微分中值定理得 首先考虑，当 0a1 时， ，相邻两项之差是同号的 因此，当 x 2 x 1 时，x n 单调递增；当 x 2 x 1 时，x n 单调递减所以x n 都收敛 当 a=1时，x n+1 -x n =0，这是常

15、数数列，当然收敛 当 a1 时， ，相邻两项之差是异号的此时，可再运用一次中值定理 这说明数列x 2n-1 和x 2n 是单调的，因此它们都收敛 若设 ，它们分别由方程 确定，并且这两个方程有相同的正根 由此可知 综上，当 a0 时， 不存在，当 a0 时， 20.设函数 f(x)在0，1上连续、在(0，1)内可导，f(0)=0，当 x(0，1)时，f(x)0 证明：对任意的正整数 m，n，存在 (0，1)，使得 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 要证 设函数 g(x)=lnf n (x)f m (1-x)，由于 f(0)=0，g(x)在 x=0，x=1 处无定义，不满足罗尔定理

16、条件可转而考虑函数 F(x)=f n (x)f m (1-x)由于 F(0)=F(1)=0，它满足罗尔定理条件 所以， ，使得 即 nf n-1 ()f“()f m (1-)-mf m-1 (1-)f“(1-)f n ()=0， 21.设 ， n (x)=n 2 (nx)，n=1，2，若 f(x)的二阶导数存在且有界证明： （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 由已知得 令 ，则 因为 故 22.设 A是 n阶矩阵，r(A)=n-r又 Ax=b有 1 ， 2 ， r ， r+1 共 r+1个线性无关解 证明 Ax=b的任一解均可由 1 ， 2 ， r ， r+1 线性表出 （分数：1

17、1.00）_正确答案：()解析：证明 由解的性质知， r+1 - 1 ， r+1 - 2 ， r+1 - r 是齐次方程 Ax=0的 r个解 令 k 1 ( r+1 - 1 )+k 2 ( r+1 - 2 )+k r ( r+1 - r )=0，即 (k 1 +k 2 +k r ) r+1 -(k 1 1 +k 2 2 +k r r )=0 因 1 ， 2 ， r ， r+1 线性无关，得 k 1 =k 2 =k r =0，故知 r+1 - 1 ， r+1 - 2 ， r+1 - r ，是 Ax=0的 r个线性无关解，又因 r(A)=n-r，故知是 Ax=0的基础解系，从而Ax=b的通解是 l

18、 1 ( r+1 - 1 )+l 2 ( r+1 - 2 )+l r ( r+1 - r )+ r+1 =-l 1 1 -l 2 2 -l r r +(l 1 +l 2 +l r ) r+1 即 Ax=b的任一解均可由 1 ， 2 ， r ， r+1 线性表出23.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX经正交变换可化为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 f 在正交变换下的标准形的系数是 f对应矩阵的特征值，即 A有特征值 1 =2， 2 = 3 =-1，从而知 A * 有特征值 ， 2 = 3 =-2， 是 A * 的对应于 1 =1的特征向量A 是对称阵A * 也是对称阵故 2 = 3 =-2对应的特征向量与 正交， 也是 A对应于 1 =2的特征向量A 对应于 2 = 3 =-1的特征向量正交，设 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 )T，则有 T X=x 1 +x 2 -x 3 =0，解得 A对应于 2 = 3 =-1的特征向量为 X 1 =1，-1，0 T ，X 2 =1，0，1 T ， 令 ，则