【考研类试卷】考研数学二-225及答案解析.doc

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1、考研数学二-225 及答案解析(总分：216.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在区间(-1，1)内二次可导，已知 f(0)=0，f(0)=1，且 f“(x)0 当 x(-1，1)时成立，则 A.当 x(-1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)x B.当 x(-1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)x C.当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x D.当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x（分数：4.00）A.B.C.D.3.设可导函

2、数 x=x(t)由方程 sint- （分数：4.00）A.B.C.D.4. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(r)当 r0 时具有二阶连续导数，令 ，则当 x，y，z 与 t 不全为零时 = A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 ，B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2是任意常数，则 B=ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.8.设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1， 2， 3是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+ 2- 3=(2，0，-5，4) T， 2+2 3=(3，

3、12，3，3) T， 3-2 1=(2，4，1，-2) T，则方程组 Ax=b 的通解 x=ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且满足 f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x，y)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(u)连续，且 du(x，y)=f(xy)(ydx+xdy)，则 u(x,y)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.二阶微分方程 y“=e2y满足条件 y(0)=0，y(0)

4、=1 的特解是 y=_（分数：4.00）填空项 1:_14.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：7，分数：160.00)设函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且（分数：20.00）(1).求 f(x)；（分数：10.00）_(2).求证：f(x)在(0，+)上有界（分数：10.00）_设 f(x)满足 （分数：20.00）(1).讨论 f(x)在(-，+)是否存在最大值或最小值，若存在则求出;（分数：10.00）_(2).求 y=f(x)的渐近线方程（分数：10.00）_设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，并当 x0 时满足xf“(x)+3xf(

5、x)21-e -x（分数：20.00）(1).求证：当 x0 时 f“(x)1（分数：10.00）_(2).又设 f(0)=f(0)=0，求证：当 x0 时 （分数：10.00）_设 f(x)在a，b上有二阶导数，且 f(x)0（分数：20.00）(1).证明至少存在一点 (a，b)，使 （分数：10.00）_(2).对()中的 (a，b)，求 （分数：10.00）_证明下列命题：（分数：30.00）(1).设 f(x，y)定义在全平面上，且 （分数：10.00）_(2).设 u(x，y)，(x，y)定义在全平面上，且满足 （分数：10.00）_(3).计算二重积分 （分数：10.00）_一子

6、弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为 0，穿出铁板时的速度为 1，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为 t1子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数 k0（分数：30.00）(1).求子弹在铁板内的运动速度 与时间 t 的函数关系 =(t)；（分数：10.00）_(2).求铁板的厚度（分数：10.00）_(3).已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，其中 1， 2， 3， 4是 4 维列向量若齐次方程组Ax=0 的通解是 k(1，0，-3，2) T，证明 2， 3， 4是齐次方程组 A*x=0 的基础解系（分数：10.00）_设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E

7、，且秩 r(A+E)=kn（分数：20.00）(1).求二次型 xTAx 的规范形；（分数：10.00）_(2).证明 B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列式|B|的值（分数：10.00）_考研数学二-225 答案解析(总分：216.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：这是考察如下的*型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得*其中用了下面的等价无穷小因子替换：x0 时ln(1+sin2x2)sin 2x2x 4，*故应选(B)2.设函数 f(x)在区间(-1，1)内二次可导，已知 f(0)=

8、0，f(0)=1，且 f“(x)0 当 x(-1，1)时成立，则 A.当 x(-1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)x B.当 x(-1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)x C.当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x D.当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 由题设知，曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=x，而曲线 y=f(x)在区间(-1，1)内是凸弧由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论(D)正确，故应选(D) 分析二 也可以直接证明(D)正确：令 F(x)=f(x

9、)-x，则 F(0)=0，F(0)=f(0)-1=0，且 F“(x)=f“(x)0 当 x(-1，1)时成立由此可得 F(x)在区间(-1，1)内单调减少，从而，当 x(-1，0)时 F(x)F(0)=0，这表明 F(x)在区间(-1，0上单调增加，故当 x(-1，0)时有 F(x)F(0)=0*f(x)x 成立类似可得，当 x(0，1)时F(x)F(0)=0，这表明 F(x)在区间0，1)上单调减少，故当 x(0，1)时有 F(x)F(0)=0*f(x)x也成立3.设可导函数 x=x(t)由方程 sint- （分数：4.00）A.B.C. D.解析：令 t=0，由题设方程可得 x(0)=0在

10、题设方程两边对 t 求导，得cost-fx(t)x(t)+f(t)=0， (*)在(*)式中令 t=0，可得 x(0)=2在(*)两边再对 t 求导，得-sint-fx(t)x(t)2-fx(t)x“(t)+f(t)=0， (*)在(*)式中令 t=0，可得 x“(0)=-3故选(C)4. A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：利用恒等式 * 可得 * 故应选(A)5.设函数 f(r)当 r0 时具有二阶连续导数，令 ，则当 x，y，z 与 t 不全为零时 = A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：令*则计算可得 * 类似有 * 从而 * 故应选(C)6

11、.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 本题主要考查分段函数在分界点处具有高阶导数时应满足的条件为了处理更一般的问题，我们考虑分段函数*其中 f1(x)和 f2(x)分别在较大的区间(x 0-，+)和(-，x 0+)(0 是一个常数)中具有任意阶导数，则 f(x)在分界点 x=x0具有 k 阶导数的充分必要条件是 f1(x)和 f2(x)有相同的泰勒公式：f1(x)=f2(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ak(x-x0)k+o(x-x0)k)注意，在 f(x)的定义中，分界点 x0也可以属于 f1(x)所在区间，结论是完全一样的把上述一般结论用于本题，取 x0

12、=0，k=2，f 1(x)=ax2+bx+c，f 2(x)=cos2x+2sinx，因 *所以 a，b，c 应分别是 a=-2，b=2，c=1，这表明结论(A)正确故选(A)分析二 首先要求 f(x)在 x=0 连续，即要求*，即cos2x+2sinx| x=0=ax2+bx+c|x=0，得 c=1这表明(C)，(D)不正确当 c=1 时，f(x)可写成*其次要求*，即*，即(eos2x+2sinx)-|x=0=(ax2+bx+c)+|x=0=b，即 b=2于是(B)不正确因此只能是(A)正确故选(A)当 b=2，a=1 时，*7.设 ，B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2是任

13、意常数，则 B=ABCD （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由 AB=B 有(A-E)B=0，因而 B 的列向量是齐次方程组(A-E)x=0 的解又*那么齐次方程组(A-E)x=0 的基础解系是(-1，1) T，所以应选(D)8.设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1， 2， 3是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+ 2- 3=(2，0，-5，4) T， 2+2 3=(3，12，3，3) T， 3-2 1=(2，4，1，-2) T，则方程组 Ax=b 的通解 x=ABCD （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由于 n-r(A)=4-2=2，故方程组 Ax=b 的通解形式应

14、为 +k 1 1+k2 2这样可排除(C)，(D)因为 A*( 2+2 3)=b，A( 3-2 1)=-b，所以(A)中(1，4，1，1) T和(B)中(-2，-4，-1，2) T都是方程组Ax=b 的解(A)和(B)中均有(2，2，-2，1) T，因此它必是 Ax=0 的解只要检验(1，-4，-6，3) T和(1，8，2，5) T哪一个是 Ax=0 的解就可以了由于 3( 1+ 2- 3)-( 2+2 3)=3( 1- 3)+2( 2- 3)是 Ax=0 的解，所以(3，-12，-18，9) T是 Ax=0 的解那么(1，-4，-6，3) T是 Ax=0 的解故应选(A)二、B填空题/B(总

15、题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由*解得 x=0，即两条曲线的交点为点(0，1)由于 * 因此两条切线在交点处的斜率分别为 0和 1，故其夹角*10.设函数 f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且满足 f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：所求极限是“-”型未定式，可通分化为“*”型未定式求极限 *11.设 f(x，y)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -(x2+y2)+(1-e -a2)xy2）解析：注意*为常数，记为 A，由于 xy2对 u、 为常数，因此

16、对 u， 积分时可提出积分号外*f(x,y)=e-x2-y2+Axy2求 f(x，y)归结为求常数 A等式两边在 D 积分得*作极坐标变换*又*(D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为奇函数)，将它代入式*A=(1-e -a2)因此 f(x，y)=e -(x2+y2)+(1-e -a2)xy212.设 f(u)连续，且 du(x，y)=f(xy)(ydx+xdy)，则 u(x,y)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*f(u)du+C，其中 C 为*常数）解析：由于*， 因此*，其中 C 为*常数13.二阶微分方程 y“=e2y满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解是 y

17、=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-ln(1-x)）解析：分析一 题设的二阶微分方程不显含自变量 x，令 y=p 并以 y 为自变量可降阶为关于 p 的一阶微分方程注意当令 y=p 时*，代入原方程即得*，把它改写为*=2e 2y，分离变量有 2pdp=2e2ydy，积分即得其通解为 p2=e2y+C利用题设的初值知当 y=0 时 p=1，由此可确定常数 C=0于是得到新方程 p2=e2y，因为初值 p=10，故可求 p0 的解，即应解微分方程 p=ey，即*分离变量可得 e-ydy=dx，积分即得其通解为 e-y=C1-x，即 y=-ln(C1-x)利用初值 y(0)=0 可

18、确定常数C1=1，故所求特解是 y=-ln(1-x)分析二 此二阶方程不显含 x 且不显含 y，将方程两边同乘 y得yy“=e2yy即*积分得 y 2=e2y+C1由 y(0)=0，y(0)=1，定出 C1=0因 y(0)=10，故可求 y0 的解 y=ey，其余同分析一 可求出 y=-ln(1-x)求解二阶方程y“=f(y)的一个方法是：两边同乘 y得*积分得*由此解出 y后再求出 y14.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k(-1，1，1) T，k0 为任意常数）解析：“特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，故特征值 0必是3 重根，

19、且秩 r( 0EA)=2由 i=a ii知 3 0=4+(-2)+1，得特征值 =1(3 重)又*因为秩 r(E-A)=2，因此有 a=-2此时(E-A)x=0 的基础解系是(-1，1，1) T故 A 的特征向量为 k(-1，1，1) T，k0 为任意常数特征值有重根时，要会用秩来分析判断问题三、B解答题/B(总题数：7，分数：160.00)设函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且（分数：20.00）(1).求 f(x)；（分数：10.00）_正确答案：(题设中等式左端的极限为 1 型，先转化成*，由导数的定义及复合函数求导法得*于是*即*积分得*即*由*得 C=1因此*)解析：

20、(2).求证：f(x)在(0，+)上有界（分数：10.00）_正确答案：(证法 1 因 f(x)在(0，+)连续，又*，所以 f(x)在(0，+)上有界 证法 2 当x(0，+)时显然有*，即 f(x)在(0，+)有下界为证明 f(x)在(0，+)也有上界可利用熟知的不等式：当*时有*，从而当 0x*时*当*时直接可得*，故当 x(0，+)时 f(x)1 成立综合得当 x(0，+)时 0f(x)1 成立 若用洛必达法则求极限 * 这是不正确的 因为这里最后一步用到了 f(x)的连续性*但题中只假设 f(x)在(0，+)可导因此，此解法不正确 题()的证法 1用到了结论：设 f(x)在(a，b)

21、连续，又存在极限*，*，则 f(x)在(a,b)上有界)解析：设 f(x)满足 （分数：20.00）(1).讨论 f(x)在(-，+)是否存在最大值或最小值，若存在则求出;（分数：10.00）_正确答案：(先求出 f(x)的表达式由*得*上式中令 x=0，等式显然成立又两边求导得f(-x)=-x-e-x因此， f(x)=x-e x，x(-，+)下面讨论 f(x)的最值问题由*f(0)=-1 是 f(x)在(-，+)的最大值f(x)在(-，+)无最小值)解析：(2).求 y=f(x)的渐近线方程（分数：10.00）_正确答案：(由* *x-时有渐近线 y=x又 f(x)无间断点，且 * *y=f

22、(x)无其他渐近线)解析：设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，并当 x0 时满足xf“(x)+3xf(x)21-e -x（分数：20.00）(1).求证：当 x0 时 f“(x)1（分数：10.00）_正确答案：(由假设条件有*因此只需证*令 F(x)=x-(1-e-x)=x+e-x-1，*F(0)=0，F(x)=1-e -x0(x0)*F(x)在0，+)单调增加，F(x)F(0)=0(x0)，即*于是*)解析：(2).又设 f(0)=f(0)=0，求证：当 x0 时 （分数：10.00）_正确答案：(方法 1由泰勒公式得 *(*) 其中 x0，0x 由(*)式得 * 方法 2要证*，即证

23、*(*) 由于 F(0)=0， F(x)=x-f(x)，F(0)=0， F“(x)=1-f“(x)， 于是由(*)式 F“(x)=1-f“(x)0(x0) *F(x)在0，+)单调增加*F(x) F(0)=0(x0)*F(x)在0，+)单调增加*F(x)F(0)=0(x0)，即 f(x)*(x0)解析：设 f(x)在a，b上有二阶导数，且 f(x)0（分数：20.00）(1).证明至少存在一点 (a，b)，使 （分数：10.00）_正确答案：(令 (x)=f(b)(x-a)+f(a)(b-x)-*f(x)dx(axb)， 即证 (x)在(a，b)*零点因f(x)在a，b*f(a)f(x)f(b

24、)(x(a，b)*f(a)(b-a)*f(x)dxf(b)(b-a) * 故由闭区间上连续函数的性质知存在 (a，b)，使得 ()=0，即 *)解析：(2).对()中的 (a，b)，求 （分数：10.00）_正确答案：(由上式知*从而 * 于是将 b 看作变量，对右端分式应用洛必达法则即得 * 分子、分母同除 b-a 得*)解析：证明下列命题：（分数：30.00）(1).设 f(x，y)定义在全平面上，且 （分数：10.00）_正确答案：(方法 1即证 f(x，y)=f(0，0)(*x，y)由于 f(x，y)-f(0，0)=f(x，y)-f(0，y)+f(0，y)-f(0，0) * (其中 在

25、 x，0 之间， 在 0，y 之间) * 因此 f(x，y)=f(0，0)(*x，y) 方法 2偏导数实质上是一元函数的导数，在全平面上，*，即*给定 y，作为 x 的一元函数f(x，y)对 x 的导数 * 于是 f(x，y)=(y) (y)是*可导函数(当 y 给定时它是 x 的常数函数) 将上式两端关于 y 求偏导数与导数，有 * * f(x，y)=(y)=C 因此 f(x，y)恒为常数)解析：(2).设 u(x，y)，(x，y)定义在全平面上，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(由所给条件即证* 由* 将*代入上式* 此方程组的系数行列式 * 若 C=0*u=0，=0；若 C0*u

26、(x，y)为常数 同理可证：(x，y)为常数 对于这类证明题，要注意题设条件与结论的内在关系及所证结论的转换，例如：设函数 z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且*，试证对任意的常数 C，f(x，y)=C 确定 y=y(x)为一直线的充要条件是* (提示 由于 y=y(x)是线性函数的充要条件为 y(x)=K(K 为常数)，进而 y“(x)=0设 y=y(x)是由方程 f(x，y)=C 确定的隐函数，则只需证题中的条件是*的充要条件 作为复习，请考生证明：()设 u(x,y)有二阶连续偏导数，则 u(x，y)=f(x)+g(y)的充要条件是*()设 u(x，y)0,且具有二阶连续偏导数，则 u

27、(x，y)=f(x)g(y)的充分必要条件是*(提示该题与题()是相类似的问题,证明思路同题()的方法 2) 分析与证明：()* ()u(x,y)=f(x)g(y)*ln|u|=ln|f(x)|+ln|g(y)| (记 w(x，y)=ln|u(x，y)|) * 现求出 *)解析：(3).计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(*，将 D 中的 x 与 y 交换，D 不变，所以*中，将被积函数中的 x 与 y 交换，该积分的值亦不变于是有*从而*又*由于 sinx 是 x 的奇函数，siny 是 y 的奇函数，且 D 既对称于 y 轴，又对称于 x 轴，所以*于是*利用区域 D 的 x

28、与 y 的轮换对称性可以化简计算，其定理如下：设 f(x，y)在区域 D 上连续，且 D 关于 x 与 y 轮换对称，即 D 关于直线 y=x 对称，则*利用区域 D 关于某一坐标轴对称，且 f(x，y)具有对于另一坐标变量的奇、偶性，可以化简计算，其定理如下：1设 f(x,y)在 D 上连续，D 关于 x 轴对称，D 1是 D 中位于 y0 部分，则有*2设 f(x,y)在 D 上连续，D 关于 y 轴对称，D 3是 D 中位于 x0 的部分，则有*)解析：一子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为 0，穿出铁板时的速度为 1，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为 t1子弹在铁板内的

29、阻力与速度平方成正比，比例系数 k0（分数：30.00）(1).求子弹在铁板内的运动速度 与时间 t 的函数关系 =(t)；（分数：10.00）_正确答案：(首先考察子弹在铁板内的运动速度 =(t)满足的规律子弹在铁板内所受阻力为-k 2，于是由牛顿第二定律得*其中 m 为子弹的质量以入射时为起始时间，得初条件 (0)= 0解这个变量分离的微分方程得*积分得*由初值得*，于是*令 t=t1得*)解析：(2).求铁板的厚度（分数：10.00）_正确答案：(铁板的厚度 d 即子弹在铁板内所走过的距离*若只求铁板的厚度，也可先求子弹运动的速度 与路程 s 的关系,把加速度表为*于是方程为*，即*初值

30、为 | s=0= 0易解此初值问题得 = 0e-s 即*因此铁板的厚度为*为了求出 (用 0, 1,t1等表示),将式改写成 es dx= 0dt,两边积分得*代入式得*因此铁板的厚度为*)解析：(3).已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，其中 1， 2， 3， 4是 4 维列向量若齐次方程组Ax=0 的通解是 k(1，0，-3，2) T，证明 2， 3， 4是齐次方程组 A*x=0 的基础解系（分数：10.00）_正确答案：(由解的结构知 n-r(A)=1，故秩 r(A)=3又由*得 1-3 3+2 4=0因 A*A=|A|E=0，即 A*( 1， 2， 3， 4)=0，故

31、2， 3， 4都是 A*x=0 的解由 1=3 3-2 4与 r(A)=3 有 A=( 1， 2， 3， 4)=(3 3-2 4， 2， 3， 4)(0， 2， 3， 4)，可知 2， 3， 4线性无关由 r(A)=3 得 r(A*)=1，那么 n-r(A*)=3综上可知， 2， 3， 4是 A*x=0 的基础解系)解析：设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kn（分数：20.00）(1).求二次型 xTAx 的规范形；（分数：10.00）_正确答案：(设 为矩阵 A 的特征值，对应的特征向量为 ，即 A=，0，则 A2= 2 由于A2=E，从而( 2-1)=0又因 0，故有 2-1=0，解得 =1 或 =-1因为 A 是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩 r(A+E)=k，于是*那么矩阵 A 的特征值为：1(k 个)，-1(n-k 个)故二次型 xTAx 的规范形为*)解析：(2).证明 B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列式|B|的值（分数：10.00）_正确答案：(因为 A2=E，故B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A所以矩阵 B 的特征值是：5(k 个)，1(n-k 个)由于 B 的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩阵，且|B|=5 k1n-k=5k)解析：