【考研类试卷】考研数学二-221及答案解析.doc

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1、考研数学二-221 及答案解析(总分：170.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设正数列a n满足 ，则极限 =A2 B1 C0 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 0，f(x)在(-，)有连续的三阶导数，f(0)=f“(0)=0 且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知累次积分 f(rcos，rsin)rdr，其中 a0 为常数，则 I 可写成 A B CD （

2、分数：4.00）A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）A.B.C.D.6.以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 A.y“+y“+3y+5y=0 B.y“-y“+3y+5y=0 C.y“+y“-3y+5y=0 D.y“-y“-3y+5y=0（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列矩阵中属于正定矩阵的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 n 维向量 1， 2， s的秩为 r，则下列命题正确的是 A. 1， 2， s中任何 r-1 个向量必线性无关 B. 1， 2， s中任何 r 个向量必线性无关

3、 C.如果 sn，则 s必可由 1， 2， s-1线性表示 D.如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2， s线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：7，分数：28.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)=arcsin(1-x)，且 f(0)=0，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 y=xe-x(0x+)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积=_.（分数：4.00）填空项 1:_13.函数 f(x)=e-xsinx(x0，+)的值域区间为_（分数：4.00）填空项

4、1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_15.已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是 1（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：3，分数：110.00)(1).求定积分 （分数：10.00）_(2).求定积分 （分数：10.00）_(3).设函数 F(u，)具有二阶连续偏导数，且 z=F(x+y，x+y+z)确定隐函数 z=z(x，y)，求 （分数：10.00）_(4).设积分区域 D=(x，y)|0x1，0y1，求 （分数：10.00）_(5).求凹曲线 y=y(x)，使得曲线上任

5、一点处的曲率 （分数：10.00）_(6).设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且 f(0)=f(2)=0，f(1)=2求证：至少存在一点(0，2)使得 f“()=-4（分数：10.00）_设 （分数：30.00）(1).求矩阵 A 的特征值与特征向量（分数：10.00）_(2).当 （分数：10.00）_(3).求 A100（分数：10.00）_设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且A3=3A-2A 2证明：（分数：20.00）(1).矩阵 B=(，A，A 4)可逆；（分数：10.00）_(2).BTB 是正定矩阵（分数：10.00）_

6、考研数学二-221 答案解析(总分：170.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设正数列a n满足 ，则极限 =A2 B1 C0 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：先求出* * 又* 因此*故应选(B)2.设 0，f(x)在(-，)有连续的三阶导数，f(0)=f“(0)=0 且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由*，当 0|x| 0时，*，即 f“(x)0* f“(x)在(- 0， 0)单调上升* (0，f(0)是 y=f(x)的拐点故应选(C)对这类选择题也可用特殊取法特取 f(x)满足 f“(x)=2|x|，为此只需*于是取

7、*满足所有条件，(0，f(0)是它的拐点，x=0 不是 f(x)的极值点,选(C).3.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由已知 du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy * 由于它们均连续* *即* 故应选(B) 设在某区域D 存在 u(x,y)，使得 du=P(x，y)dx+Q(x，y)dy (x，y)D)， 其中 P，Q 在 D 有连续的偏导数，则由 * 同样可得*4.已知累次积分 f(rcos，rsin)rdr，其中 a0 为常数，则 I 可

8、写成 A B CD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表成*由 D 的极坐标表示*即 r2=x2+y2arcoa=ax可知*，如图若是先 y 后 x 的积分顺序，则 D:0xa，*于是*故应选(C)5.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*有零点等价于曲线*与直线 y=a 有交点 令*，则有* 现列表格标出 y的正负号区间，相应地得到 g(x)的单调性区间： * 所以 g(x)在(-，-3)和(3，+)内单调增加，在(-3，3)内单调减少，并且 g(x)取最小值 g(3)=-3 y=g(x)在每个

9、单调性区间上与直线 y=a 是否相交取决于 a 值是否介于单调性区间端点的函数值或极限值之间 故还要算出：* 综上计算结果结合 y=g(x)的图形(如图所示)，可得 * 当 a0 时，f(x)有两个零点； 当 a=0 时，f(x)只有一个零点 x=0； 当-3a0 时，f(x)仅有两个零点； 当 a=-3 时，f(x)只有一个零点 x=3； 当 a-3 时，f(x)没有零点应选(A)6.以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 A.y“+y“+3y+5y=0 B.y“-y“+3y+5y=0 C.y“+y“-3y+5y=0 D

10、.y“-y“-3y+5y=0（分数：4.00）A.B. C.D.解析：线性无关特解 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x对应于特征根 1=1+2i， 2=1-2i 与 3=-1，由此可得特征方程是(-1-2i)(-1+2i)(+1)=0* 3- 2+3+5=0由此即知以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 y“-y“+3y+5y=0应选(B)7.下列矩阵中属于正定矩阵的是 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是 aii0

11、(C)中 a33=-10，必不正定；(A)中二阶顺序主子式*，必不正定；(D)中三阶顺序主子式|A|=-10，必不正定由排除法可知，应选(B)8.设 n 维向量 1， 2， s的秩为 r，则下列命题正确的是 A. 1， 2， s中任何 r-1 个向量必线性无关 B. 1， 2， s中任何 r 个向量必线性无关 C.如果 sn，则 s必可由 1， 2， s-1线性表示 D.如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2， s线性表示（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：r( 1， 2， s)=r* 1， 2， s中一定存在 r 个向量线性无关，而任意 r+1 个向量必线性相关当向量组的秩为

12、 r 时，向量组中既可以有 r-1 个向量线性相关，也可以有 r 个向量线性相关，故(A)、(B)均错误例如向量 1， 2， 3， 4分别为(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，0，0，0)，其秩为 3，其中 1， 4线性相关， 1， 2， 4也线性相关该例说明，4 维向量可以有 2 个向量线性相关，也可以有 3 个向量线性相关但肯定有 3 个向量线性无关当 sn 时，表明 1， 2， s必线性相关，此时有 i可以由 1， i-1， i+1， s线性表示，但 s不一定能由 1 s-1线性表示故(C)不正确若 r( 1， 2， s)=n，则对任何 n 维向量 必有 r

13、( 1， 2， s，)=n故(D)正确因此应选(D)二、B填空题/B(总题数：7，分数：28.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：*，f(x)在点 x=0 处左连续，要使 f(x)在点 x=0 处连续*而*，其中 esinx-1sinx(x0)，*故 a=-310.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：*，f(x)在点 x=0 处左连续，要使 f(x)在点 x=0 处连续*而*，其中 esinx-1sinx(x0)，*故 a=-311.设 f(x)=arcsin(1-x)，且 f(0)=0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （

14、正确答案：*）解析：已知 f(x)=arcsin(x-1)，求*，我们不必先求出 f(x)，而是把求 I 转化为求与 f(x)有关的定积分，就要用分部积分法或把*再积分 方法 1 利用分部积分法可得 * 也可用分解法求出 * 方法 2 由于*且 f(0)=0，于是 * 代入即得 * 其中 D=(x，y)|0x1，0yx，因 D 又可表为 D=(x，y)|0y1，yx1，从而交换累次积分的积分次序即得 * * (此处积分*(1-y)arcsin(1-y)dy 的汁算过程可参阅方法 1)12.曲线 y=xe-x(0x+)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积=_.（分数：4.00）填空项

15、 1:_ （正确答案：*）解析：所求体积为 *13.函数 f(x)=e-xsinx(x0，+)的值域区间为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：定义在某区间上的连续函数 y(x)，若有最大值 M 和最小值 m，则 y(x)的值域就是m，Mf(x)=e-xsinx 在0，+)内连续由 f(x)=e-x(cosx-sinx)=0，解得 f(x)的驻点为*(k=0，1，2，)，于是*，其中 f(x0)，f(x 2)，f(x 4)，为正数，最大者为*；而 f(x1)，f(x 3)，f(x 5)，为负数，最小者为*又 f(0)=0,*=0，所以 f(x)的值域为*14.设 （分数：4

16、.00）填空项 1:_ （正确答案：区间(3，+)(或集合p|p3)）解析：当 x=y0 时 * 由于* 故当 p3 时*不可能等于零,令*，并利用|x|，|y|，可得 * 注意当 p3 时有*，由夹逼定理即得此时*这表明*的充分必要条件是其中常数 p3 即符合要求的常数 p 的取值范围是区间(3，+)(也可表示为集合的形式p|p3)15.已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：18，）解析：因为(A *)*=|A|n-2A，又|A|= i=6，所以(A *)*

17、=6A，从而(A *)*的特征值为 6，12，18，显然其最大特征值为 18三、B解答题/B(总题数：3，分数：110.00)(1).求定积分 （分数：10.00）_正确答案：(* 现作变换*，:0*t:0+于是， * *)解析：(2).求定积分 （分数：10.00）_正确答案：(*令 =-x 作换元，于是 x=-，dx=-d，且 x:0*：0，sinx=sin(-)=sin代入可得 * 故*)解析：(3).设函数 F(u，)具有二阶连续偏导数，且 z=F(x+y，x+y+z)确定隐函数 z=z(x，y)，求 （分数：10.00）_正确答案：(将方程 z=F(x+y，x+y+z)求全微分，由一

18、阶全微分形式不变性即得 * 由此解得* 从而*继续求偏导数即知 * 把*代入上式就有 *)解析：(4).设积分区域 D=(x，y)|0x1，0y1，求 （分数：10.00）_正确答案：(因积分区域 D 关于直线 y=x 对称，被积函数*，令D1=(x,y)|0x1,0yx就有*令 x=Fcos，y=rsin 引入极坐标，即知*d=rdrd，代入即得*方法 1*方法 2*)解析：(5).求凹曲线 y=y(x)，使得曲线上任一点处的曲率 （分数：10.00）_正确答案：(由题意知*又 tan=y，故*，代入得*令 p=y，则*，从而有*即*两边积分得*又由题设知当 x=1 时 y=1，p=y=0，

19、故 C1=0，从而 y=1+p2解得 p=*，即*，分离变量就有*两边积分，得2*=x+C 2又由 x=1 时 y=1 知 C2=-1，所以2*=x-1，化简得*)解析：(6).设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且 f(0)=f(2)=0，f(1)=2求证：至少存在一点(0，2)使得 f“()=-4（分数：10.00）_正确答案：(解一 按题设可把函数 f(x)在 x=1 处展开为泰勒公式，得*， (*)在(*)式中分别令 x=0 与 x=2，并利用 f(1)=2 即知*把以上两式相加就有*这样一来，若 f“( 1)=f“( 2)，则 f“( 1)=f“( 2)=-4从而

20、这时 可取为 1或 2若 f“( 1)f“( 2)，这时*f“( 1)+f“( 2)=-4 就是 f“( 1)与 f“( 2)的一个中间值，按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在 ( 1， 2)*(0，2)使得 f“()=-4导函数的中间值定理又称达布定理，它可以叙述为：若函数 f(x)在区间a，b上可导，且 f(a)f(b)，则对于任何满足 minf(a)，f(b)maxf(a)，f(b)的常数 ,存在 a，b使得 f()=解二 转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)*零点设g“(x)=-4令 F(x)=f(x)-g(x)则*(0，2)，使 f“()=4*F“()=0注意 g(x)=

21、-2x2+c1x+c2，于是F(0)=f(0)-g(0)=-c2F(1)=f(1)-g(1)=4-c1-c2F(2)=f(2)-g(2)=8-2c1-c2为使 F(0)=F(1)=F(2)，取 c1=4，c 2=0，F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-(-2x 2+4x)满足 F(0)=F(1)=F(2)=0由于函数 F(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间0，1与1，2上分别对函数 F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在 1(0，1)与 2(1，2)使得 F( 1)=F( 2)=0，由题设知 F(x)在区间 1， 2上也满足罗尔定理的条件，再在区间 1， 2上对导函数

22、F(x)应用罗尔定理，又知存在( 1， 2)*(0，2)使得 F“()=f“()-g“()=0，即 f“()=g“()=-4 成立)解析：设 （分数：30.00）(1).求矩阵 A 的特征值与特征向量（分数：10.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值 1= 2=1， 3=-3由齐次线性方程组(E-A)x=0，*得基础解系 1=(-4，1，2) T由齐次方程组(-3E-A)x=0，*得基础解系 2=(-2，1，1) T因此，矩阵 A 关于特征值 1= 2=1 的特征向量为 k1(-4，1，2) T，k 10：而关于特征值 =-3 的特征向量为 k2(-2，1，1)

23、T，k 20)解析：(2).当 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：(3).求 A100（分数：10.00）_正确答案：(由 P-1AP=B 有 P-1A100P=B100，故 A100=PB100P-1又*于是*本题考查特征值、特征向量的计算，以及利用相似求 An求 B100既可以用数学归纳法，也可以用分块矩阵*)解析：设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且A3=3A-2A 2证明：（分数：20.00）(1).矩阵 B=(，A，A 4)可逆；（分数：10.00）_正确答案：(由于 A3=3A-2A 2，故A4=3A 2-2A 3=3A 2-2(3A

24、-2A 2)=7A 2-6A若 k1+k 2A+k 3A4=0，即 k1+k 2A+k 3(7A2-6A)=0，亦即 k1+(k 2-6k3)A+7k 3A2=0，因为 ，A，A 2 线性无关，故*所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵 B 可逆)解析：(2).BTB 是正定矩阵（分数：10.00）_正确答案：(因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵又*0，由于矩阵 B 可逆，恒有 Bx0，那么恒有 xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)0，故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型从而矩阵 BTB 是正定矩阵由*易知*|,A,A 2|0，亦可证得 B 可逆.正定矩阵是由二次型引出的，二次型矩阵 A 是实对称矩阵，因此若要证明 A 是正定矩阵，应先验证 A 是对称矩阵要会用定义法证明正定，要熟悉向量的内积：(,)=a 1b1+a2b2+anbn= T,特别地*那么*)解析：