【考研类试卷】考研数学二-203及答案解析.doc
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1、考研数学二-203 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数,又设(分数:4.00)A.B.C.D.2. ( )(分数:4.00)_3.下列反常积分中,收敛的是( )(分数:4.00)A.B.C.D.4.设 A 是三阶矩阵,A 的秩 r(分数:4.00)A.=1,则 =0( )(A) 必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.是 A 的一、二、三重特征值都可能5.设 f(x)在a,b上可导,f(分数:4.00)A.(a)0,fB.0则下述命题不正确的是(
2、 )(A) 至少存在一点 x0(a,b)使 f(x0)f(a)(B) 至少存在一点x0(a,b)使 f(x0)f(b)(C) 至少存在一点 x0(a,b)使 f(x0)=0(D) 至少存在一点 x0(n,6)使6.设 A 是 43 矩阵,B 是 34 的非零矩阵,满足 AB=0,其中( )(分数:4.00)A.当 t=3 时,r()=1B.当 t3 时,r()=1C.当 t=3 时,r()=2D.当 t3 时,r()=27.设 D=(x,y)|(x-1) 2+(y-1)22,则 (分数:4.00)A.B.C.D.8.设 (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00
3、)9.设 y=y(x)是由 所确定的函数,则 (分数:4.00)填空项 1:_10.微分方程 (分数:4.00)填空项 1:_11.心形线 r=a(1+cos)(常数 a0)的全长为 1(分数:4.00)填空项 1:_12.设函数 z=f(x,y)(xy0)满足 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 ,则 (分数:4.00)填空项 1:_14.设 A 是三阶实对称阵,有特征值 =3,对应的特征向量为 =1,2,3 T,则二次型在特征向量=1,2,3 T处的值 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求 (分数:10.00)_16.设 f(x)在(-,
4、+)内有定义,且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设 f(0)存在且等于 a,(a0)试证明对任意 x,f(x)存在,并求 f(x)(分数:11.00)_17.计算 (分数:10.00)_18.过坐标原点作曲线 y=ex的切线,该切线与曲线 y=ex以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D()求 D 的面积 A;()求 D 绕直线 x=1 所成旋转体体积 V(分数:10.00)_19.求不定积分 (分数:10.00)_20.设 ,其中 f,g, 在其定义域内均可微,求 (分数:10.00)_21.已知 (分数:11.00)_(分数:11.
5、00)(1).设 (分数:5.50)_(2).A 是实对称阵,证明:存在实数 k0 时,使得 kE+A 是正定阵(分数:5.50)_设线性齐次方程组 AX=0 为(*)在线性方程组(*)的基础上增添一个方程 2x1+ax2-4x3+bx4=0,得线性齐次方程组BX=0 为(分数:11.00)(1).求方程组(*)的基础解系和通解(分数:5.50)_(2).问 a、b 满足什么条件时,方程组(*),(*)是同解方程组(分数:5.50)_考研数学二-203 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数,
6、又设(分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 方法一 用皮亚诺泰勒公式先考虑分母,*将分子,f(x)存 x0=0 按皮亚诺余项勒公式展至 n=3*代入极限式,*所以 f(0)=0,f(0)=0,f“(0)=0,f“(0)=3选(C)方法二 分母用等价无穷小替换*可见*,不然与极限为 1 矛盾用洛必达法则,*可见,*,不然,上式应为,与等于 1 矛盾可以再用洛必达法则*由题设,上式应为 1,所以 f“(0)=32. ( )(分数:4.00)_解析:分析 将 min1,t 23.下列反常积分中,收敛的是( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 通过具体计算,对于(C),*收敛4.
7、设 A 是三阶矩阵,A 的秩 r(分数:4.00)A.=1,则 =0( )(A) 必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.是 A 的一、二、三重特征值都可能解析:分析 r(A)=1,AX=0 至少有两个线性无关的解向量,即对应 =0 至少有两个线性无关特征向量,因特征值的重数对应的线性无关特征向量的个数故 =0 至少是 A 的二重特征值,不可能是一重特征值,但有可能是三重特征值,例如 A=*,r(A)=1,=0 是 A 的三重特征值故 =0 至少是 A 的二重特征值应选(B)5.设 f(x)在a,b上可导,f(分数:4.00)A.(a)0,fB.0则
8、下述命题不正确的是( )(A) 至少存在一点 x0(a,b)使 f(x0)f(a)(B) 至少存在一点x0(a,b)使 f(x0)f(b)(C) 至少存在一点 x0(a,b)使 f(x0)=0(D) 至少存在一点 x0(n,6)使解析:分析 反例如下:f(x)=x 2-1,a,b=-1,1,*,但在(-1,1)内 f(x)0,不存在x0(-1,1)使*6.设 A 是 43 矩阵,B 是 34 的非零矩阵,满足 AB=0,其中( )(分数:4.00)A.当 t=3 时,r()=1B.当 t3 时,r()=1 C.当 t=3 时,r()=2D.当 t3 时,r()=2解析:分析 由题设 AB=0,
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