【考研类试卷】考研数学二-130及答案解析.doc

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1、考研数学二-130 及答案解析(总分：137.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 则 f(A)g(A)= （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 D：0x1，0y1， 则有 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 则 n= （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 为 n 阶矩阵，AA T=E，|A|0，则|A+E|等于（分数：4.00）A.-1B.0C.1D.25.在下列四个选项中，正确的是 (A)设 f(x0)存在，则 (B)设 存在 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=0 的通解，

2、且 是以 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设有函数 z=x3+y2与 z=(x2+y2)2，易知有驻点(0，0)，则在该点处（分数：4.00）A.函数 z=x3+y2有极小值，而函数 z=(x2+y2)2无极值B.函数 z=x3+y2无极值，而函数 z=(x2+y2)2有极小值C.上述两个函数都有极值D.上述两个函数都无极值8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y“+3y+2y=3xe-x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_12.欲做一圆

3、锥形漏斗，其母线长为 20cm，且要使漏斗体积最大，则其高应为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为 n 阶矩阵，且 A2-3A-E=0，则(A-2E) -1_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：81.00)15.试证：曲线 x2+2xy-8y2+2x+14y-3=0 必为直线（分数：9.00）_16.设 （分数：9.00）_17.计算 （分数：9.00）_18.设 证明： （分数：9.00）_19.设一抛物线 y=ax2+x+ 过两点(0，0)与(1，2)，且 0，试确定 ， 的值，使抛物线与 x轴所围图形的面积

4、最小（分数：9.00）_20.求 （分数：9.00）_21.设函数 f(x)有界，且 f(x)连续，x(-，+)，又 （分数：9.00）_22.化二次型 （分数：9.00）_23.已知四维向量 1， 2， 3线性无关，且与向量 1， 2都正交，证明： 1， 2线性相关（分数：9.00）_考研数学二-130 答案解析(总分：137.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 则 f(A)g(A)= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由 f(x)g(x)=(1-x)(1+x+xn-1)=1-x“， f(A)g(A)=E-An。 * 故*2.设 D：0

5、x1，0y1， 则有 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由积分区域 D 关于直线 y=x 对称(即关于积分变量有对称性)，知 * 于是* 因* 又* *(正方形区域面积) 故有*3.设 则 n= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 * 当 n0， * 于是*由题设知 In=1，因此 n=-2 当 n=0， * *发散，从而*发散 当 n0， * *发散，从而*发散4.设 A 为 n 阶矩阵，AA T=E，|A|0，则|A+E|等于（分数：4.00）A.-1B.0 C.1D.2解析：分析 由 A+E=A+AAT=A(E+AT)， 知|A+E|=|A| |E+A T|=|

6、A| |ET+AT| =|A|(E+A)T|=|A|A+E| *|A+E|(1-|A|)=0， 由已知，|A|0， 故|A+E|=05.在下列四个选项中，正确的是 (A)设 f(x0)存在，则 (B)设 存在 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 选项(B)不对，例如，* 选项(C)不对，因为*在 x=0 处不连续， 原式* 选项(D)不对，例如，取 * 有*不存在，故 f(x，y)在点(0，0)处不连续 选项(A)正确，事实上， *6.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=0 的通解，且 是以 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由设及解的结构定理，知

7、 y(x)=e-x(C1cos4x+C2sin4x)，C 1，C 2为任意常数，特征方程的根应为-14i， 由根与系数的关系，得 (-1+4i)+(-1-4i)=-p (-1+4i)(-1-4i)=q *p=2，q=177.设有函数 z=x3+y2与 z=(x2+y2)2，易知有驻点(0，0)，则在该点处（分数：4.00）A.函数 z=x3+y2有极小值，而函数 z=(x2+y2)2无极值B.函数 z=x3+y2无极值，而函数 z=(x2+y2)2有极小值 C.上述两个函数都有极值D.上述两个函数都无极值解析：分析 容易验证z“ xy(0，0) 2-z“xx(0，0)z“ yy(0，0)=0由

8、此可知，不能用判别法断定这两个函数在点(0，0)是否有极值 对于函数 z=x3+y2，由于在点(0，0)的任意一个邻域内，总存在着点(x，0)，当 x0，z(x，0)=x 30， 当 x0，z(x，0)=x 30，故函数 z=x3+y2在点(0，0)处无极值 易见 z=(x2+y2)20，且当且仅当 x=0，y=0，有 z=0，故 z=(x2+y2)2在点(0，0)处有极小值8.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 * * * 注：上述的不等式是因为被积函数在0，上非负，且除端点 0， 外皆取正值二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）填空项 1:_

9、 （正确答案： ）解析：分析 * 当 0x1，f(x)0从而 f(x)单调增加 故 f(x)在0，1上的最大值为 *10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xyz）解析：分析 * * * 故*11.微分方程 y“+3y+2y=3xe-x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 对应齐次方程的特征方程为 2+3r+2=*r=-1，-2 故齐次方程的通解为* 由 f(x)-3xe-x，=-1 为特征根，于是可令原方程的特解 y*=x(ax+b)e-x，代入原方程得 * 从而* 因此，原方程的通解为 *12.欲做一圆锥形漏斗，其母线长为 20cm，且要使

10、漏斗体积最大，则其高应为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 用 h 表示圆锥形漏斗的高，V 表示其体积，则有 * 令*13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 注意到*F(x)连续，xa，b 由题设知*在 x=0-1，1不连续，故 *14.设 A 为 n 阶矩阵，且 A2-3A-E=0，则(A-2E) -1_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 由设知 A2-3A-E=(A2-3A+2E)-3E *三、解答题(总题数：9，分数：81.00)15.试证：曲线 x2+2xy-8y2+2x+14y-3=0 必为直线（分

11、数：9.00）_正确答案：(由 x2+2xy-8y2+2x+14y-3=0 因 )解析：16.设 （分数：9.00）_正确答案：( 令 有 故当 0x1，(x)(0)=0，从而 f(x)0，于是 f(x)严格单调减少，x(0，1，因此， )解析：17.计算 （分数：9.00）_正确答案：( )解析：分析 因 f(u)为连续函数，故其存在原函数*计算过程中利用定积分性质，取得计算的结果18.设 证明： （分数：9.00）_正确答案：(令 因为 -tan0， 故 f()单调减， 当 0 时，有 f()f(0)=1； 当 因此有 即 )解析：分析 当 =0 时，不等式显然成立 当*欲证*可令*定义

12、f(0)=1，利用 f()的单调性，* 即可证得19.设一抛物线 y=ax2+x+ 过两点(0，0)与(1，2)，且 0，试确定 ， 的值，使抛物线与 x轴所围图形的面积最小（分数：9.00）_正确答案：(由抛物线 y=ax2+x+ 过点(0，0)，得 =0，过点(1，2)，得 +=2 =2-， 由 0，知 0 由 故 而 =2-，于是 令 S=0 )解析：分析 先由题设，定出 =0 及 ， 间的关系，按定积分的几何意义，求出面积表达式(可用一个参数 或 表示)，再由其极值点得出 ， 的值20.求 （分数：9.00）_正确答案：( 而 由归纳法，知x n单调增加 设 xn-13，则 xn= 于

13、是x n有上界故由极限存在准则知 存在，记为 a 对 两边取极限，得 即 故 )解析：分析 实际上，构成一个子数列： * xn满足递推关系式*根据极限存在准则求解21.设函数 f(x)有界，且 f(x)连续，x(-，+)，又 （分数：9.00）_正确答案：(作辅助函数 F(x)=exf(x)，则 )解析：分析 采用构造辅助函数法，由欲证结论 * 试想把 exf(x)取作辅助函数 F(x)，则其导函数 F(x)=exf(x)+f(x)，显然，由题设可以估计 F(x)了，再往下积分即可22.化二次型 （分数：9.00）_正确答案：(解法一 配方法： 令 y1=x1-2x2， 得到规范型 对应变换为

14、 解法二 正交变换：二次型对应系数矩阵 由于 所以特征值为 1=5， 2=2， 3=-1 1=5 对应特征向量 单位化得 2=2 对应特征向量 单位化得 3=-1 对应特征向量 单位化得 令 则 作变换 则有 再作变换 即 则得到规范型 所作的变换为 X=PZ=PDY=CY， 这里， )解析：分析 这是一常规题解法常用配方法和正交变换23.已知四维向量 1， 2， 3线性无关，且与向量 1， 2都正交，证明： 1， 2线性相关（分数：9.00）_正确答案：(证法一 考虑齐次线性方程组 AX=0，其中 由于 1与 1， 2， 3均正交，故 1是 AX=0 的解；同理 2也是 AX=0 的解 但因 r(A)=3，n-r(A)=1，即 AX=0 的基础解系仅含一个解向量，所以 1， 2线性相关 方法二 不妨设 10，则可证明 1， 2， 3， 1线性无关事实上，考虑 x1 1+x2 2+x3 3+x1 1=0， 注意到 1与 1， 2， 3均正交。用 P1T左乘上式两端，可得 )解析：分析 考查向量组的线性相关性