【考研类试卷】考研数学二-113 (1)及答案解析.doc

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1、考研数学二-113 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设向量组 1， 2， 3线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：4.00）A. 1- 2， 2- 3， 3- 2B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1C. 1-2 2， 2-2 3， 3-2 1D. 1+2 2， 2+2 3， 3+2 12.记行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.3.若 （分数：4.00）A.B.C.D.4. 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 1， 2， 3线性无关，向量 1可由 1， 2， 3线性表示，而向量 2不能由 1

2、， 2， 3线性表示则对任意常数 k，必有_（分数：4.00）A. 1， 2， 1，k 1+ 2线性无关B. 1， 2， 1，k 1+ 2线性相关C. 1， 2， 1， 1+k 2线性无关D. 1， 2， 1， 1+k 2线性相关6.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为_（分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 u(x，y)=(x+y)+(x-y)+ (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)在(-，+)上连

3、续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_10.下列两个积分的大小关系是： （分数：4.00）填空项 1:_11.已知曲线 y=f(x)过点(0，- （分数：4.00）填空项 1:_12.设 3 阶方阵 A，B 满足 A2B-A-B=E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，若 A= （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：4.00）填空项 1:_14.矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_16.计算 （分数：9.00

4、）_17.如图所示，设曲线 L 的方程为 y=f(x)，且 y“0又 MT，MP 分别为该曲线在点 M(x0，y 0)处的切线和法线已知线段 MP 的长度为 (其中 y0=y0(x0)，试推导出点 P(，)的坐标表达式（分数：11.00）_18.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xey-1=1 所确定设 z=f(lny-sinx)，求 （分数：11.00）_19.计算二重积分 （分数：10.00）_20.已知 A= （分数：11.00）_21.设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(-1，-3，5，1) T， 3=(3，2，-1，p+2) T

5、， 4=(-2，-6，10，p) T(1)p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T用 1， 2， 3， 4线性表出(2)p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组（分数：11.00）_22.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4线性无关， 1=2 2- 3如果 = 1+ 2+ 3+ 4，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：11.00）_23.若矩阵 A= （分数：11.00）_考研数学二-113 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选

6、择题(总题数：8，分数：32.00)1.设向量组 1， 2， 3线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：4.00）A. 1- 2， 2- 3， 3- 2 B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1C. 1-2 2， 2-2 3， 3-2 1D. 1+2 2， 2+2 3， 3+2 1解析：考点提示 向量组的相关性解题分析 很显然 A 选项的向量组( 1- 2)+( 2- 3)+( 3- 1)=0，即线性相关，故应选 A2.记行列式 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 行列式解题分析 由题设，利用行列式的性质，由第 2，3，4 各列减第 1 列，并将第 2 列加到第 4 列上，得

7、*则*由此不难求得 x=0 和 zx=1 是 f(x)=0 的两个根，所以选 B3.若 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 麦克劳林展开式、洛必达法则解题分析 由于题设未给出关于 f(x)的更多性质，故不应直接对原式应用洛必达法则，可将 sin6x 展成麦克劳林级数，即当 x0 时，sin6x=6x-*(6x)3+o(x3)=6x*36x3+o(x3)，因此*所以*选 C或者：*所以*4. 等于_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 定积分的定义解题分析 本题考查定积分的定义，即函数求和取极限的形式则将1，2等分为 n 个小区间，间隔为*在小区间*右端点上函数 f

8、(x)=lnx 的值为 ln*，由定积分定义知，*选 B5.设向量组 1， 2， 3线性无关，向量 1可由 1， 2， 3线性表示，而向量 2不能由 1， 2， 3线性表示则对任意常数 k，必有_（分数：4.00）A. 1， 2， 1，k 1+ 2线性无关 B. 1， 2， 1，k 1+ 2线性相关C. 1， 2， 1， 1+k 2线性无关D. 1， 2， 1， 1+k 2线性相关解析：考点提示 线性相关与线性无关解题分析 由题设， 1可由 1， 2， 3线性表示，则 1， 2， 3， 1线性相关，在 C 中取 k=0，则可看出 C 不正确又由 2不能由 1， 2， 3线性表示且 1， 2，

9、3线性无关，知 1， 2， 3， 2线性无关，在 B 中取 k=0，可看出 B 不正确关于 A，矩阵( 1， 2， 3，k 1+ 2)可通过初等列变换化为( 1， 2， 3， 2)，则该矩阵秩为 4，所以 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关，所以 A 正确关于 D，同样可将矩阵( 1， 2， 3， 1+k 2)化为( 1， 2， 3,k 2)，当 k=0 时，矩阵的秩为 3，则 1， 2， 3， 1+k 2线性相关当 k0 时矩阵秩为 4，此时 1， 2， 3， 1+k 2线性无关所以 D 不正确综上，应选 A6.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B

10、的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 矩阵的初等变换、初等矩阵解题分析 由题设，由 A 到 B 的过程相当于 A 右乘初等矩阵*B 到 C 的过程相当于 B 右乘初等矩阵*所以*选 D7.设函数 u(x，y)=(x+y)+(x-y)+ (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 二阶导数解题分析 由题设可得*因为*所以选 B8.设函数 f(x)在(-，+)上连续，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 微分与积分关系解题分析

11、利用微分与积分关系即可详解 因*故应选 B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 复合函数的定义解题分析 直接按复合函数的定义计算即可，注意|f(x)|1详解 由 f(x)=*知|f(x)|1，因此有 ff(x)=1评注 已知 f(x)和 g(x)，求复合函数 fg(x)(或 gf(x)，一般用代入法逐次复合即可，应特别注意的是 g(x)的值域与 f(x)的定义域的对应关系10.下列两个积分的大小关系是： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：考点提示 定积分性质解题分析 先比较区间上两

12、个被积分函数的大小，再利用定积分的性质得到答案详解 因为 y=ex在实数域内严格单调增加又在区间-2，-1上有1-x 38，-8x 3-1，所以在区间-2，-1上*由定积分的性质知*评注 本题考查定积分的比较性质11.已知曲线 y=f(x)过点(0，- （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 导数的几何意义解题分析 由导数的几何意义建立一阶微分方程，求解方程即得曲线方程，详解 由已知，得 y=xln(1+x2)，于是*代入条件：y(0)=*，得 C=-*所以 f(x)=*(1+x2)ln(1+x2)-112.设 3 阶方阵 A，B 满足 A2B-A-B=E，其中 E

13、为 3 阶单位矩阵，若 A= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 行列式、矩阵方程解题分析 由题设所给方程 A2B-A-B=E，得(A2-E)B=A+E，即 (A+E)(A-E)B=A+E又由已知*则*且 |A+E|=3(4+2)=180又 A-E=*且|A-E|+20，于是B=(A-E)-1(A+E)-1(A+E)=(A-E)-1因此|B|=*13.设 A= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 矩阵运算解题分析 由已知 B=(E+A)-1(E-A)则 (E+A)B=E-A，即 B+AB+A+E=2E，即 B+E+A(B+E)=2E，

14、从而 (E+A)(B+E)=2E，因此*14.矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：考点提示 矩阵的特征值解题分析 由题设，由|A-E|=0 可得出矩阵的特征值，即*解得 1=0， 2=0， 3=4，所以非零特征值为 4三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_正确答案：(详解 1详解 2)解析：考点提示 三角函数求极限16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(被积函数为对数函数与幂函数的乘积，因此采用分部积分法，将对数函数看作 u)解析：考点提示 分部积分法17.如图所示，设曲线 L 的方程为 y=f(x)，且 y“0又 MT，MP 分

15、别为该曲线在点 M(x0，y 0)处的切线和法线已知线段 MP 的长度为 (其中 y0=y0(x0)，试推导出点 P(，)的坐标表达式（分数：11.00）_正确答案：(按题意，要求用 x0，y 0及 y0，y“等表示 P 点的坐标，必须列出两个关于未知量 ， 的方程，由于 MT，MP 分别是 f(x)在 M(x0，y 0)点处的切线和法线，根据导数的几何意义及切线与法线的斜率之间的关系可列出一个方程另外，由 M 点和 P 点之间的距离公式可列出另一个方程详解 由题设得又 PMMT，所以由、解得由于 y“0，曲线 L 是凹的，故 y0-0，从而又于是得 )解析：考点提示 曲线的切线、法线评注 由

16、题设知，*实际上是曲线在 M 点的曲率半径，因而本题实际上是考查曲率中心 P 的坐标的推导如果对教材中相应的内容掌握得比较好，解答此类问题应该没有什么困难18.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xey-1=1 所确定设 z=f(lny-sinx)，求 （分数：11.00）_正确答案：(在 y-xey-1=1 中，令 x=0，得 y=1由 y-xey-1=1，两边对 x 求导，得y-ey-1-xey-1y=0再对 x 求导，得y“-ey-1y-ey-1y-xey-1y2-xey-1y“=0将 x=0，y=1 代入上面两式得 y(0)=1，y“(0)=

17、2，故)解析：考点提示 隐函数的求导19.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(此题用分块积分法，如下图所示在 D 中：用分块积分法得而所以作极坐标变换求 I1：又故)解析：考点提示 二重积分20.已知 A= （分数：11.00）_正确答案：(由题设，可知因而 A 可逆，由 A2-AB=I，A 2-I=AB，即 A-A-1=B，不难求得因此)解析：考点提示 矩阵运算21.设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(-1，-3，5，1) T， 3=(3，2，-1，p+2) T， 4=(-2，-6，10，p) T(1)p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10

18、) T用 1， 2， 3， 4线性表出(2)p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组（分数：11.00）_正确答案：(由题设，向量组 1， 2， 3， 4线性无关等价于矩阵A=( 1， 2， 3， 4)的行列式|A|0，即即 p2 时，向量组 1， 2， 3， 4线性无关，此时 用 1， 2， 3， 4线性表示，等价于方程组 Ax=，将相应的增广矩阵化为行简化阶梯形为：所以因此)解析：考点提示 向量组线性相关与无关、线性方程组22.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4线性无关， 1=2 2

19、- 3如果 = 1+ 2+ 3+ 4，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：11.00）_正确答案：(由题设，先确定方程组 Ax= 的系数矩阵的秩 r(A)，由已知 2， 3， 4线性无关， 1=2 2- 3，则 r(A)=3，则原方程组 Ax= 相应的齐次方程组 Ax=0 的基础解系所含向量个数应为 4-r(A)=4-3=1又由已知， 可由 1， 2， 3， 4线性表示，则原方程组 Ax= 的增广矩阵( 1， 2， 3， 4，)的秩也等于 3，从而可知 Ax= 有无穷多解由 1-2 2+ 3=0，知当 x=(1，-2，1，0) T时，即 x 是 Ax=0 的一个基础解系而由 = 1+ 2+ 3

20、+ 4知，当 x=(1，1，1，1) T时，即 X=(1，1，1，1) t是 Ax= 的一个特解综上可知，Ax= 的通解为：)解析：考点提示 线性无关、线性相关、基础解系注 本题也可直接求解 Ax=，即今 x=*，则 Ax= 将 1=2 2- 3及 = 1+ 2+ 3+ 4，代入上式，得(2x1+x2-3) 2+(-x1+x3) 3+(x4-1) 4=0由题设 2， 3， 4线性无关， 从而*此方程的增广矩阵为*通过初等行变换化为行简化阶梯形*由此知该方程组对应的齐次方程组的基础解系为*，特解为*，因此该方程组(也即原方程组)的通解为：*其中 C 为任意常数23.若矩阵 A= （分数：11.00）_正确答案：(由题设，先求矩阵 A 的特征值，设 E 为 3 阶单位矩阵，则由可得 1=6， 2=6， 3=-2欲使 A 相似于对角阵 ，应使 1= 2=6 对应两个线性无关的特征向量，因此 A-6E 的秩为 1，于是可得出 a=0，从而下面求特征向量：当 1= 2=6 时，由(A-6E)x=0，可得出两个线性无关的特征向量为： 1=(0，0，1) T， 2=(1，2，0) T当 3=-2 时，由(A+2E)x=0，可得 3=(1，-2，0) T于是且 P-1存在，并有 P-1AP=A，其中：)解析：考点提示 相似矩阵、对角化