【考研类试卷】考研数学三（概率论与数理统计）-试卷16及答案解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 16及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B 为两个随机事件，且 B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P（B|A）=P（B）D.P（BA）=P（B）P（A）3.设事件 A、B、C 满足 P（ABC）0，则 P（AB|C）=P（A|C）P（B|C）的充要条件（分数：2.00）A.P（A|C）=P（A）B.P（B|C）=P（B）C.P（AB|C）=P（AB）D.P（B|A

2、C）=P（B|C）4.连续抛掷一枚硬币，第 k（kn）次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.5.设函数 F（x）= （分数：2.00）A.不是任何随机变量的分布函数B.是某连续型随机变量的分布函数C.是某随机变量的分布函数D.无法确定6.设随机变量 XN（0，1），其分布函数为 （x），则随机变量 Y=minX，0的分布函数为（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X i （分数：2.00）A.0B.C.D.18.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N（0，1）和 N（1，1），则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D

3、.9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n （n1）独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.1B.0C.D.110.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX +b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是（ ）（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数B.a0，b 为任意实数C.a0，b 为任意实数D.a0，b 为任意实数11.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 D（X i ）=1，i=1，2，n，则对任意 80，根据切比雪夫不等式直接可得（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.12.设总体 X服从正态分布 N（0，

4、2 ）， ，S 2 分别为容量是 n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n1的 t分布的随机变量是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.10个同规格的零件中混入 3个次品，现在进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A厂生产的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样

5、本，而 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知随机变量 YN（， 2 ），且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_17.设平面区域 D由曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_19.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 （x），概率密度函数为 f 1 （x），且 E（X 1 ）=1，随机变量 X的分布函数为 F（x）=04F 1 （x）+06F 1 （2x+1），则 E（X）= 1。（

6、分数：2.00）填空项 1:_20.已知随机变量 XN（2，9），Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY =025，则 D（2X3Y）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设有两箱同类零件，第一箱内装 5件，其中 1件是一等品，第二箱内装 5件，其中 2件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2件零件。求：（）先取出的零件是一等品的概率；（）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。（分数：2.00）_23.从学校乘

7、汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_24.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 （分数：2.00）_25.设以 X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项（以美元计），以 Y表示推销员一天所得的补贴（以美元计），已知 X和 Y的联合概率密度为 （）求边缘概率密度 f X （x），f Y （y）； （）求条件概率密度 f Y|X （y|x），f X|Y （x|y）； （）求 x=12时 Y的条件概率密度； （）求条件概率Py8|X=12。（分数：2.00）_26.假设随机变

8、量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 Py=1= （分数：2.00）_27.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_28.已知总体 X的数学期望 E（X）=，方差 D（X）= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_29.设总体 X的概率密度为 是样本均值。求参数 的矩估计量 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 16答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

9、题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B 为两个随机事件，且 B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A) B.P(AB)=P(A)C.P（B|A）=P（B）D.P（BA）=P（B）P（A）解析：解析：如图 311所示，可见 A+B=AB=A， AB=AB=B， BA= ， 于是 P（A+B）=P（A），P（AB）=P（B），P（BA）=P（ ）=0， 故选项 A正确。C 选项只有当 P（A）=1 时才成立。3.设事件 A、B、C 满足 P（ABC）0，则 P（AB|C）=P（A|C）P（B|C）的充要条件（分数：2.00）A.P（A|C）=P（A）B.P（B|C）=P（B）C.

10、P（AB|C）=P（AB）D.P（B|AC）=P（B|C） 解析：解析：P（AB|C）=P（A|C）P（B|C），只在 C发生的条件下，A 与 B独立，所以“在 C发生的条件下，A 发生与否不影响 B发生的概率”，即 P（B|AC）=P（B|C），故选 D。选项 A、B、C 分别是 A与C、B 与 C、AB 与 C独立的充要条件。4.连续抛掷一枚硬币，第 k（kn）次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 依据题意，总共抛掷 n次，其中有 k次出现正面，余下的为 nk次反面。第 n次必是正面向上，前 n1次中有 nk次反面，k1 次正面（如

11、上图所示）。根据伯努利公式，所以概率为5.设函数 F（x）= （分数：2.00）A.不是任何随机变量的分布函数B.是某连续型随机变量的分布函数C.是某随机变量的分布函数 D.无法确定解析：解析：由函数 F（x）的表达式可知，F（x）是单调非减的；F（x）是有界的；F（x）是右连续的（主要在 x=0和 x=2这两点处），即 F（x）满足分布函数的三条基本性质，所以 F（x）一定是某个随机变量的分布函数。此外，因连续型随机变量的分布函数必为连续函数，而 F（x）在 x=2处不连续，所以F（x）不是连续型随机变量的分布函数，故选项 C正确。6.设随机变量 XN（0，1），其分布函数为 （x），则随机

12、变量 Y=minX，0的分布函数为（ ）（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：F（y）=PYy=Pmin（X，0） y=1P min（X，0）y=1PXy，0y。 当y0 时，PXy，0y=PXy，F（y）=1 一 PXy=PXy=（y）。 当 y0 时，PXy，0y=0，F（y）=1，故选项 B正确。7.设随机变量 X i （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由 PX 1 X 2 =0=1得知，PX 1 X 2 0=0。于是根据 X 1 ，X 2 的分布律，有 PX 1 =1，X 2 =1=0，PX 1 =1，X 2 =1=0 PX 1 =1，X 2 =1=0，PX

13、 1 =1，X 2 =1=0。 再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得（X 1 ，X 2 ）的联合分布律如下表。 8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N（0，1）和 N（1，1），则（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 XN（0，1）与 YN（1，1）以及 X与 Y相互独立，得 X +YN（1，2），XYN（1，2）。因为，若 ZN（， 2 ），则必有 PZ= 9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n （n1）独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.1B.0 C.D.1解析：解析：由于 X i 独立同分布，所以 D（X i ）

14、= 2 ， ，Cov（X 1 ，X i ）=0（i1） ， 10.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX +b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是（ ）（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数B.a0，b 为任意实数 C.a0，b 为任意实数D.a0，b 为任意实数解析：解析：直接计算 Y与 Z的相关系数来确定正确选项。由于 Cov（Y，Z）=Cov（Y，aX+b）=aCov（X，Y），D（Z）=D（aX+b）=a 2 D（X），所以 11.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 D（X i ）=1，i=1，2，n，则对任意 80

15、，根据切比雪夫不等式直接可得（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意知 E（X i ）=0，i=1，2，n。记 根据切比雪夫不等式，有 12.设总体 X服从正态分布 N（0， 2 ）， ，S 2 分别为容量是 n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n1的 t分布的随机变量是（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题设知，X i N（0， 2 ）， 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.10个同规格的零件中混入 3个次品，现在进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正

16、确答案：*）解析：解析：记 A=“查完 5个零件正好查出 3个次品”，现要求的是 P（A）的值。事实上，事件 A由两个事件合成：B=“前 4次检查，查出 2个次品”和 C=“第 5次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式 P（A）=P（BC）=P（B）P（C|B），事件 B是前 4次检查中有 2个正品 2个次品所组合，所以P（B）= 已知事件 B发生的条件下，即已检查了 2正 2次，剩下 6个零件，其中 5正 1次，再要抽检一个恰是次品的概率 P（C|B）=14.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，

17、发现是次品，则该次品属 A厂生产的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=抽到的产品为工厂 A生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B生产的，事件C=抽到的产品是次品，则 P（A）=06，P（B）=04，P（C|A）=001，P（C|B）=002， 根据贝叶斯公式可知15.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，而 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X 1 X i 是一次伯努利试验结果，X i 相互独立。所以 X 1 +X 2 +X n 可以看成 n次独立重复试验。即 16.

18、已知随机变量 YN（， 2 ），且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 YN（， 2 ），且 P方程有实根=P14Y0= 17.设平面区域 D由曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：区域 D的面积为18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正态）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：Y 1 Y 2 =X 1 X 2 + 所以 Y 1

19、 Y 2 为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。 又 E（Y 1 Y 2 ）=0，D（Y 1 Y 2 ）= 故 Y 1 Y 2 19.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 （x），概率密度函数为 f 1 （x），且 E（X 1 ）=1，随机变量 X的分布函数为 F（x）=04F 1 （x）+06F 1 （2x+1），则 E（X）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04）解析：解析：已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 （x），概率密度函数为 f 1 （x），可以验证 F 1 （2x +1）为分布函数，记其对应的随机变量为 X 2 ，其中 X 2 为随机

20、变量 X 1 的函数，且 X 2 = 记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 （x）。 概率密度函数为 f 2 （x），所以 X的分布函数为 F（x）=04F 1 （x） +06F 2 （x） 两边同时对 x求导得 f（x）=04f 1 （x）+06f 2 （x），于是 + xf（x）dx=04 + xf（x）dx+06 + xf 2 （x）dx， 即 E（X） =04E（X 1 ）+ 06E（X 2 ） =04E（X 1 ）+ 20.已知随机变量 XN（2，9），Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY =025，则 D（2X3Y）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正

21、确答案：90）解析：解析：D（2X3Y）=4D（X）+9D（Y）2Cov（2X，3Y）=4D（X） + 9D（Y）12 XY 其中D（X）=9，D（Y）=4，代入得 D（2X3Y）=90。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设有两箱同类零件，第一箱内装 5件，其中 1件是一等品，第二箱内装 5件，其中 2件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2件零件。求：（）先取出的零件是一等品的概率；（）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。（分数：2.00）

22、_正确答案：(正确答案：设 H i 表示“被挑出的是第 i箱”，i=1，2，则 H 1 ，H 2 为完备事件组。A 表示“先取的一件是一等品”，B 表示“在同一箱中取的第二件是一等品”。 （）由全概率公式得： P（A）=P（H 1 ）P（A|H 1 ）+ P（H 2 ）P（A| H 2 ） （）P（B|A）表示的是“在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率”。由条件概率和全概率公式可得 )解析：23.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意 X服从二项分布 因此

23、 X的分布律为 因此，X 的分布函数为X的数学期望是 E（X）= )解析：24.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X i 的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布。 如果将3个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为 3!=6，PX 1 =1=P1号球落入 1号盒= 又 PX 1 =1，X 2 =1=P1号球落入 1号盒，2 号球落入 2号盒= ，依次可求得（X 1 ，X 2 ）的联合分布为 )解析：25.设以 X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项（以美元计），以 Y表

24、示推销员一天所得的补贴（以美元计），已知 X和 Y的联合概率密度为 （）求边缘概率密度 f X （x），f Y （y）； （）求条件概率密度 f Y|X （y|x），f X|Y （x|y）； （）求 x=12时 Y的条件概率密度； （）求条件概率Py8|X=12。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）如图 335所示 （）（1）当 10x20 时，f X （x）0，条件概率密度 f Y|X （y|x）存在。 （2）当 10x20 时，有 （3）当 5y10 或 10y20，f Y （y）0，f X，Y （x|y）存在。当 5y10 时， f X|Y （x|y）是单个自变量 x的函数，y

25、 是一个固定值。 （）当 x=12时 Y的条件概率密度为 )解析：26.假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 Py=1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）根据题意 PY=一 1= ，PY=1= ，XN（0，1）且 X与 Y相互独立，所以 Z=XY的分布函数为 F Z （z）=PXYz=PY=1PXYz|Y=1 +PY=1PXYz|Y=1 =PY=一 1PXz|Y=1 +PY=1PXz|Y=1 =PY=一 1PX一 z+PY=1PXz 即 Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 f Z （z）=（z）= （）由于 V=|XY|只取非负值，因

26、此当 0 时，其分布函数 F V （）=P|XY|=0；当 0 时， F V （）=PXY =PY=一 1PXY|Y=1+PY=1PXY|Y=1 由于 F V （）是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以 V的概率密度为 )解析：27.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由于 P（X 2 =Y 2 ）=1，因此 P（X 2 Y 2 ）=0。 故 P（X=0，Y=1）=0，可知 P（X=1，Y=1）=P（X=1，Y=1）+P（X=0，Y=1）=P（Y=1）= 。 再由 P（X=1，Y=0）=0 可知 P（X=0，Y=0）=P（X=1，Y=0）

27、+P（X=0，Y=0）=P（Y=0）= 。 同理，由 P（X=0Y=1）=0 可知 P（X=1，Y=一 1）=P（X=1，Y=1） +P（X=0，Y=一 1）=P（Y=一 1）= 。 这样，就可以写出（X，Y）的联合分布如下： （）Z=XY 可能的取值有1，0，1。其中 P（z=一 1）=P（x=1，y=一 1）= ，P（z=1）=P（x=1，Y=1）= , 则有 P（Z=0）= 。 因此，Z=XY 的分布律为 （）E（X）= ，E（Y）=0，E（XY）=0，CoV（X，Y）=E（XY）一 E（x）E（Y）=0， 所以 )解析：28.已知总体 X的数学期望 E（X）=，方差 D（X）= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体分布未知，将 Y化简，根据数字特征性质计算 E（Y）。因为 )解析：29.设总体 X的概率密度为 是样本均值。求参数 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：