【考研类试卷】考研数学三（概率统计）-试卷12及答案解析.doc

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1、考研数学三（概率统计）-试卷 12 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X n 为相互独立的随机变量，S n =X 1 +X n ，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X n（分数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一指数分布D.服从同一离散型分布3.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 则服从自由度为

2、n 一 1 的 t 分布的随机变量是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下)。其中 ， 未知，但已知 ，则 = 1，= 2，EX= 3，E(XY)= 4。 （分数：2.00）填空项 1:_5.设(X，Y)在 D 1 |x|+|y|a(a0)上服从均匀分布，则 E(X)= 1，E(Y)= 2，E(XY)= 3。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_6.对随机变量 X，Y，已知 3X+5Y=11，则 X 和 Y 的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_7.设 X 为随机变量且 EX=

3、，DX= 2 。则由切比雪夫不等式，有 P|X|3 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.在天平上重复称量一重为 a 的物品。假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 N(a，0，2 2 )。若以 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使 （分数：2.00）填空项 1:_9.随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为一 2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为一 05，则根据切比雪夫不等式有 P|X+Y|6) 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X 和 y 相互独立且都服从正态分布 N(0，3 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 9 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 9 分别是

4、来自总体 X 和 Y 的简单随机样本。则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金 2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元，而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益。（分数：2.00）_13.设随机变量(X，Y)N(0，1；0，1；)，求 Emax(X，Y)。（分数：2.00）_14.设随机变 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布且 D

5、X 1 = 2 ， （分数：2.00）_15.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_16.n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒中去，每盒投 1 个球。记 X 为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)。（分数：2.00）_17.在长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D，试求 CD 的平均长度。（分数：2.00）_18.设随机变量 X 1 ，X n ，X n+1 独立同分布，且 P(X 1 =1)=p，P(X 1 =0)=1 一 p，记 （分数：2.00）_19.对随机变量 X 和 Y，已知 EX=3，EY=一 2

6、，DX=9，DY=2，E(XY)=一 5。设 U=2XY 一 4，求EU，DU。（分数：2.00）_20.对随机变量 X，Y，已知 EX 2 和 EY 2 存在，证明：E(XY) 2 E(X 2 )E(Y 2 )。（分数：2.00）_某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占 20。以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 （分数：4.00）(1).写出 X 概率分布；（分数：2.00）_(2).利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值。（分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X

7、 的简单随机样本。已知 EX k =ak(k=1，2，3，4)，证明当 n 充分大时，随机变量 （分数：2.00）_22.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克。若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)一 0977，其中 (x)是标准正态分布函数。)（分数：2.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X n 是同分布的随机变量，且 EX 1 =0，DX 1 =1不失一般性地设 X 1 为连续型随机变量。证明：对任意的常数 0，有 （分数：2.00）_24.两家

8、影院竞争 1000 名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响。试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)=09900)（分数：2.00）_25.(1)设系统由 100 个相互独立的部件组成。运行期间每个部件损坏的概率为 01至少有 85 个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率。 （分数：2.00）_26.对随机变量 X，已知 e kX 存在(k0 为常数)，证明： （分数：2.00）_27.当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于097 试用切比雪夫不等

9、式和中心极限定理来分别求解(1645)=095)（分数：2.00）_28.利用中心极限定理证明： （分数：2.00）_29.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 12 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X n 为相互独立的随机变量，S n =X 1 +X n ，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，

10、X n（分数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一指数分布 D.服从同一离散型分布解析：解析：列维一林德贝格中心极限定理要求诸 X i 独立同分布，因此(A)、(B)不能选(无法保证同分布)，而选项(D)却保证不了 EX i 及 DX i 存在，甚至排除不了 X i 为常数(即退化分布)的情形，而中心极限定理却要求 X i 非常数且 EX i 与 DX i 存在，故不选(D)，只有(C)符合要求，可选。3.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是 （分数：2.00）

11、A.B. C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下)。其中 ， 未知，但已知 ，则 = 1，= 2，EX= 3，E(XY)= 4。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：5.设(X，Y)在 D 1 |x|+|y|a(a0)上服从均匀分布，则 E(X)= 1，E(Y)= 2，E(XY)= 3。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：D 的面积为 2a 2 ，故(X，Y)的概率密度为： 6.对随机变量 X

12、，Y，已知 3X+5Y=11，则 X 和 Y 的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 X 为随机变量且 EX=，DX= 2 。则由切比雪夫不等式，有 P|X|3 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：8.在天平上重复称量一重为 a 的物品。假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 N(a，0，2 2 )。若以 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：16）解析：解析：设第 i 次称量结果为 X i ，i=1，2，n。

13、 由题意： ，且 X 1 ，X n 独立同分布，X 1 N(a，02 2 )。 9.随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为一 2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为一 05，则根据切比雪夫不等式有 P|X+Y|6) 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若记 =X+Y，则 E=EX+EY=一 2+2=0，10.设随机变量 X 和 y 相互独立且都服从正态分布 N(0，3 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 9 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 9 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本。则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答

14、案：t）填空项 1:_ （正确答案：9）解析：解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金 2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元，而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X 和 分别为买 1 张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 =X 一 2，而 X 的概率分布为： )解析：13.设随机变量(X，Y)N(0，1；0，1；)，求

15、 Emax(X，Y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设随机变 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布且 DX 1 = 2 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒中去，每盒投 1 个球。记 X 为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.在长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D，试求 CD 的平均

16、长度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AC、AD 的长度分别为 X、Y，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故 )解析：18.设随机变量 X 1 ，X n ，X n+1 独立同分布，且 P(X 1 =1)=p，P(X 1 =0)=1 一 p，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EY i =P(X i +X i+1 =1)=P(X i =0，X i+1 =1)+P(X i =1，X i+1 =0)=2p(1 一 p)，i=1，n， =2np(1 一 p)，而 E(Y i 2 )=P(X i +X i+1 =1)=2p(1 一 p)，DY i

17、 =E(Y i 2 )一(EY i ) 2 =2p(1 一 p)12p(1 一 p)，i=1，2，n。 若 1 一 k2，则 Y k 与 Y l 独立，这时 cov(Y k ，Y t )=0，而 E(Y K Y K+1 ) =P(Y k =1，Y k+1 =1)=P(X k +X k+1 =1，X k+1 +X k+2 =1)=P(X k+1 =0，X k+1 =1，X k+2 =0)+P(X k =1，X k+1 =0，X k+2 =1)=(1 一 p) 2 p+P 2 (1 一 p)一 p(1 一 p)，cov(Y k ，Y k+1 )=E(Y k Y k+1 )一 EY k EY k+1

18、 = )解析：19.对随机变量 X 和 Y，已知 EX=3，EY=一 2，DX=9，DY=2，E(XY)=一 5。设 U=2XY 一 4，求EU，DU。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EU=2EX-EY 一 4=23+24=4，DU=D(2XY 一 4)=4DX+DY 一 4coy(X，Y)=49+24E(XY)一 EXEY=36+24(一 5+32)=34)解析：20.对随机变量 X，Y，已知 EX 2 和 EY 2 存在，证明：E(XY) 2 E(X 2 )E(Y 2 )。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占 20

19、。以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 （分数：4.00）(1).写出 X 概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，XB(100，02)。即：Px=k)=C 100 k 02 k 08 100-k ，k=0，1，2，100)解析：(2).利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX=10002=20，DX=1000208=16 )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。已知 EX k =ak(k=1，2，3，4)，

20、证明当 n 充分大时，随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知， )解析：22.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克。若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)一 0977，其中 (x)是标准正态分布函数。)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X i 为第 i 箱的重量，i=1，2， )解析：23.设 X 1 ，X 2 ，X n 是同分布的随机变量，且 EX 1 =0，DX 1 =1不失一般性地设 X 1 为连续型随机变量。证

21、明：对任意的常数 0，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可知：E(X i 2 )=DX i +(EX i ) 2 =1，i；1，1设(X 1 +X n )的概率密度为 f(x 1 ，x 2 ，x n )， )解析：24.两家影院竞争 1000 名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响。试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)=09900)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设 N 个座位才符合要求，而这 1000 名观众中有 X 名选择甲影院，则 ，由题意有：P(XN

22、)099而由中心极限定理知：P(XN)= )解析：25.(1)设系统由 100 个相互独立的部件组成。运行期间每个部件损坏的概率为 01至少有 85 个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设有 X 个部件完好，则 XB(100，09)，EX=90，DX=9，P系统正常工作=PX85= (2)设有 Y 个部件完好，则 YB(n，09)，EX=09n，DX=009n，PX08n= )解析：26.对随机变量 X，已知 e kX 存在(k0 为常数)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性，设 X 为连续型随机变量

23、，概率密度为 f(x)，则 Ee kX = - + e kx f(x)dx，而 PX)= )解析：27.当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于097 试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(1645)=095)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设抛掷 n 次硬币，正面出现 X 次，则 XB(n，05)。现要求P(04 06)09，即 P(04nX06n)09(1)用切比雪夫不等式；P(04nX06n)=P(|X 一 05n01n) )解析：28.利用中心极限定理证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引随机变量 X k (1)(参数为 1 的泊松分布)，k=1，2，且X k 相互独立。由泊松分布的再生性知 )解析：29.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可设 XN(， 2 )，得： 故 E(Y 1 一 Y 2 )= 一 =0，D(Y 1 一 Y 2 )=DY,+DY 2 = Y 1 一 Y 2 N 而 S 2 是由样本 X 7 ，X 8 ，X 9 构成的样本方差，可知 ，且 S 2 与 Y 1 ，与 Y 2 都独立，故与 Y 1 一 Y 2 独立， )解析：