【考研类试卷】考研数学三(一元函数微分学)-试卷19及答案解析.doc
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1、考研数学三(一元函数微分学)-试卷 19 及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)=|(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 |,则导数 f(x)不存在的点的个数是( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.33.设函数 f(x),g(x)具有二阶导数,且 g”(x)0若 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值,则 fg(x)在 x 0 取极大值的一个充分条件是( )(分数:2.00)A.f(a)0B.f(A)0C.f”(A)
2、0D.f”(A)04.设函数 f(x)在(0,+)上具有二阶导数,且 f”(x)0,令 u n =f(n)(n=1,2,),则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 u 1 u 2 ,则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ,则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ,则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ,则u n 必发散5.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)|sin2x|在区间 (分数:2.00)A.3B.2C.1D.06.曲线 y=(x 一 1) 2 (x 一 3) 2 的拐点个数为( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.37.设 f(x)=|x|sin 2 x,则使
3、导数存在的最高阶数 n=( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.38.设 f(x)=x 2 (x 一 1)(x 一 2),则 f(x)的零点个数为( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.39.设 f(x)在(0,+)内二阶可导,满足 f(0)=0,f”(x)0(x0),又设 ba0,则 axb 时,恒有( )(分数:2.00)A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b)C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)10.设常数 k0,函数 f(x)= (分数:2.00)A.3B.2C.1D.011.设 f(x)在(1,1+)内存在导数,f(x)严格单调减少,且 f(1)=f(
4、1)=1,则( )(分数:2.00)A.在(1,1)和(1,1+)内均有 f(x)xB.在(1,1)和(1,1+)内均有 f(x)xC.在(1,1)有 f(x)x,在(1,1+)内均有 f(x)xD.在(1,1)有 f(x)x,在(1,1+)内均有 f(x)x12.若 f”(x)不变号,且曲线 y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为 x 2 +y 2 =2,则函数 f(x)在区间(1,2)内( )(分数:2.00)A.有极值点,无零点B.无极值点,有零点C.有极值点,有零点D.无极值点,无零点13.设 f(x)具有二阶连续导数,且 f“(1)=0, (分数:2.00)A.f(1)是 f(x)的
5、极大值B.f(1)是 f(x)的极小值C.(1,f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值,(1,f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标二、填空题(总题数:11,分数:22.00)14.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_15.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_16.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_17.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1,0)处有公共的切线,则 (分数:2.00)填空项 1:_18.设 y=(1+sin) x ,则 dy| x= = 1(分数:2.00)填
6、空项 1:_19.已知 (分数:2.00)填空项 1:_20.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_21.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_22.已知 (分数:2.00)填空项 1:_23.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_24.函数 y=x 2x 在区间(0,1上的最小值为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_26.求函数 f(x)= (分数:2.00)_27.证明 4arctanx 一 x+ (分数:2.0
7、0)_28.证明 (分数:2.00)_29.设奇函数 f(x)在一 1,1上具有二阶导数,且 f(1)=1,证明:(1)存在 (0,1),使得 f()=1;(2)存在 (一 1,1),使得 f”()+f()=1(分数:2.00)_30.设生产某产品的固定成本为 6000 元,可变成本为 20 元件,价格函数为 P= (分数:2.00)_31.设函数 f(x)在0,+)上可导,f(0)=0 且 证明(1)存在 a0,使得 f(a)=1;(2)对(1)中的 a,存在 (0,a),使得 f()= (分数:2.00)_32.求 (分数:2.00)_33.设 f(x)在(一,+)内有定义,且对于任意 x
8、 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ,又设 f(0)存在且等于 a(a0),试证明对任意 x,f(x)都存在,并求 f(x)(分数:2.00)_34.设函数 f(x)在(一,+)上有定义,在区间0,2上,f(x)=x(x 2 一 4),若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2),其中 k 为常数 (1)写出 f(x)在一 2,0)上的表达式; (2)问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导(分数:2.00)_35.求极限 (分数:2.00)_考研数学三(一元函数微分学)-试卷 19 答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13
9、,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)=|(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 |,则导数 f(x)不存在的点的个数是( )(分数:2.00)A.0B.1 C.2D.3解析:解析:设 (x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ,则 f(x)=|(x)|使 (x)=0 的点x=1,x=2,x=3 可能是 f(x)的不可导点,还需考虑 (x)在这些点的值 “(x)=(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 +2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3) 3 +3(x 一 1)(x
10、 一 2) 2 (x 一 3) 3 ,显然,(1)0,(2)=0,(3)=0,所以只有一个不可导点 x=1故选 B3.设函数 f(x),g(x)具有二阶导数,且 g”(x)0若 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值,则 fg(x)在 x 0 取极大值的一个充分条件是( )(分数:2.00)A.f(a)0B.f(A)0 C.f”(A)0D.f”(A)0解析:解析:fg(x)=fg(x).g(x), fg(x)”=f“g(x)g(x)=f”g(x).g(x)2 +fg(x).g”(x), 由于 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值,所以 g(x 0 )=0 所以fg(x 0 )”=fg(x 0
11、 ).g”(x 0 )=f(a).g”(x 0 ),由于 g”(x 0 )0,要使fg(x)”0,必须有 f(a)04.设函数 f(x)在(0,+)上具有二阶导数,且 f”(x)0,令 u n =f(n)(n=1,2,),则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 u 1 u 2 ,则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ,则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ,则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ,则u n 必发散 解析:解析:本题依据函数 f(x)的性质选取特殊的函数数列,判断数列u n =f(n)的敛散性 取f(x)=x 2 ,f”(x)=20,u 1 =14=u 2 ,而
12、f(n)=n 2 发散,则可排除 C;故选 D 事实上,若 u 1 u 2 ,则 5.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)|sin2x|在区间 (分数:2.00)A.3B.2 C.1D.0解析:解析:设 g(x)=x 2 +x 一 2,(x)=|sin2x|,显然 g(x)处处可导,(x)处处连续,有不可导点 只须考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零 (x)=|sin2x|的图形如图 24 所示,在 只有不可导点 x=0, 1,其余均可导 因为 g(0)=-20, g(1)=0,所以 f(x)=g(x)(x)在 x=0, 6.曲线 y=(x 一 1) 2 (x 一 3) 2 的拐点个数
13、为( )(分数:2.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析:对于曲线 y,有 y=2(x 一 1)(x 一 3) 2 +2(x 一 1) 2 (x 一 3)=4(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3), y”=4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2p)=8(x 一 1)(2x 一 5), 令 y”=0,得 x 1 =1, 又由 y“=8(2x 一 5)+16(x 一 1),可得 7.设 f(x)=|x|sin 2 x,则使导数存在的最高阶数 n=( )(分数:2.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析: 8.设 f(x)=x 2 (x
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