【考研类试卷】考研数学三-429及答案解析.doc

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1、考研数学三-429 及答案解析(总分：148.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形为：则函数 的图形为（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0B.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0C.若 fx(x0，y 0)0，

2、则 fy(x0，y 0)=0D.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)04.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差为 20，令随机变量 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.6.设当 x0 时，e x-(ax2+bx+1)是比 x2高阶的无穷小，则（分数：4.00）A.，b=1B.a=1，b=1C.，b=-1D.a=-1，b=17.若 1， 2， 3， 1， 2都是 4 维列向量，且 4 阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4 阶行列式| 3， 2， 1， 1+ 2|=（分

3、数：4.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n8.设随机变量 (i=1，2)，且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2的值为（分数：4.00）_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，其对价格 P 的弹性 P=0.2，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1元会使产品收益增加_元（分数：4.00）填空项 1:_11.使不等式 （分数：4.00）填空项 1:_12.已知幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 1， 2， 3，

4、4是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若 1= 1+t 2， 2= 2+t 3， 3= 3+t 4， 4= 4+t 1也是 Ax=0 的基础解系，则 t 的取值为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.计算不定积分 （分数：10.00）_设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2-z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有二阶导数，且 -1（分数：10.00）(1).求 dz；（分数：5.00）_(2).记 ，求 （分数：5.00）_16.设二元函数计算二重积分 （分数：10.00）

5、_在 xoy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)（分数：10.00）(1).求 L 的方程；（分数：5.00）_(2).当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：5.00）_设函数 f(x)，g(x)在a，b连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：（分数：10.00）(1).存在 (a，b)，使得 f()=g()；（分数：5.00）_(2).存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：5.00）_设 （分数：10

6、.00）(1).求满足 A 2= 1，A 2 3= 1的所有向量 2， 3；（分数：5.00）_(2).中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3线性无关（分数：5.00）_已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_(2).求正交变换 x=Qy 把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；（分数：3.67）_(3).求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解（分数：3.67）_17.设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x，y)|1x3，1y3 上的均匀分布，试求 U=|X-Y|的概率密度 f(u)（分数：10.00）_设二维随机变量(X，Y)的概

7、率密度为（分数：11.00）(1).求 PX2Y（分数：5.50）_(2).求 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)（分数：5.50）_考研数学三-429 答案解析(总分：148.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若矩阵 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由矩阵 A 的特征多项式*知矩阵 A 的特征值中 =6 是二重根那么A*=6 时矩阵 A 应有 2 个线性无关的特征向量*(6E-A)x=0 有 2 个线性无关的解*n-r(6E-A)=2*r(6E-A)=1而*即 a=02.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形为：则函数 的图形为（分

8、数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 f(x)在-1，3有界，只有两个间断点(x=0，2)*f(x)在-1，3可积 *在-1，3连续，且 F(0)=0*(C)(F(0)0)，(B)(F(x)在 x=2 处不连续)被排除；(A)，(D)中的 F(x)在-1，0上不相同，由*可知，应选(D)3.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0B.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0

9、C.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0D.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0 解析：分析 这是条件极值点的必要条件问题分析一 化条件极值问题为一元函数极值问题已知 (x 0，y 0)=0，由 (x，y)=0 在(x 0，y 0)邻域，可确定隐函数 y=y(x)，满足 y(x0)=y0且*(x0，y 0)是 f(x，y)在条件 (x，y)=0 的一个极值点*x=x 0是 z=f(x，y(x)的极值点，它的必要条件是*若 fx(x0，y 0)=0，则必有 fy(x0，y 0)=0 或 x(x0，y 0)=0，因而不选(A)，(B)若 fx(x0，y 0)0

10、，则 fy(x0，y 0)0(否则*)因此选(D)分析二 用拉格朗日乘数法令F(x，y，)=f(x，y)+(x，y)则(x 0，y 0)满足，对某 0，Fx(x0，y 0， 0)=fx(x0，y 0)+ 0 x(x0，y 0)=0 Fy(x0，y 0， 0)=fy(x0，y 0)+ 0 y(x0，y 0)=0 若 fx(x0，y 0)=0，由* 0=0 或 x(x0，y 0)=0，当 0=0 时，由得 fy(x0，y 0)=0，但 00 时由及 y(x0，y 0)0*f y(x0，y 0)0因而不选(A)与(B)若 fx(x0，y 0)0，由* 00，再由及 y(x0，y 0)0*f y(x0

11、，y 0)0因此选(D)4.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 考察 f(x)在 x=0，1 处的极限或左、右极限因为*所以*是 f(x)的第二类间断点又*x=1 是 f(x)的第一类间断点因此应选(D)5.设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差为 20，令随机变量 ，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *6.设当 x0 时，e x-(ax2+bx+1)是比 x2高阶的无穷小，则（分数：4.00）A.，b=1 B.a=1，b=1C.，b=-1D.a=-1，b=1解析：分析 按阶的概念，此题由*求出 a 与 b分析一 用洛必达法则*因此*，

12、b=1选(A)分析二 用泰勒公式由*因此*，b=1选(A)7.若 1， 2， 3， 1， 2都是 4 维列向量，且 4 阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4 阶行列式| 3， 2， 1， 1+ 2|=（分数：4.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：分析 利用行列式的性质，有| 3， 2， 1， 1+ 2|=| 3， 2， 1， 1|+| 3， 2， 1， 2|=-| 1， 2， 3， 1|-| 1， 2， 3， 2|=-| 1， 2， 3， 1|+| 1， 2， 2， 3|=n-m8.设随机变量 (i=1，2)，且满足 PX1X

13、2=0=1，则 PX1=X2的值为（分数：4.00）_解析：分析 由题设 PX1X2=0=1，从而推知 PX1X20=0故PX1=-1，X 2=-1=PX1=-1，X 2=1=PX1=1，X 2=-1=PX1=1，X 2=1=0，由联合分布与边缘分布关系可求得(X 1，X 2)的概率分布*所以 PX1=X2=P(X1=-1，X 2=-1)+PX1=0，X 2=0+PX1=1，X 2=1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 令*，因为*，故*10.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，其对价格 P 的弹性 P=0.2，则当

14、需求量为 10000 件时，价格增加 1元会使产品收益增加_元（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：8000）解析：分析 由于需求函数 Q=Q(P)是减函数，因而需求对价格的弹性*为负值，这里题设需求弹性 p=0.2 指的是需求弹性的绝对值现由 Q(P)=10000，当P=1 时求R由 R=QP，求微分得*=Q(1-| p|)dP*RdR=Q(1-| p|)P=10000(1-0.2)=8000(元)即收益增加 8000 元11.使不等式 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0x1）解析：分析 即讨论 x0 时*成立的范围为此考察 F(x)的单调性*(其中 k=0，1，2，3

15、，)这表明 F(x)在(0，+)单调减少，又 F(1)=0，从而F(x)F(1)=0 (x(0，1)；F(x)F(1)=0(x(1，+)因此该不等式成立的范围是 0x112.已知幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 幂级数*在 x=0 处收敛*在 t=2 收敛*它的收敛半径 R2幂级数*在 x=-4 处发散*在 t=-2 发散*它的收敛半径 R2于是 R=2，*的收敛区间是(-2，2)，收敛域是(-2，2由-2t=x-32*1x5*的收敛域是(1，513.已知 1， 2， 3， 4是齐次线性方程组 Ax=0 的

16、一个基础解系，若 1= 1+t 2， 2= 2+t 3， 3= 3+t 4， 4= 4+t 1也是 Ax=0 的基础解系，则 t 的取值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：t1）解析：分析 根据齐次方程组解的性质 1， 2， 3， 4都是 Ax=0 的解，而且也正好是 4 个向量，所以 1， 2， 3， 4是 Ax=0 基础解系的充分必要条件是 1， 2， 3， 4线性无关若 k 1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0即 k 1( 1+t 2)+k2( 2+t 3)+k3( 3+t 4)+k4( 4+t 1)=0即 (k 1+tk4) 1+(k2+tk1) 2+(k3+tk2)

17、 3+(k4+tk3) 4=0因为 1， 2， 3， 4是基础解系，那么 1， 2， 3， 4线性无关，故必有*那么*时，齐次方程组(1)只有零解，即 t1 时， 1， 2， 3， 4线性无关14.设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 直接应用公式 ES2=DX 求解由题设知*所以DX=EX2-(EX)2=2，ES 2=DX=2三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.计算不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(先作变量替换*，代入即得*再用分解法求*代入得*)解析：设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2-z=(x+y+z)所确定的

18、函数，其中 具有二阶导数，且 -1（分数：10.00）(1).求 dz；（分数：5.00）_正确答案：(将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得2xdx+2ydy-dz=(x+y+z)(dx+dy+dz)整理得1+(x+y+z)dz=2x-(x+y+z)dx+2y-(x+y+z)dy解出*)解析：(2).记 ，求 （分数：5.00）_正确答案：(由 dz 表达式中 dx，dy 的系数得到*代入 u(x，y)的表达式*因此*)解析：16.设二元函数计算二重积分 （分数：10.00）_解析：在 xoy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与

19、直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)（分数：10.00）(1).求 L 的方程；（分数：5.00）_正确答案：(设 L 的方程为 y=y(x)，因 L 过点 M(1，0)，故 y(1)=0，L 上点 P(x，y)处切线的斜率 k=y(x)，直线 OP 的斜率*由题设知k-k1=ax 即 * 求 L 的方程 y=y(x)即求解一阶微分方程的初值问题*这是一阶线性非齐次方程，用积分因子法求解，方程两边乘*得*积分得*由初值 y(1)=0 得 C=-a因此曲线 L 的方程为 y=ax(x-1)解析：(2).当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：5.00）_正确答案：(曲

20、线 L 与直线 y=ax 的交点满足*解得两个交点(0，0)，(2，2a)曲线 L 与直线 y=ax 所围成的平面图如图所示，其面积*令*，即*)解析：设函数 f(x)，g(x)在a，b连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：（分数：10.00）(1).存在 (a，b)，使得 f()=g()；（分数：5.00）_正确答案：(F(x)=f(x)-g(x)，要证*(a，b)，F()=0(F(x)在(a，b)*零点)，*(a，b)，F“()=0(F“(x)在(a，b)*零点)F(x)在a，b连续，在(a，b)二阶可导由题设*x 1(a，b)，

21、*，*x 2(a，b)，M=*若 x1=x2，取 =x 1=x2，F()=0若 x1x 2，不妨设 x1x 2，则F(x1)=f(x1)-g(x1)=M-g(x1)0，F(x2)=f(x2)-g(x2)=f(x2)-M0，若 F(x1)=0，取 =x 1，若 F(x2)=0，取 =x 2，F()=0若 F(x1)0，F(x 2)0，由连续函数取中间值定理，*，F()=0这就证明了：*(a，b)，F()=0，即 f()=g()解析：(2).存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：5.00）_正确答案：(由题设，F(a)=f(a)-g(a)=0，F(b)=f(b)-g(b)=0 及题()

22、结论，F()=0(a，b)，对F(x)分别在a，b上用罗尔定理* 1(a，)，* 2(，b)，使得 F( 1)=0，F( 2)=0再对 F(x)在 1， 2上用罗尔定理*，F“()=0，即 f()=g“()解析：设 （分数：10.00）(1).求满足 A 2= 1，A 2 3= 1的所有向量 2， 3；（分数：5.00）_正确答案：(对手方程组 Ax= 1，由增广矩阵(A| 1)作初等行变换，有*令 x2=t 得 x3=1-2t，x 1=-t所以 2=(-t，t，1-2t) T，t 为任意常数又*，对于方程组 A2x= 1，由增广矩阵(A 2| 1)作初等行变换，有*令 x 2=u，x 3=v

23、，得 *所以 *，u，v 为任意常数)解析：(2).中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3线性无关（分数：5.00）_正确答案：(知*所以 1， 2， 3线性无关(2)中关于 1， 2， 3线性无关的证明也可用定义法由题设可知 A 1=0如果k1 1+k2 2+k3 3=0 (1)用 A 左乘(1)式两端，并把 A 1=0 代入，有k2A 2+k3A 3=0即 k 2 1+k3A 3-0 (2)用 A 左乘(2)式两端，有k3A2 3=0即 k 3 1=0由于 10，故 k3=0代入(2)可得 k2=0把 k2=0，k 3=0 代入(1)式，可得 k1=0从而 1， 2， 3线性无关)解

24、析：已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_正确答案：(由于二次型 f 的秩为 2，即二次型矩阵*的秩为 2，所以*，得 a=0)解析：(2).求正交变换 x=Qy 把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；（分数：3.67）_正确答案：(当 a=0 时，*得到矩阵 A 的特征值是 1= 2=2， 3=0对于 =2，由(2E-A)x=0*得特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T对 =0 由(0E-A)X=0*得特征向量 3=(1，-1，0) T由于 1， 2， 3已两两正交，单位化有*令 Q=( 1， 2， 3)则 Q 是正交矩阵那么经正交

25、变换 x=Qy，有 f(x1，x 2，x 3)=*)解析：(3).求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解（分数：3.67）_正确答案：(方程*即*所以方程的通解是 k(1，-1，0) T，k 为任意常数)解析：17.设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x，y)|1x3，1y3 上的均匀分布，试求 U=|X-Y|的概率密度 f(u)（分数：10.00）_解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）(1).求 PX2Y（分数：5.50）_正确答案：(直接应用公式*计算*)解析：(2).求 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)（分数：5.50）_正确答案：(求 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)我们常用的方法有两种：分布函数法(定义法)与公式法方法一 分布函数法(定义法)先求 Z 的分布函数 FZ(z)再求 Z 的概率密度 fZ(z)由于 Z=X+Y 的分布函数FZ(z)=P(X+Yz)*由图形即知当 z0 时，F Z(z)=0当 z2 时，F Z(z)=1当 0z1 时，*当 1z2 时，*综上得*方法二 公式法：已知(X，Y)f(x，y)则有 Z=X+Y 的概率密度*本题*故有*所以当 z0 或 z2 时，f Z(z)=0当 0z1 时，*当 1z2 时，*，综上得*)解析：