2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学文.docx
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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学文 一、选择题 (共 10 小题,每小题 5 分,共 50分 ) 1.设命题 p: x R, x2+1 0,则 p 为 ( ) A. x0 R, x02+1 0 B. x0 R, x02+10 C. x0 R, x02+1 0 D. x R, x2+10 解析: 命题 p: x R, x2+1 0,是一个特称命题 . p: x0 R, x02+10 . 答案: B. 2.已知集合 A=x|x 2, B=x|1 x 3,则 AB= ( ) A. x|x 2 B. x|x 1 C. x|2 x 3 D. x|1 x 3 解析: A=x|x 2,
2、 B=x|1 x 3, AB=x|x 2x|1 x 3=x|2 x 3. 答案: C. 3.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1, P2, P3,则 ( ) A. P1=P2 P3 B. P2=P3 P1 C. P1=P3 P2 D. P1=P2=P3 解析: 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个数被抽中的概率都是相等的,即 P1=P2=P3, 答案: D 4.下列函数中,既是偶函数又在区间 (- , 0)上单调递增的是 ( ) A. f(x)= B.
3、 f(x)=x2+1 C. f(x)=x3 D. f(x)=2-x 解析: 只有函数 f(x)= , f(x)=x2+1 是偶函数,而函数 f(x)=x3是奇函数, f(x)=2-x不具有奇偶性 .而函数 f(x)= , f(x)=x2+1 中,只有函数 f(x)= 在区间 (- , 0)上单调递增的 .综上可知:只有 A 正确 . 答案: A. 5.在区间 -2, 3上随机选取一个数 X,则 X1 的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析: 在区间 -2, 3上随机选取一个数 X,则 -2X3 ,则 X1 的概率 P= , 答案: B. 6.若圆 C1: x2+y2=1 与圆 C2:
4、x2+y2-6x-8y+m=0外切,则 m=( ) A. 21 B. 19 C. 9 D. -11 解析: 由 C1: x2+y2=1,得圆心 C1(0, 0),半径为 1, 由圆 C2: x2+y2-6x-8y+m=0,得 (x-3)2+(y-4)2=25-m, 圆心 C2(3, 4),半径为 . 圆 C1与圆 C2外切, ,解得: m=9. 答案: C. 7.执行如图所示的程序框图,如果输入的 t -2, 2,则输出的 S 属于 ( ) A. -6, -2 B. -5, -1 C. -4, 5 D. -3, 6 解析: 若 0t2 ,则不满足条件输出 S=t-3 -3, -1, 若 -2t
5、 2,则满足条件,此时 t=2t2+1 (1, 9,此时不满足条件,输出 S=t-3 (-2, 6, 综上: S=t-3 -3, 6, 答案: D 8.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析: 由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r,则 8-r+6-r= , r=2 . 答案: B. 9.若 0 x1 x2 1,则 ( ) A. - lnx2-lnx1 B. - lnx2-lnx1 C. x2 x1 D. x2 x1 解析: 令 f(x)=ex+l
6、nx, , 当 0 x 1 时, f (x) 0, f (x)在 (0, 1)上为增函数, 0 x1 x2 1, ,即 . 由此可知选项 A, B 不正确 . 令 g(x)= , , 当 0 x 1 时, g (x) 0.g (x)在 (0, 1)上为减函数, 0 x1 x2 1, ,即 . 选项 C 正确而 D 不正确 . 答案: C. 10.在平面直角坐标系中, O 为原点, A(-1, 0), B(0, ), C(3, 0),动点 D 满足 | |=1,则 | + + |的取值范围是 ( ) A. 4, 6 B. -1, +1 C. 2 , 2 D. -1, +1 解析: 动点 D 满足
7、 | |=1, C(3, 0), 可设 D(3+cos , sin )( 0, ). 又 A(-1, 0), B(0, ), + + = . | + + |= = =, (其中 sin= , cos= ) -1sin (+ )1 , = sin(+ ) = , | + + |的取值范围是 . 答案: D. 二、填空题 (共 5 小题,每小题 5 分,共 25分 ) 11.复数 (i 为虚数单位 )的实部等于 . 解析: = . 复数 (i 为虚数单位 )的实部等于 -3. 答案: -3. 12.在平面直角坐标系中,曲线 C: (t 为参数 )的普通方程为 . 解析: 曲线 C: (t 为参数
8、), 两式相减可得 x-y-1=0. 答案: x-y-1=0. 13.若变量 x, y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值为 . 解析: 作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y,得 y=-2x+z,平移直线 y=-2x+z,由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 C, 直线 y=-2x+z 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,即 C(3, 1),此时 z=23+1=7 , 答案: 7. 14.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1, 0)的距离和到直线 x=-1 的距离相等,若机器人接触不到过点 P(-1, 0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 .
9、解析: 由抛物线的定义可知,机器人的轨迹方程为 y2=4x, 过点 P(-1, 0)且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x+1), 代入 y2=4x,可得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 机器人接触不到过点 P(-1, 0)且斜率为 k 的直线, = (2k2-4)2-4k4 0, k -1 或 k 1. 答案: k -1 或 k 1. 15.若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数,则 a= . 解析: 若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数,则 f(-x)=f(x),即 ln(e3x+1)+ax=ln(e-3x+1)-ax, 即 2ax=ln(e-3x+1)-ln
10、(e3x+1)=ln =lne-3x=-3x,即 2a=-3,解得 a=- , 答案: - 三、解答题 (共 6 小题, 75分 ) 16.(12 分 )已知数列 an的前 n 项和 Sn= , n N*. ( )求数列 an的通项公式; ( )设 bn= +(-1)nan,求数列 bn的前 2n 项和 . 解析: ( )利用公式法即可求得; ( )利用数列分组求和即可得出结论 . 答案 : ( )当 n=1 时, a1=s1=1, 当 n2 时, an=sn-sn-1= - =2n, 数列 an的通项公式是 an=n. ( )由 ( )知, bn=2n+(-1)nn,记数列 bn的前 2n
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