1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学文 一、选择题 (共 10 小题，每小题 5 分，共 50分 ) 1.设命题 p： x R， x2+1 0，则 p 为 ( ) A. x0 R， x02+1 0 B. x0 R， x02+10 C. x0 R， x02+1 0 D. x R， x2+10 解析： 命题 p： x R， x2+1 0，是一个特称命题 . p： x0 R， x02+10 . 答案： B. 2.已知集合 A=x|x 2， B=x|1 x 3，则 AB= ( ) A. x|x 2 B. x|x 1 C. x|2 x 3 D. x|1 x 3 解析： A=x|x 2，
2、 B=x|1 x 3， AB=x|x 2x|1 x 3=x|2 x 3. 答案： C. 3.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1， P2， P3，则 ( ) A. P1=P2 P3 B. P2=P3 P1 C. P1=P3 P2 D. P1=P2=P3 解析： 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个数被抽中的概率都是相等的，即 P1=P2=P3， 答案： D 4.下列函数中，既是偶函数又在区间 (- ， 0)上单调递增的是 ( ) A. f(x)= B.
3、 f(x)=x2+1 C. f(x)=x3 D. f(x)=2-x 解析： 只有函数 f(x)= ， f(x)=x2+1 是偶函数，而函数 f(x)=x3是奇函数， f(x)=2-x不具有奇偶性 .而函数 f(x)= ， f(x)=x2+1 中，只有函数 f(x)= 在区间 (- ， 0)上单调递增的 .综上可知：只有 A 正确 . 答案： A. 5.在区间 -2， 3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析： 在区间 -2， 3上随机选取一个数 X，则 -2X3 ，则 X1 的概率 P= ， 答案： B. 6.若圆 C1： x2+y2=1 与圆 C2：
4、x2+y2-6x-8y+m=0外切，则 m=( ) A. 21 B. 19 C. 9 D. -11 解析： 由 C1： x2+y2=1，得圆心 C1(0， 0)，半径为 1， 由圆 C2： x2+y2-6x-8y+m=0，得 (x-3)2+(y-4)2=25-m， 圆心 C2(3， 4)，半径为 . 圆 C1与圆 C2外切， ，解得： m=9. 答案： C. 7.执行如图所示的程序框图，如果输入的 t -2， 2，则输出的 S 属于 ( ) A. -6， -2 B. -5， -1 C. -4， 5 D. -3， 6 解析： 若 0t2 ，则不满足条件输出 S=t-3 -3， -1， 若 -2t
5、 2，则满足条件，此时 t=2t2+1 (1， 9，此时不满足条件，输出 S=t-3 (-2， 6， 综上： S=t-3 -3， 6， 答案： D 8.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r，则 8-r+6-r= ， r=2 . 答案： B. 9.若 0 x1 x2 1，则 ( ) A. - lnx2-lnx1 B. - lnx2-lnx1 C. x2 x1 D. x2 x1 解析： 令 f(x)=ex+l
6、nx， ， 当 0 x 1 时， f (x) 0， f (x)在 (0， 1)上为增函数， 0 x1 x2 1， ，即 . 由此可知选项 A， B 不正确 . 令 g(x)= ， ， 当 0 x 1 时， g (x) 0.g (x)在 (0， 1)上为减函数， 0 x1 x2 1， ，即 . 选项 C 正确而 D 不正确 . 答案： C. 10.在平面直角坐标系中， O 为原点， A(-1， 0)， B(0， )， C(3， 0)，动点 D 满足 | |=1，则 | + + |的取值范围是 ( ) A. 4， 6 B. -1， +1 C. 2 ， 2 D. -1， +1 解析： 动点 D 满足
7、 | |=1， C(3， 0)， 可设 D(3+cos ， sin )( 0， ). 又 A(-1， 0)， B(0， )， + + = . | + + |= = =， (其中 sin= ， cos= ) -1sin (+ )1 ， = sin(+ ) = ， | + + |的取值范围是 . 答案： D. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 5 分，共 25分 ) 11.复数 (i 为虚数单位 )的实部等于 . 解析： = . 复数 (i 为虚数单位 )的实部等于 -3. 答案： -3. 12.在平面直角坐标系中，曲线 C： (t 为参数 )的普通方程为 . 解析： 曲线 C： (t 为参数
8、)， 两式相减可得 x-y-1=0. 答案： x-y-1=0. 13.若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为 . 解析： 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y，得 y=-2x+z，平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 C， 直线 y=-2x+z 的截距最大，此时 z 最大， 由 ，解得 ，即 C(3， 1)，此时 z=23+1=7 ， 答案： 7. 14.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1， 0)的距离和到直线 x=-1 的距离相等，若机器人接触不到过点 P(-1， 0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 .
9、解析： 由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为 y2=4x， 过点 P(-1， 0)且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x+1)， 代入 y2=4x，可得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0， 机器人接触不到过点 P(-1， 0)且斜率为 k 的直线， = (2k2-4)2-4k4 0， k -1 或 k 1. 答案： k -1 或 k 1. 15.若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数，则 a= . 解析： 若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数，则 f(-x)=f(x)，即 ln(e3x+1)+ax=ln(e-3x+1)-ax， 即 2ax=ln(e-3x+1)-ln
10、(e3x+1)=ln =lne-3x=-3x，即 2a=-3，解得 a=- ， 答案： - 三、解答题 (共 6 小题， 75分 ) 16.(12 分 )已知数列 an的前 n 项和 Sn= ， n N*. ( )求数列 an的通项公式； ( )设 bn= +(-1)nan，求数列 bn的前 2n 项和 . 解析： ( )利用公式法即可求得； ( )利用数列分组求和即可得出结论 . 答案 ： ( )当 n=1 时， a1=s1=1， 当 n2 时， an=sn-sn-1= - =2n， 数列 an的通项公式是 an=n. ( )由 ( )知， bn=2n+(-1)nn，记数列 bn的前 2n
11、项和为 T2n，则 T2n=(21+22+2 2n)+(-1+2-3+4-+2n )= +n=22n+1+n-2. 数列 bn的前 2n 项和为 22n+1+n-2. 17.(12 分 )某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (a， b)， (a， )， (a， b)， ( ， b)， ( ， )， (a， b)， (a， b)， (a， )， ( ， b)， (a， )， ( ， )， (a， b)， (a， )， ( ， b)(a， b) 其中 a， 分别表示甲组研发成功和失败， b， 分别表示乙组研发成功和失败 . ( )若某
12、组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； ( )若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率 . 解析： ( )分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可 . ( )找 15 个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是 7 个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决 . 答案 ： ( )甲组研发新产品的成绩为 1， 1， 1， 0， 0， 1， 1， 1， 0， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 则 = ， = = 乙组研发新产品的成绩为 1，
13、 0， 1， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 0， 0， 1， 0， 1， 1 则 = ， = = . 因为 所以甲的研发水平高于乙的研发水平 . ( )记 E=恰有一组研发成功 ，在所抽到的 15 个结果中， 恰有一组研发成功的结果是 (a， )， ( ， b)， (a， )， ( ， b)， (a， )， (a， )， ( ，b)共 7 个，故事件 E 发生的频率为 ， 将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为 P(E)= . 18.(12 分 )如图，已知二面角 -MN- 的大小为 60 ，菱形 ABCD 在面 内， A、 B 两点在棱 MN 上， BAD=60 ， E 是 AB
14、的中点， DO 面 ，垂直为 O. ( )证明： AB 平面 ODE； ( )求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值 . 解析： ( )运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线； ( )根据异面直线的定义，找出所成的角为 ADO ，说明 DEO 是二面角 -MN- 的平面角，不妨设 AB=2，从而求出 OD 的长，再在直角三角形 AOD 中，求出 cosADO . 答案： (1)如图 ， DO 面 ， AB ， DOAB ， 连接 BD，由题设知， ABD 是正三角形， 又 E 是 AB 的中点， DEAB ，又 DODE=D ， AB 平面 ODE； ( )BCAD
15、 ， BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即 ADO 是 BC与 OD 所成的角， 由 ( )知， AB 平面 ODE， ABOE ，又 DEAB ，于是 DEO 是二面角 -MN- 的平面角， 从而 DEO=60 ，不妨设 AB=2，则 AD=2，易知 DE= ， 在 RtDOE 中， DO=DEsin60= ，连 AO，在 RtAOD 中， cosADO= = ， 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 . 19.(13 分 )如图，在平行四边形 ABCD 中， DAAB ， DE=1， EC= ， EA=2， ADC= ， BEC=. ( )求 sinCED 的
16、值； ( )求 BE 的长 . 解析： ( )根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论 . ( )利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论 . 答案 ： ( )在 CDE 中，由余弦定理得 EC2=CD2+ED2-2CD DEcosCDE ， 即 7=CD2+1+CD，则 CD2+CD-6=0，解得 CD=2 或 CD=-3， (舍去 )， 在 CDE 中，由正弦定理得 ， 则 sin= ， 即 sinCED= . ( )由题设知 0 ，由 ( )知 cos= ， 而 AEB= ， cosAEB=cos ( )=cos cos+sin sin= ， 在 ABD 中，由
17、正弦定理得 BD= = ， 在 RtEAB 中， cosAEB= ，故 BE= . 20.(13 分 )如图， O 为坐标原点，双曲线 C1： - =1(a1 0， b1 0)和椭圆 C2： + =1(a2 b2 0)均过点 P( ， 1)，且以 C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2 的正方形 . ( )求 C1、 C2的方程； ( )是否存在直线 l，使得 l与 C1交于 A、 B 两点，与 C2只有一个公共点，且 | + |=|？证明你的结论 . 解析： ( )由条件可得 a1=1， c2=1，根据点 P( ， 1)在上求得 =3，可得双曲线 C1的方程 .再由椭圆的定
18、义求得 a2= ，可得 = - 的值，从而求得椭圆 C2的方程 . ( )若直线 l 垂直于 x 轴，检验部不满足 | + | |.若直线 l 不垂直于 x轴，设直线 l 得方程为 y=kx+m，由 可得 y1y2= .由 可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0，根据直线 l 和 C1仅有一个交点，根据判别式 =0 ，求得 2k2=m2-3，可得 0 ，可得 | + | |.综合 (1)、 (2)可得结论 . 答案： ( )设椭圆 C2的焦距为 2c2，由题意可得 2a1=2， a 1=1， c2=1. 由于点 P( ， 1)在上， - =1， =3， 双曲线 C1的方程为： x2
19、- =1. 再由椭圆的定义可得 2a2= +=2 ， a 2= ， = - =2， 椭圆 C2的方程为： + =1. ( )不存在满足条件的直线 l. (1)若直线 l 垂直于 x 轴，则由题意可得直线 l 得方程为 x= ，或 x=- . 当 x= 时，可得 A( ， )、 B( ， - )，求得 | |=2 ， | |=2 ， 显然， | + | |. 同理，当 x=- 时，也有 | + | |. (2)若直线 l 不垂直于 x 轴，设直线 l 得方程为 y=kx+m，由 可得 (3-k2)x2-2mkx-m2-3=0， x 1+x2= ， x1x2= . 于是， y1y2=k2x1x2+
20、km(x1+x2)+m2= . 由 可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0，根据直线 l 和 C1仅有一个交点， 判别式 =16k 2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0， 2k 2=m2-3. =x1x2+y1y2= 0 ， ， | + | |. 综合 (1)、 (2)可得，不存在满足条件的直线 l. 21.(13 分 )已知函数 f(x)=xcosx-sinx+1(x 0). ( )求 f(x)的单调区间； ( )记 xi为 f(x)的从小到大的第 i(i N*)个零点，证明：对一切 n N*，有 + + . 解析： ( )求函数的导数，利用导数研究 f(x)的单调区间； (
21、 )利用数学归纳法，证明不等式即可 . 答案 ： ( )f (x)=xcosx-sinx+1(x 0)， f (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx， 由 f (x)=-xsinx=0，解得 x=k ， 当 x (2k ， (2k+1) )， sinx 0，此时 f (x) 0，函数单调递减， 当 x (2k+1) ， (2k+2) )， sinx 0，此时 f (x) 0，函数单调递增， 故 f(x)的单调增区间为 (2k+1) ， (2k+2) )， 单调递减区间为 (2k ， (2k+1) ) ( )由 ( )知， f(x)在区间 (0， )上单调递减， 又 f( )=0，故 x1= ， 当 n N*， f (n )f(n+1) )=(-1)nn+1 (-1)n+1(n+1)+1 0， 且函数 f(x)的图象是连续不间断的， f (x)在区间 (n ， (n+1) )内至少存在一个零点， 又 f(x)在区间 (n ， (n+1) )单调递增，因此当 n=1 时，有 = 成立 . 当 n=2 时，有 + . + + (6- ) . 综上证明：对一切 n N*，有 + + .
