【考研类试卷】考研数学三-259及答案解析.doc

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1、考研数学三-259 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，在 x 0 处可导，且 f(x 0 )= （分数：4.00）A.函数 f(x)-x2 在(x0，x0+)内单调增加B.函数 f(x)-x2 在(x0-，x0)内单调减小C.对任意的 x(x0，x0+)有 f(x)x2D.对任意的 x(x0-，x0)有 f(x)x22.假设区域 D 由曲线 y=px 3 (x0，p0)及其过点(1，p)的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为 ，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.方程 e -

2、x -x 2 +2x-1=0_（分数：4.00）A.恰有一个根B.恰有两个根C.恰有三个根D.多于三个根4.设 f(x)定义在(-，+)上，在点 x=0 处连续，且满足条件 f(x)=f(sin x)，则 f(x)在(-，+)上_（分数：4.00）A.不一定是连续函数B.不恒为常数且连续C.不恒为常数且可导D.无穷阶可导5.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）A.a-1B.a1C.a1 或 a-1D.a=16.A 是二阶矩阵，有特征值 1 =1， 2 =-1，B=A 3 +A 2 -A+E，则 B=KE，其中 K=_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.47.设

3、 P(A)0，P(B)0，且 A 与 B 二事件互斥，下列关系式正确的是_ AP(B)=P(B|A) B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.连续随机变量 X 服从参数 =1 的指数分布，离散随机变量 Y 的取值为 y 1 =-1，y 2 =0，y 3 =1，其分布为 PY=y i = ，i=1，2，3若 Z=maxX，Y，则 PZ=1=_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 y=xe y =1-ex 确定，则 （分数：4.00）10.设 z=z(x，y)由方程 xf(z)+yg(z)=xy 所确定，且

4、 xf“(z)+yg“(z)0，则x-g(z) -y-f(z) （分数：4.00）11.设区域 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且 f(0)-A0，F(t)= (x 2 +y 2 )dxdy,若当 n+， 是比 （分数：4.00）12.以 y=e 2x (C 1 cos x+C 2 sin x)+5(C 1 ，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程的形式为 1 （分数：4.00）13.设 A，B 是三阶相似矩阵，其中 A=，A=， 为线性无关的三维列向量，B 不可逆，则|A+4B+2AB+2E|= 1 （分数：

5、4.00）14.设总体 X 二阶矩存在，X 1 ，X 2 ，X n 是其简单样本，样本均值和方差分别为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)= （分数：11.00）_16.计算二重积分 I= ，区域 D 由曲线 （分数：11.00）_设 f(x)= （分数：11.00）(1).(x)的定义域；（分数：5.50）_(2).“(x)的值（分数：5.50）_17.设 f(x)= (1-x) 2k 证明：当 x0，1时，f(x) （分数：11.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在 (a，b)，使得 f“()0证明：（分数：10

6、.00）(1).若 f“()=0，则存在 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=f(x 2 )；（分数：5.00）_(2).若 f“()0，则存在 1 2 ，其中 1 ， 2 (a，b)，使得 （分数：5.00）_设 ，X 是 42 矩阵， （分数：10.00）(1).求 AX=0 的基础解系和通解；（分数：5.00）_(2).已知 AX=C，求 X；若 X= （分数：5.00）_设 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 是正定二次型证明：（分数：9.99）(1).f(x 1 ，x 2 ，x n )的平方项系数大于零；（分数：3.33）_(2).|

7、A|0（分数：3.33）_(3).举例说明上述两个条件均不是 f(x 1 ，x 2 ，x n )正定的充分条件（分数：3.33）_18.有两个独立的同类设备，它们的寿命 X 和 Y 都服从参数为 0 的指数分布今用这两个设备分别组成串联、并联及备用(即当一个运行的设备不能工作时系统立即自动启动另一备用设备)三个系统试求各种系统的寿命分布 （分数：10.00）_设总体 X 的分布函数为 F(x；，)= （分数：10.00）(1).求 和 的最大似然估计量 和 （分数：5.00）_(2).若 已知，上述 （分数：5.00）_考研数学三-259 答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一

8、、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，在 x 0 处可导，且 f(x 0 )= （分数：4.00）A.函数 f(x)-x2 在(x0，x0+)内单调增加B.函数 f(x)-x2 在(x0-，x0)内单调减小C.对任意的 x(x0，x0+)有 f(x)x2 D.对任意的 x(x0-，x0)有 f(x)x2解析：解析 令 g(x)=f(x)-x 2 ，由已知得 g(x 0 )=0，g“(x 0 )0， 由极限的保号性，知存在 0，对 2.假设区域 D 由曲线 y=px 3 (x0，p0)及其过点(1，p)的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为 ，则 的值为_ A B C

9、 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 y“| x=1 =3px 2 | x=1 =3p，切线为 y=p+3p(x-1) 切线与 x 轴交点为 ，切线与 y 轴交点为(0，-2p)；切线与曲线交点为(1，P)，如下图因为 由形心坐标公式得 3.方程 e -x -x 2 +2x-1=0_（分数：4.00）A.恰有一个根B.恰有两个根C.恰有三个根 D.多于三个根解析：解析 令 y(x)=e -x -x 2 +2x-1 因为 =-e -x 0，因此最多有三个根由于 y(0)=1-1=0，所以 x=0 是其中一个根 由于 y“(x)=-e -x -2x+2，y“(0)=-1+2=10，

10、且 y(0)=0，所以存在 0，使得 y(-)0，y()0 由于 =+，所以 y(x)在区间(-，-)内至少有一个根 由于 4.设 f(x)定义在(-，+)上，在点 x=0 处连续，且满足条件 f(x)=f(sin x)，则 f(x)在(-，+)上_（分数：4.00）A.不一定是连续函数B.不恒为常数且连续C.不恒为常数且可导D.无穷阶可导 解析：解析 记 u 1 =sin u 0 ，u k+1 =sin u k ，k=1，2， 对 (-，+)，k=1，2，有 f(u 0 )=f(sin u 0 )=f(u 1 )=f(sin u 1 )=f(sin u 2 )=f(sin u k )=f(u

11、 k+1 )， 即对 (-，+)，n=1，2，都有 f(u 0 )=f(u n )成立 由于数列 u k ，k=1，2，单调递减且有极限 =0又 f(x)在点 x=0 处连续，所以对 (-，+)，f(u 0 )= 5.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）A.a-1B.a1C.a1 或 a-1 D.a=1解析：解析 用配方法化标准形 6.A 是二阶矩阵，有特征值 1 =1， 2 =-1，B=A 3 +A 2 -A+E，则 B=KE，其中 K=_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 A 22 有两个不同的特征值，故 A ，即有可逆矩阵 P，使 故 7

12、.设 P(A)0，P(B)0，且 A 与 B 二事件互斥，下列关系式正确的是_ AP(B)=P(B|A) B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 选项 A：由 P(B)=P(B|A)得 因为 A 与 B 事件互斥，故 P(AB)=0，又 P(AB)=0，又 P(A)0，P(B)0，故上式不成立，选项 A 错误； 选项 B：由上面分析知 A 与 B 不独立，故 A， 也不独立，即 ，选项 B 错误； 选项 C：由 8.连续随机变量 X 服从参数 =1 的指数分布，离散随机变量 Y 的取值为 y 1 =-1，y 2 =0，y 3 =1，其分布为 PY=y i = ，i=1，2，3若

13、 Z=maxX，Y，则 PZ=1=_ A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 思路一：先求 Z=maxX，Y的分布函数 由题设知 f X (x)= ，设 Z=maxX，Y的分布函数为 F Z (z)，则 由于 Pmax(X，-1)z=Pmax(X，0)z=F X (z)= 所以 PZ=1=F Z (1)-F Z (1 - )=(1-e -1 )- (1-e -1 )= (1-e -1 ) 思路二：直接求 PZ=1=PZ1-PZ1 PZ1=PZ1，Y=-1，0+PZ1，Y=1= Pmax(X，Y)1|Y=-1，0+ Pmax(X，Y)1|Y=1= PX1+ PX1=PX1=1

14、-e -1 ， PZ1= Pmax(X，Y)1|Y=-1，0+ Pmax(X，Y)1|Y=1= PX1+ Pmax(X，1)1 所以 PZ=1=PZ1-PZ1=(1-e -1 )- (1-e -1 )= 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 y=xe y =1-ex 确定，则 （分数：4.00）解析：0 解析 将方程 y-xe y =1-ex 两边对 x 求导，得 y“-e y -xy“e y =-e 则 当 x=0 时，y(0)=1， ，则 10.设 z=z(x，y)由方程 xf(z)+yg(z)=xy 所确定，且 xf“(z)+yg“(z)0，则x-g

15、(z) -y-f(z) （分数：4.00）解析：0 解析 设 F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy，则 故 11.设区域 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且 f(0)-A0，F(t)= (x 2 +y 2 )dxdy,若当 n+， 是比 （分数：4.00）解析：1 解析 因为 F(t)= ，函数 f( 2 )在 0 的某邻域内连续，所以根据变限定积分函数的性质，可知 F(t)在 t=0 的某邻域内可导，得 F“(t)=2tf(t 2 )， 所以 因为 12.以 y=e 2x (C 1 cos x+C 2 sin

16、x)+5(C 1 ，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程的形式为 1 （分数：4.00）解析：y“-4y“+5y=25 解析 该方程是二阶线性常系数非齐次微分方程 y“+py“+qy=f(x) 对应齐次方程的两个特征根为 2i，所以其方程为 y“-4y“+5y=0 非齐次方程的特解为 Y=5代入方程，得非齐次项 f(x)=25 因此所求方程为 y“-4y“+5y=2513.设 A，B 是三阶相似矩阵，其中 A=，A=， 为线性无关的三维列向量，B 不可逆，则|A+4B+2AB+2E|= 1 （分数：4.00）解析：-18 解析 由 A=，A=，得 A(+)=+=+，A(-)=-=

17、-(-)， 故 A 有特征值 1 =1， 2 =-1；B 不可逆，则 B 有特征值 3 =0 A 和 B 相似，故 A，B 有相同的特征值 1，-1，0，则 |A+4B+2AB+2E|=|A(E+2B)+2(E+2B)|=|(A+2E)(E+2B)|， A+2E 有特征值 3，1，2，故|A+2E|=6 E+2B 有特征值 3，-1，1，故|E+2B|=-3，则 |A+4B+2AB+2E|=|(A+2E)(E+2B)|=-1814.设总体 X 二阶矩存在，X 1 ，X 2 ，X n 是其简单样本，样本均值和方差分别为 （分数：4.00）解析： 解析 E(X)= ，期望为零，与 无关，因此考虑方

18、差 由矩估计方程 D(X)=S 2 ，得 ，解得 的矩估计量为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)= （分数：11.00）_正确答案：()解析：显然有 f(0)=0 当 x0 时， 综上，得 f(x)=xsin x，x(-，+)，则 16.计算二重积分 I= ，区域 D 由曲线 （分数：11.00）_正确答案：()解析：区域 D 的图形如下图所示，单位圆 x 2 +y 2 =1 将区域 D 分成两部分，单位圆 x 2 +y 2 =1 内的部分记作 D 1 ，单位圆外的部分记作 D 2 则 其中 故 设 f(x)= （分数：11.00）(1).(x)的定义域；（分数

19、：5.50）_正确答案：()解析：先求 f(x)的定义域，即级数 (2).“(x)的值（分数：5.50）_正确答案：()解析：思路一： 因为 ，则 所以 思路二： 17.设 f(x)= (1-x) 2k 证明：当 x0，1时，f(x) （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(0)=f(1)=0，f(x)在0，1上可导，所以在0，1上存在最大值和最小值又 当 f“(x)=0 时，得(0，1)内的唯一驻点 且当 x(0,x 0 )时，f“(x)0；当 x(x 0 ，1)时，f“(x)0所以 是极大值点，也是0，1上的最大值点最大值为 综上可证，当 x0，1时，f(x) 设 f(x

20、)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在 (a，b)，使得 f“()0证明：（分数：10.00）(1).若 f“()=0，则存在 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=f(x 2 )；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“()0，f“()=0，故 是 f 的极小值点 f 在a，上有最大值 f(t 1 )同样 f 在，b上也存在最大值 f(t 2 ) 不妨设 f(t 1 )f(t 2 )，由连续函数的介值定理可得，存在 x 0 ，b，使得 f(x 0 )=f(t 1 ) 即有 x 1 =t 1 ，x 2 =x 0 使得 f(x 1 )=

21、f(x 2 )(2).若 f“()0，则存在 1 2 ，其中 1 ， 2 (a，b)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由 f“()0，令 g(x)=f(x)-f“()x，则 g“()=f“()-f“()=0 于是 g(x)符合()的条件，即存在 1 ， 2 (a，b)满足 1 2 ，使得 g( 1 )=g( 2 )，即 将 g(x)=f(x)-f“()x 代入上式后得到 即 设 ，X 是 42 矩阵， （分数：10.00）(1).求 AX=0 的基础解系和通解；（分数：5.00）_正确答案：()解析：为求下一小题方便，对A C作初等行变换，得 (2).已知 AX=C，求 X

22、；若 X= （分数：5.00）_正确答案：()解析：将 X 和 C 分块，AX=C A(X 1 ，X 2 )=(C 1 ，C 2 ) AX 1 =C 1 特解为 1 =(1，0，1，0) T ，通解为 k 1 (-3，3，-1，2) T +(1，0，1，0) T AX 2 =C 2 特解为 2 =(5，-4，2，0) T ，通解为 k 2 (-3，3，-1，2) T +(5，-4，2，0) T 得 若 X 31 =X 32 =0 时，得 k 1 =1，k 2 =2故 X= 设 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 是正定二次型证明：（分数：9.99）(1).f(x 1 ，x 2 ，

23、x n )的平方项系数大于零；（分数：3.33）_正确答案：()解析：证明 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 正定，对任意的 X0，均有 X T AX0，取 X= 1 =(1，0，0) T ，则 同理，取 X= i =(0，0，1，0，0) T ，则 (2).|A|0（分数：3.33）_正确答案：()解析：证明 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 正定 (3).举例说明上述两个条件均不是 f(x 1 ，x 2 ，x n )正定的充分条件（分数：3.33）_正确答案：()解析：当 a ii 0，i=1，2，n，f 可以不正定如 ，a 11 =a 22 0，但 f(1

24、，-1)=0，f 非正定 当|A|0，f 可以不正定如 ，|A|=10，但 18.有两个独立的同类设备，它们的寿命 X 和 Y 都服从参数为 0 的指数分布今用这两个设备分别组成串联、并联及备用(即当一个运行的设备不能工作时系统立即自动启动另一备用设备)三个系统试求各种系统的寿命分布 （分数：10.00）_正确答案：()解析：两个设备的寿命 X，Y 都服从参数为 0 的指数分布，即 设系统寿命为 U，则 串联系统 U=minX，Y F(u)=Pmin(X，Y)u=1-Pmin(X，Y)u=1-PXu，Yu=1-P(Xu) 2 =1-1-P(Xu) 2 =1-1-F u (u) 2 =1-e -

25、2u ，u0 故 f u (u)=F“(u)=2e -2u ，u0 并联系统 U=maxX，Y F(u)=Pmax(X，Y)u=P(Xu，Yu)=P(Xu) 2 =F u (u) 2 =(1-e -u ) 2 ，u0， 故 f u (u)=F“(u)=2e -u (1-e -u )，u0 备用系统 U=X+Y 设总体 X 的分布函数为 F(x；，)= （分数：10.00）(1).求 和 的最大似然估计量 和 （分数：5.00）_正确答案：()解析：X 的概率密度函数为 f(x)= 记 x=(x 1 ，x 2 ，x n )，则似然函数为 因为 ，所以对每个固定的 0，ln L(x，)是 (0)的增函数，因此，当 =x (1) =minx 1 ，x 2 ，x n 时，函数 ln L(x，)为最大，则 的最大似然估计量为 =X (1) =minX 1 ，X 2 ，X n 又由 ln L(x；， )=0，即 ，解得 的最大似然估计量为 (2).若 已知，上述 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由最小值的密度公式 则 f X(1) (y)=n1-F X (y) n-1 f X (y)=n( y - ) n-1 y -(-1) =n n y -n-1 ，(y) 注意 0，上述 =X (1) 不是 的无偏估计量，而