【考研类试卷】考研数学三-230及答案解析.doc

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1、考研数学三-230 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小？_Ax 2 B1-cosx C （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf(x)+3xf(x) 2=1-e-x，若 f(x 0)=0(x00)，则_ A.f(x0)是 f(x)的极大值 B.f(x0)是 f(x)的极小值 C.(x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(x0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数

2、：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)处处可导，则_ A当 时，必有 B当 时，必有 C当时，必有 D当 时，必有 （分数：4.00）A.B.C.D.4.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.6.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则_ A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解 C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解 D.rn 时，方程组有无穷多个解（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们

3、的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则_ A.f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度 B.F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数 C.F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数 D.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度（分数：4.00）A.B.C.D.8.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于_ A-1 B0 C （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.求不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_1

4、0.设 D 是由 y=x3，y=1，x=-1 所围成的区域，f(u)为连续函数，计算 （分数：4.00）填空项 1:_11._ （分数：4.00）填空项 1:_12.求 y+4y=cos2x 的特解 1（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 3 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 ，行列式 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 E(X)=2，E(Y)=4，D(X)=4，D(Y)=9， XY=0.5，求：U=3X 2-2XY+Y2-3 的数学期望，E(U)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.

5、设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：10.00）_17.求二重积分 （分数：10.00）_18.某工厂制造某种电器，固定成本为 400 万元，每生产一件产品的成本增加 0.8 万元，交纳税金 0.2 万元如果总收益 R 是月产量 x 的函数 (1)该厂月产量为多少时，总利润最大？最大利润是多少？ (2)如果当月产量大于 60 件时，纳税额改为总收益的 1%再加上月产量的 （分数：11.00）_19.求 （分数：10.00）_20.设有四元线性方程组 Ax=b，系数矩阵 A 的秩为 3，又已知 1， 2， 3为 Ax=b 的三个解，且 1

6、=(2，0，0，2) T， 2+ 3=(0，2，2，0) T，求 Ax=b 的通解（分数：10.00）_21.设矩阵 A 与 B 相似，其中（分数：11.00）_22.设随机变量 X 的密度为 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度函数为 ，-x+，其中 0 是未知参数，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的简单随机样本试求 的最大似然估计量 （分数：11.00）_考研数学三-230 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小？_Ax 2 B1-cosx C

7、 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用等价无穷小结论， 由于当 x0 时，*，*，所以当 x0 时，B，C 与 A 是同阶的无穷小，由排除法，故选 D2.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf(x)+3xf(x) 2=1-e-x，若 f(x 0)=0(x00)，则_ A.f(x0)是 f(x)的极大值 B.f(x0)是 f(x)的极小值 C.(x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(x0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f(x 0)=0 知 x=x0是 y=f(x

8、)的驻点，将 x=x0代入方程，得x0f(x) 0+3x0f(x 0)2=1-e-x0，即得*(分 x00 与 x00 讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在点 x0处取得极小值，故选 B.3.设函数 f(x)处处可导，则_ A当 时，必有 B当 时，必有 C当时，必有 D当 时，必有 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 取 f(x)=x，则 f(x)=1，而*，但*，但*故 A，C 不正确再取 f(x)=x2，则 f(x)=2x*，但*.可见 B 也不正确，故选 D4.级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 n时，*，故 * 而级数*收敛(p=2 的 p

9、 一级数)，故原级数绝对收敛故选C5.设矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为矩阵 A 相似于 B，所以矩阵(A-2E)与矩阵(B-2E)相似，矩阵(A-E)与矩阵(B-E)相似，而 秩(B-2E)=秩*， 秩(B-E)=秩*， 根据相似矩阵其秩相等，得 秩(A-2E)+秩(A-E)=秩(B-2E)+秩(B-E)=4 故选 C6.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则_ A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解 C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解 D.rn 时，方程组有无穷多

10、个解（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对于选项 A，r(A)=r=m由于 * 且* 因此必有* 从而 * 所以，此时方程组有解，A 入选 由 B，C，D 条件均不能推得“两秩”相等故选 A.7.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则_ A.f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度 B.F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数 C.F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数 D.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度（分数：4.00）A.B. C.D

11、.解析：解析 赋值法设 XiU(0，2)(i=1，2)，且 X1与 X2相互独立，则*于是*显然，它们都不再满足概率密度或分布函数的性质*，即 A，C，D 都不正确，故选 B.8.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于_ A-1 B0 C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因 Y=n-X，故 D(Y)=D(n-X)=D(X)， Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=-Cov(X，X)=-D(X) 于是* 故选 A.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.求不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_

12、（正确答案：*）解析：解析 *10.设 D 是由 y=x3，y=1，x=-1 所围成的区域，f(u)为连续函数，计算 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 因为 f(u)连续，所以*存在*因为 F(x2+1)-F(x2+x6)为 x 的偶函数，所以 xF(x2+1)-F(x2+x6)为 x 的奇函数故后一积分为 0，所以*11._ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * *12.求 y+4y=cos2x 的特解 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *13.设 A 为 3 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 ，行列式

13、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * *14.设 E(X)=2，E(Y)=4，D(X)=4，D(Y)=9， XY=0.5，求：U=3X 2-2XY+Y2-3 的数学期望，E(U)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：24）解析：解析 E(U)=E(3X 2-2XY+Y2-3)*D(Y)+(E(Y)2-3=24三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(原极限* *)解析：16.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：10.00）_正确答案：(作辅助

14、函数* 由题设条件可知 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导， 又* * 可见F(x)在a，b上满足罗尔定理，于是存在 (a，b)使得 F()=0，即*)解析：17.求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(积分域 D 如下图所示，D=D 1D 2D 3D 4*关于 x 轴对称，令*，故*)解析：18.某工厂制造某种电器，固定成本为 400 万元，每生产一件产品的成本增加 0.8 万元，交纳税金 0.2 万元如果总收益 R 是月产量 x 的函数 (1)该厂月产量为多少时，总利润最大？最大利润是多少？ (2)如果当月产量大于 60 件时，纳税额改为总收益的 1%再加上月产量的 （分数：

15、11.00）_正确答案：(总成本函数为 C=C(x)=400+0.8x. (1)总利润为 L=L(x)=R(x)-C(x)-0.2x * 于是*令L=0，可解得唯一驻点 x=58 又*，故当 x=58 时利润最大，最大利润为 L(58)=441(万元) (2)总税金为* * 总利润为*令 L=0，可解得唯一驻点 x=58则最大利润仍在 x=58 时取得，从而最大利润时的税金为 0.258=11.6(万元)，产量为 80 件时的总税金为*(万元)解析：19.求 （分数：10.00）_正确答案：(* 令* 当 x=1 时，原级数变为*收敛， 故收敛域为-1，1，收敛半径 R=1)解析：20.设有四

16、元线性方程组 Ax=b，系数矩阵 A 的秩为 3，又已知 1， 2， 3为 Ax=b 的三个解，且 1=(2，0，0，2) T， 2+ 3=(0，2，2，0) T，求 Ax=b 的通解（分数：10.00）_正确答案：(因为*是 Ax=b 的解，故*为 Ax=0 的解，又秩(A)=3，且 * 所以 是 Ax=0 的基础解系，故 Ax=b 的通解为 *，其中 k 为任意实数)解析：21.设矩阵 A 与 B 相似，其中（分数：11.00）_正确答案：(1)方法一：因 AB，故 A，B 有相同的特征多项式，即|I-A|=|I-B|，得(+2) 2-(x+1)+(x-2)=(+1)(-2)(-y)令 =

17、0，得 2(x-2)=2y，即 y=x-2，令 =-1，得 0=4(-2-y)，即 y=-2，从而 x=0方法二：因 B 是对角矩阵，故知 A 有特征值-1，2，y，而特征方程为|I-A|=(+2) 2-(x+1)+(x-2)=0.以 =-1 代入得 x=0，由 x=0 知 A 有特征方程|I-A|=(+2) 2-2=(+2) (+1)(-2)=0，A 的特征值应为-1，2，-2，比较特征值知 y=-2(2)由(1)知*A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=-2，对应特征向量分别可求出为*令*则 P 可逆，且 P-1AP=B)解析：22.设随机变量 X 的密度为 （分数：11.00）_正确答案：(*因为 te-|t|在(-，+)上是奇函数，且*收敛，故*，又*为密度函数，*故 E(X)=，*)解析：23.设总体 X 的概率密度函数为 ，-x+，其中 0 是未知参数，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的简单随机样本试求 的最大似然估计量 （分数：11.00）_正确答案：(似然函数*，两边取对数得 *，两边对 求导得 *，令*，解得* 所以 的最大似然估计量为*)解析：