【考研类试卷】考研数学三-131及答案解析.doc

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1、考研数学三-131 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 则( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.平面区域 D 是由 r=2 及弦 围成的弓形，则 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 X，Y 的概率分布分别为：P(X=0)=P(X=1)= ；P(Y=0)= ，P(Y=1)= ，且 P(XY=1)=，则 P(X=Y)=( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.

2、00）A.B.C.D.7.能使 A，B，C 三个随机事件相互独立，如果成立条件( )（分数：4.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)=P()P()P()C.)D.)8.3 阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.由曲线 与直线 y=b 及 y 轴在第一象限所围平面图形的面积是仅仅由曲线 与直线 y=b 所围图形面积的 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(u，v)是二元可微函数， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.一阶常系数差分方程：y t+1-2yt=2t的通解为_。（分数：

3、4.00）填空项 1:_13.已知 A 为 n 阶实对称阵， i(i=1，2，n)是 A 的 n 个特征值，则实二次 f=XTAX 在X=1 时的最大值为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设有 5 双不同的鞋，今有 5 人，每人从中任取两只，事件 A=“5 个人取到的鞋恰好成双”的概率 P(A)=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 （分数：10.00）_设某种商品需求量 Q 是价格 P 的单调减少函数：Q=Q(P)，其需求弹性的绝对值1.设 R 为总收益函数，证明： （分数：10.00）_设 a1=1，试证：1.级数 （分数：10.00）_

4、15.设 a0，求函数 （分数：10.00）_16.求二重积分 其中 D 为 （分数：10.00）_已知向量 1=(1，2，3，0) T， 2=(1，1，3，-s) T， 3=(3，5，8，-2) T，=(3，3，t，-6) T，问：1.s，t 取何值 不能由 1， 2， 3线性表示；（分数：11.00）_二次型 ，经正交变换化为标准形： 。1.求 a，t 的值； （分数：11.00）_将两封信投入编号，的 3 个邮筒，以 x，Y 分别表示投入到号与号邮筒中信的数目，求1.(X，Y)的分布律；（分数：11.01）_设总体 X 的概率密度为（分数：11.01）_考研数学三-131 答案解析(总分

5、：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.齐次线性方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 齐次线性方程组有非零解的相关问题答案解析 BO，将其按列分块写成 B=(b1，b 2，b 3)，则有 bj0(1j3)，AB=O，写成(Ab 1，Ab 2，Ab 3)=(0，0，0)，即齐次方程组 AX=0 有非零解，于是*即 t=1，从而 r(A)=1。又从 AB=O 知，r(A)+r(B)3，于是 r(B)3-1=2，即|B|=0，应选(A)。2.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 确定曲线的渐近线答案解析 *，所以 x=0

6、是曲线的垂直渐近线。*，所以 y=0 是曲线的水平渐近线。此外*因此 y=x+1 是曲线的斜渐近线从而曲线共有三条渐近线，应选(C)。3.设 则( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 数项级数的敛散性答案解析 *是交错级数，令*，则*0，即*满足莱布尼兹判别法的条件，故*收敛，而*为正项级数，且*由正项级数比较判别法极限形式知，因为*发散，故*发散，应选(C)。4.平面区域 D 是由 r=2 及弦 围成的弓形，则 的值为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 用极坐标计算二重积分答案解析 区域 D 的极坐标表示为*于是*应选(C)。5.已知 X，Y 的概率分布分别为

7、：P(X=0)=P(X=1)= ；P(Y=0)= ，P(Y=1)= ，且 P(XY=1)=，则 P(X=Y)=( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二维离散型随机变量的联合分布与边缘分布的关系答案解析 因为已知 X，Y 的分布律，又知 P(XY=1)=P(X=1，Y=1)=*，于是得到(X，Y)的概率分布为*所以 P(X=Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)*应选(B)。6.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数极值点与曲线的拐点答案解析 因为*有二阶连续导数，可使用洛必达法则，由*因此 x=0 是 f(x)的驻点，

8、*从而 f(x)在 x=0 取极小值，应选(B)。7.能使 A，B，C 三个随机事件相互独立，如果成立条件( )（分数：4.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)=P()P()P()C.) D.)解析：考点 随机事件的独立性答案解析 (A)，(B)都不能断定事件 A，B，C 独立；(D)也不能断定 A，B，C 独立。由(C)，有*而*于是*，且*，由于概率为 0 或概率为 1 的事件与任何事件独立，故 A，C 独立；A，B 独立；B，C 独立，即 A，B，C 两两独立，又由 0P(ABC)P(B)=0 知，有P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C)从而事件 A，B，C 相互独立。8.

9、3 阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的秩答案解析 *今知 r(A*)=1，故 r(A)=23，有|A|=0。*当 a=b 时，r(A)=1 与 r(A)=2 矛盾，(A)不正确。若*，则|A|0，r(A)=3 与 r(A)=2 矛盾，故(B)，(D)不正确。当*时，A 有二阶子式*3b 20，即 r(A)=2，(C)正确，应选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 求单调有界数列的极限答案解析 显然有 0u n3(n=2，3，)，即u n是有界数列。令*，则 un+1=g(un)，且 g

10、(x)=*0(x0)，故 g(x)在 x0 单调增加，于是u n是单调有界数列，因此存在极限，记之为*两边令 n取极限，得*解得*10.由曲线 与直线 y=b 及 y 轴在第一象限所围平面图形的面积是仅仅由曲线 与直线 y=b 所围图形面积的 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 定积分的几何意义答案解析 *曲线是开口向下，与 x 轴交点为 x=0，x=4，对称轴为直线 x=2，顶点为(2，2)的抛物线，由定积分的几何意义知，面积 X1=S2，于是 S+S2=S+S1，即有*11.设 f(u，v)是二元可微函数， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）

11、解析：考点 多元复合函数的偏导数答案解析 在*两边取微分，得*即有*于是*12.一阶常系数差分方程：y t+1-2yt=2t的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 求一阶常系数线性非齐次差分方程的通解答案解析 相应齐次差分方程 yt+1-2yt=0 的通解为 yt=c2t(c 为任意常数)，因为非齐次项 f(t)=2t，所以可设特解形如 y*t=At2t，代入原方程，得 A(t+1)2t+1-2At2t=2t，即 2A=1，故*因此原方程通解为：*13.已知 A 为 n 阶实对称阵， i(i=1，2，n)是 A 的 n 个特征值，则实二次 f=XTAX 在X=

12、1 时的最大值为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 二次型，正交变换，特征值答案解析 对实二次型 f=XTAX，总有正交变换 X=PY(P 为正交矩阵)使 f 化为标准形。*其中 i(1in)是 f 的矩阵 A 的特征值，由于正交变换保持向量长度不变，即当X=1 时，有1=X 2=XTX=YTPTPY=YTEY=YTY*从而*14.设有 5 双不同的鞋，今有 5 人，每人从中任取两只，事件 A=“5 个人取到的鞋恰好成双”的概率 P(A)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 古典概率答案解析 以 10 个不同元素(10 只鞋)分成 2

13、 个一组，共 5 组的一种分法对应一个基本事件，则*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 （分数：10.00）_正确答案：(n 为自然数，分母中 x2n的幂次最高，且因此当|x|1 时当|x|1 时于是，得 )解析：_正确答案：(当|x|1，|x|1 时，f(x)分别与初等函数相同，因此连续，为使 f(x)在定义域(-，+)连续，只须考察 f(x)在 x=1 处的连续性。因此 即仅当 )解析：考点 求用极限定义的函数的解析式，当函数连续时求出其中参数设某种商品需求量 Q 是价格 P 的单调减少函数：Q=Q(P)，其需求弹性的绝对值1.设 R 为总收益函数，证明： （分数：10.00）_

14、正确答案：(在 R(P)=PQ(P)两边对 P 求导，得)解析：_正确答案：( )解析：考点 总收益对价格的弹性及其经济意义设 a1=1，试证：1.级数 （分数：10.00）_正确答案：(显然有 an(n=1,2，)，且 0(n)，由于奇、偶子列趋于同一极限，故又从而 即a n单调递减，依交错级数莱布尼兹判别法知 收敛， )解析：_正确答案：(记亦即有 )解析：考点 证明交错级数收敛，并求它的和15.设 a0，求函数 （分数：10.00）_正确答案：(这是分段定义的函数。则 f(x)在(-，+)连续，求导得由此得 x(-，0)时，f(x)0，f(x)在(-，0单调增加；x(a，+)时，f(x)

15、0，f(x)在a，+)单调减少，因此 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(-，+)的最大值。在 x(0，a)，令 f(x)=0，得(1+a-x) 2-(1+x)2=0，得 为 f(x)驻点，又知故 f(x)在(-，+)的最大值是 )解析：考点 求含绝对值函数的最大值16.求二重积分 其中 D 为 （分数：10.00）_正确答案：(由于被积函数只含 y，先对 x 积分是较好选择)解析：考点 选适当次序计算二重积分已知向量 1=(1，2，3，0) T， 2=(1，1，3，-s) T， 3=(3，5，8，-2) T，=(3，3，t，-6) T，问：1.s，t 取何值 不能由 1， 2， 3线

16、性表示；（分数：11.00）_正确答案：(当 s3，t6 时，r(A)=34= )解析：_正确答案：(1)当 s=3，t 为任意实数时，r(A)= =3，方程组有唯一解，此时有于是 =(2t-18) 1+(t-6) 2+(9-t) 3。(2) 当 t=6，s 为任意实数时，r(A)= =3，方程组有唯一解，此时有即)解析：考点 向量由向量组线性表示答案解析 设有一组数 x1，x 2，x 3，使x1 1+x2 2+x3 3= (*)*二次型 ，经正交变换化为标准形： 。1.求 a，t 的值； （分数：11.00）_正确答案：(二次型矩阵为 其标准形矩阵为 由于二次型经正交变换化为标准形，故 A

17、与 不仅合同而且相似，由相似矩阵有相同的迹知：1+1+1=3+3+t，故 t=-3。由 )解析：_正确答案：(对 =3，由(3E-A)X=0，求出 A 的两个线性无关特征向量：X1=(1，-1，0) T，X 2=(1，0，-1) T对 =-3，由(-3E-A)X=0，求出 A 的特征向量 X3=(1，1，1) T因为 =3 是二重根，对 X1，X 2正交化，得 1=X1=(1，-1，0) T再单位化得令 经 X=PY 变换后， )解析：考点 含参数的二次型经正交变换化为标准形，求参数及正交变换将两封信投入编号，的 3 个邮筒，以 x，Y 分别表示投入到号与号邮筒中信的数目，求1.(X，Y)的分

18、布律；（分数：11.01）_正确答案：(X，Y 可能取值均为 0，1，2，且于是(X，Y)分布律为)解析：_正确答案：( )解析：_正确答案：(=2X+Y (X，Y) p0 (0，0) 1/91 (0，1) 2/92 (0，2) 1/92 (1，0) 2/93 (1，1) 2/94 (1，2) 04 (2，0) 1/95 (2，1) 06 (2，2) 0=XY (X，Y p)0 (0，0) 1/90 (0，1) 2/90 (0，2) 1/90 (1，0) 2/90 (2，0) 1/91 (1，1) 2/92 (1，2) 02 (2，1) 04 (2，2) 0从而 =2X+Y，=XY 分布律为 )解析：考点 二维离散型随机变量独立性及随机变量函数的分布设总体 X 的概率密度为（分数：11.01）_正确答案：(故 )解析：_正确答案：( 设 x1，x 2，x n是一组样本值，当 min(x1，x 2，x n)0 时，样本的似然函数为从而 的最大似然估计量为 )解析：_正确答案：(由于于是从而 )解析：考点 参数的最大似然估计