【考研类试卷】考研数学三-102及答案解析.doc

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1、考研数学三-102 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：100.00)1.设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为 1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率： (1)A=某指定的五个盒子中各有一个球； (2)B=每个盒子中最多只有一个球； (3)C=某个指定的盒子不空 （分数：2.50）_2.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率 （分数：2.

2、50）_3.设 （分数：2.50）_4.设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立 （分数：2.50）_5.证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 A-B都与 C独立 （分数：2.50）_6.袋中有 5只白球 6只黑球，从袋中一次取出 3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率 （分数：2.50）_7.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率 （分数：2.50）_8.有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为甲

3、先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少? （分数：2.50）_9.某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52周)，那么他从未中奖的可能性是多少? （分数：2.50）_设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 0.6，乙命中目标的概率是 0.5，求下列事件的概率：（分数：5.00）(1).从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；（分数：2.50）_(2).甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率（分数：2.50）_验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24只装统计资料表明，每箱最多有

4、2只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80%，15%，5%现在随意抽取一箱，随意检验其中 4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求（分数：5.00）(1).一次通过验收的概率；（分数：2.50）_(2).通过验收的箱中确实无残品的概率（分数：2.50）_10.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 0.4，0.5，0.7设飞机中一弹而被击落的概率为 0.2，中两弹而被击落的概率为 0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率 （分数：2.50）_11.某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本

5、书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率 （分数：2.50）_12.设昆虫产 k个卵的概率为 （分数：2.50）_13.盒子中有 n个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1号球的概率 （分数：2.50）_14.甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2分为止，多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比

6、赛是否有可能无限地一直进行下去? （分数：2.50）_15.向半径为 r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x)，并求 （分数：2.50）_16.随机地取两个正数 x和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x与 y之和不超过 1，积不小于 0.09的概率 （分数：2.50）_17.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 （分数：2.50）_18.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.50）_设随机变量 X的概率密度为 （分数

7、：5.00）(1).常数 A；（分数：2.50）_(2).使 PXa=PXa成立的 a（分数：2.50）_设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，-x+ 求：（分数：7.50）(1).系数 A与 B；（分数：2.50）_(2).P-1X1；（分数：2.50）_(3).X的概率密度（分数：2.50）_19.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.50）_20.设电子管寿命 X的概率密度为 （分数：2.50）_21.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 （分数：2.50）_22.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.50）_23.假设随机变量 X服从参数

8、为 的指数分布求随机变量 Y=1-e -X 的概率密度函数 f Y (y) （分数：2.50）_24.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.50）_25.设 X在0，2上服从均匀分布，求 Y=cosX的密度函数 （分数：2.50）_26.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.50）_27.设随机变量 X在0，上服从均匀分布，求 Y=sinX的密度函数 （分数：2.50）_已知随机变量 X 1 与 X 2 的概率分布， （分数：5.00）(1).求 X 1 与 X 2 的联合分布；（分数：2.50）_(2).问 X 1 与 X 2 是否独立?为什么?（分数：2.50）_28.设随机变量 X与

9、 Y相互独立，概率密度分别为 （分数：2.50）_29.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_考研数学三-102 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：100.00)1.设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为 1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率： (1)A=某指定的五个盒子中各有一个球； (2)B=每个盒子中最多只有一个球； (3)C=某个指定的盒子不空 （分数：2.50）_正确答案：()解

10、析：【解】每个球都有 10种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=10 5 (1)5个球放入指定的 5个盒子中，事件 A包含的基本事件数为 5!个，所以 (2)事件 B是从 10个盒子中任选 5个(共有 种选法)，然后将选定的 5个盒子中各放入一个球(共有5!种放法)，由乘法法则，事件 B包含 个基本事件，所以 (3)事件 C的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球”，即“5 个球都放入其他 9个盒子中”， 包含的基本事件数为 9 5 ，所以 2.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【

11、解】设事件 A i =从 10件产品中任取两件，有 i件不合格品，i=0，1，2记 B=A 1 A 2 ，按题意，所求概率为 P(A 2 |B)而 因为 所以 P(A 2 B)=P(A 2 )，应用条件概率公式得 3.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因为 4.设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】一方面，若 A、B 互不相容，则 于是 P(AB)=0P(A)P(B)0，所以 A、B 不相互独立；另一方面若 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，于是5.证明：若三事件 A，

12、B，C 相互独立，则 AB 及 A-B都与 C独立 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】P(AB)C)=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) =P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) =P(A)+P(B)-P(AB)P(C) =P(AB)P(C)， 即 AB 与 C独立 6.袋中有 5只白球 6只黑球，从袋中一次取出 3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A=发现是同一颜色，B=全是白色，C=全是黑色，则 A=B+C， 所求概率为 7.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4

13、个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A=从乙袋中取出的是白球，B i =从甲袋中取出的两球恰有 i个白球，i=0，1，2 由全概率公式 8.有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为甲先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少? （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】令 A i =第 i次命中目标，i=1，2，所以 故 9.某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52周)，那

14、么他从未中奖的可能性是多少? （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】令 A i =第 i次中奖(i=1，2，520)， p=P在一次购买彩票中中奖 则事件以 A 1 ，A 2 ，A 520 相互独立，且 p=10 -5 所以 设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 0.6，乙命中目标的概率是 0.5，求下列事件的概率：（分数：5.00）(1).从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】该随机试验分为两个阶段：选人，A 甲 ，A 乙 ；射击，B=目标被命中则 (2).甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率

15、（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】该随机试验不分阶段， A 甲 =甲命中，A 乙 =乙命中，B=目标被命中， 则 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24只装统计资料表明，每箱最多有 2只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80%，15%，5%现在随意抽取一箱，随意检验其中 4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求（分数：5.00）(1).一次通过验收的概率；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A i =抽取的一箱中含有 i件次品(i=0，1，2)，则 A 0 ，A 1 ，A 2 构成完备事件组，且 P(A 0 )=0.8，P(A 1 )=0.15，P(A

16、 2 )=0.05设 B=一次通过验收，则 由全概率公式得 (2).通过验收的箱中确实无残品的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由贝叶斯公式得 10.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 0.4，0.5，0.7设飞机中一弹而被击落的概率为 0.2，中两弹而被击落的概率为 0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A=飞机被击落，B i =飞机中 i弹，i=1，2，3则 P(A)=P(B 1 )P(A|B 1 )+P(B 2 )P(A|B 2 )+P(B 3 )P(A|B 3 ) =0.2P(

17、B 1 )+0.6P(B 2 )+P(B 3 ) 设 C i =第 i个人命中，i=1，2，3，则 11.某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A=该生能借到此书，B i =从第 i馆借到，i=1，2，3则 于是 12.设昆虫产 k个卵的概率为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A=下一代有 L条，B k =产 k个卵，k=L，L+1，则 13.盒子中有 n个球，其编号分

18、别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1号球的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A=第一次取到 1号球，B=第二次取到 k号球，C=第一次取到 k号球，则有 (1)当 k=1时，因为 所以 (2)当 k1 时，因为 所以 14.甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2分为止，多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去? （分

19、数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A=甲最终获胜，B=乙最终获胜在前两次比赛中，若“甲连胜两个回合”，记为 C 1 ，则 P(A|C 1 )=1；若“乙连胜两个回合”，记为 C 2 ，则 P(A|C 2 )=0；若“甲、乙各胜一个回合”，记为 C 3 ，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一样，所以 P(A|C 3 )=P(A) 显然 P(C 1 )= 2 ，P(C 2 )= 2 ，P(C 3 )=2， 由全概率公式 P(A)=P(A|C 1 )P(C 1 )+P(A|C 2 )P(C 2 )+P(A|C 3 )P(C 3 ) = 2 +0+2(A) 得 同理有 P(

20、B)=P(B|C 1 )P(C 1 )+P(B|C 2 )P(C 2 )+P(B|C 3 )P(C 3 ) =0+ 2 +2P(B)， 可得 因 15.向半径为 r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x)，并求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】如下图所示， 所以 16.随机地取两个正数 x和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x与 y之和不超过 1，积不小于 0.09的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】如下图所示，有 17.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯

21、红绿两种信号显示的概率均为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 以此类推，得 X的分布律为 18.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 A i =第 i个零件是合格品，i=1，2，3，则 即 X的分布律为 设随机变量 X的概率密度为 （分数：5.00）(1).常数 A；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】(2).使 PXa=PXa成立的 a（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 可见 cosa=0，故 设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，-x+ 求：（分数：

22、7.50）(1).系数 A与 B；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由分布函数的性质 于是 所以 X的分布函数为 (2).P-1X1；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】(3).X的概率密度（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】X 的概率密度为 19.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】f(x)的图形如下图所示，则 X的分布函数为 20.设电子管寿命 X的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】Y 为“在使用的最初 150小时内烧坏的电子管数”，YB(3，p)，其中 (1)所求概率为 (2)Y的分布列为 即

23、(3)Y的分布函数为 21.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由题意 YB(5，p，其中 于是 Y的分布为 22.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】用分布函数法设 Y的分布函数为 F Y (y)，则 23.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布求随机变量 Y=1-e -X 的概率密度函数 f Y (y) （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方法一(分布函数法) 由题设条件知，X 的密度函数与分布函数分别为 所以当 y0 时，F Y (y)=PYy=P1-e -X y=0，f

24、 Y (y)=0； 当 0y1 时， f Y (y)=1； 当 y1 时，F Y (y)=PYy=P1-e -X y=1，f Y (y)=0 从而可得 即随机变量 Y=1-e -X 服从区间(0，1)上的均匀分布 方法二(公式法) y=1-e -x 是(0，+)上的单调函数，且其反函数为 在区间(0，1)上， 所以 24.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 Y的分布函数为 F Y (y)，则 F Y (y)=PYy=PsinXy=P0XarcsinyX-arcsiny =P0Xarcsiny+1-PX-arcsiny =F X (arcsiny)+1-

25、F X (-arcsiny)， 所以 25.设 X在0，2上服从均匀分布，求 Y=cosX的密度函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】当-1y1 时， F Y (y)=PcosXy=ParccosyX2-arccosy 26.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】对 X的密度函数积分得 X的分布函数 设 G(y)是 Y=F(X)的分布函数 当 y0 时，G(y)=PYy=PF(X)y=0； 当 y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y=1； 当 0y1 时， 或 于是，Y=F(X)的分布函数为 27.设随机变量 X在0，上服从均匀分布，求 Y=sinX的密度函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方法一(公式法) 由题设条件 函数 y=sinx在 上单调增加，在 上单调减少，其反函数分别为 x=arcsiny，0y1； x=-arcsiny，0y1 所以，当 0y1 时， 于是 方法二(分布函数法) 当 y0 时，F Y (y)=PYy=0，f Y (y)=0； 当 y1 时，F Y (y)=PYy=1，f Y (y)=0； 当 0y1 时， 于是 已知随机变量 X 1 与 X 2 的概率分布， （分数：5.00）(1).求 X 1 与 X 2 的联合分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由联